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直线、平面平行的判定与性质知识点+典型例题及答案解析

2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1、直线和平面的位置关系 一条直线和一个平面的位置关系有且只有以下三种 位置关系 公共点 符号表示 直线在平面内 有无数个公共点 a?α 直线与平面相交 有且只有一个公共点 a∩α=A 直线与平面平行 没有公共点 a||α

图形表示

注:直线和平面相交或平行的情况统称为直线在平面外 2、直线和平面平行 (1)定义:直线和平面没有公共点,则称此直线 L 和平面 α 平行,记作 L ||α。 (2)判定定理:如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。 简记为:线线平行,则线面平行. 符号表示: a ? ?、b ? ? , a / /b ? a / /? .

2.2.2 平面与平面平行的判定
1、定义:没有公共点的两个平面叫做平行平面。符号表示为:平面 α、平面 β,若 a∩β=?,则 a∥β 2、判定定理: 判定 文字描述 如果两个平面无公共点, 责成这两个平面平行 一 个 平 面 内 有 两 条 相 交 如果两个平面同时垂直于一条 直线与另一个平面平行, 直线,那么这两个平面垂直。 那么这两个平面平行.

图形

条件

? ? ? =?

α,b?β,α∩b=P α∥α,b∥α ?β ∥α

l⊥α l⊥β ?β ∥α

结论

? / /?

? / /?

? / /?

2.2.3

直线与平面平行的性质

1..性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线就和交线平行. 简记为:线面平行,则线线平行.

1

1

符号表示:若 a / /? , a ? ? , ? ? ? ? b, 则a / /b . 2.2.4 平面与平面平行的性质 性质 如果两个平行平面 同时和第三平面相 交,那么他们的交线 平行 如果两个平行平面中有 一个垂直于一条直线, 那 么另一个平面也垂直于 这条直线 如果两个平面平行, 那么其 中一个平面内的直线平行 于另一个平面

文字描述

图形

条件 结论

α∥β β∩γ=b α∩γ=a a∥b

α∥β l⊥α l⊥β

α∥β a?β a∥α

1. 解题方法 (1) 证明直线与平面平行的常用方法: 2.利用定义,证明直线与平面没有公共点。一般结合反证法来证明; 3.利用直线和平面平行的判定定理,注意定理成立时应满足的条件; 4.利用面面平行的性质定理,把面面平行转化为线面平行; 2、证明平面与平面平行的常用方法: (1)利用面面平行的定义,此法一般与反证法结合; (2)利用面面平行的判定定理; (3)利用两个平面垂直于同一直线; (4)证明两个平面同时平行于第三个平面;

基础习题
1.设 l 是直线, ? ,β是两个不同的平面,则下列说法正确的是( A.若 l∥ ? ,l∥β,则 ? ∥β C.若 ? ⊥β,l⊥ ? , 则 l⊥β ) B.若 l∥ ? ,l⊥β,则 ? ⊥β D.若 ? ⊥β, l⊥ ? , 则 l⊥β

1.【解析】B 2.下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 2.【解析】C 【例 3】 (2011 江西)已知 ?1 , ? 2 , ?3 是三个相互平行的平面.平面 ?1 , ? 2 之间的距离为 d 1 ,平面 ? 2 , ?3 之 间的距离为 d2 .直线 l 与 ?1 , ? 2 , ?3 分别相交于 P 1, P 1 2=P 2, P 3 ,那么“ PP 2P 3 ”是“ d1 ? d 2 ”的
2 2

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】C 【例 4】 (2011 辽宁)如图,四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形,SD ? 底面 ABCD,则下列结论中不正确 的是 ... A.AC⊥SB B.AB∥平面 SCD C.SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角 D.AB 与 SC 所成的角等于 DC 与 SA 所成的角 【解析】D 【例 5】 (2012 全国)设平面 ? 与平面 ? 相交于直线 m ,直线 a 在平面 ? 内,直线 b 在平面 ? 内,且 b ? m 则“ ? ? ? ”是“ a ? b ”的( )

A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 即不充分也不必要条件 【解析】A 【例 6】 (2012 河南) l1 , l2 , l3 是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是( ) A. l1 ? l2 , l2 ? l3 ? l1 // l3 C. l2 // l3 // l3 ? l1 , l2 , l3 共面 【解析】B B. l1 ? l2 , l2 // l3 ? l1 ? l3 D. l1 , l2 , l3 共点 ? l1 , l2 , l3 共面

E 分别是棱 BC , CC1 上的点(点 D 不同 【例 7】 (2012 江苏)如图,在直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中, A1B1 ? AC 1 1 ,D,

F 为 B1C1 的中点. 于点 C) ,且 AD ? DE ,
求证: (1)平面 ADE ? 平面 BCC1 B1 ; (2)直线 A1F // 平面 ADE. 【解析】 (1)∵三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴CC1⊥平面 ABC, ∵AD?平面 ABC, ∴AD⊥CC1 又∵AD⊥DE,DE、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴AD⊥平面 BCC1B1, ∵AD?平面 ADE ∴平面 ADE⊥平面 BCC1B1; (2)∵△A1B1C1 中,A1B1=A1C1,F 为 B1C1 的中点 ∴A1F⊥B1C1, ∵CC1⊥平面 A1B1C1,A1F?平面 A1B1C1, ∴A1F⊥CC1 又∵B1C1、CC1 是平面 BCC1B1 内的相交直线 ∴A1F⊥平面 BCC1B1 又∵AD⊥平面 BCC1B1, ∴A1F∥AD ∵A1F?平面 ADE,AD?平面 ADE,
3

A1

C1

B1

F E

A D B

C

3

∴直线 A1F∥平面 ADE. 【例 8】 (2012 浙江)如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面是边长为 2 3 的菱形,且∠BAD=120°,且 PA⊥平面 ABCD, PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 ABCD; (Ⅱ) 过点 A 作 AQ⊥PC,垂足为点 Q,求二面角 A—MN—Q 的平面角的余弦值. 【解析】 (Ⅰ)如图连接 BD. ∵M,N 分别为 PB,PD 的中点, ∴在 ? PBD 中,MN∥BD. 又 MN ? 平面 ABCD, ∴MN∥平面 ABCD; (Ⅱ)
10 . 5
?

A A1 D F C B C
图1

【例 9】 (2012 北京)如图 1,在 Rt ?ABC 中, ?C ? 90 , D, E 分别为

AC, AB 的中点,点 F 为线段 CD 上的一点,将 ?ADE 沿 DE 折起到

E D F
图2

E B

?A1DE 的位置,使 A1F ? CD ,如图 2。
(Ⅰ)求证: DE // 平面 A1CB ; (Ⅱ)求证: A1F ? BE ; (Ⅲ)线段 A1 B 上是否存在点 Q ,使 AC ? 平面 DEQ ?说明理由。 1

【解析】解: (1)∵D,E 分别为 AC,AB 的中点, ∴DE∥BC,又 DE?平面 A1CB, ∴DE∥平面 A1CB, (2)由已知得 AC⊥BC 且 DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥A1D,又 DE⊥CD, ∴DE⊥平面 A1DC,而 A1F?平面 A1DC, ∴DE⊥A1F,又 A1F⊥CD, ∴A1F⊥平面 BCDE, ∴A1F⊥BE. (3)线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ.理由如下:如图,分别取 A1C,A1B 的中点 P,Q,则 PQ∥BC. ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ. ∴平面 DEQ 即为平面 DEP.由(Ⅱ)知 DE⊥平面 A1DC, ∴DE⊥A1C, 又∵P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点, ∴A1C⊥DP, ∴A1C⊥平面 DEP,从而 A1C⊥平面 DEQ,

4

4

故线段 A1B 上存在点 Q,使 A1C⊥平面 DEQ 【例 10】(2013 四川)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 的中点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角 A-A1M-N 的余弦值.

【解析】 (1) 过点 P 作直线 l∥BC,因为 l 在平面 A1BC 外,BC 在平面 A1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知,l∥平面 A1BC. 15 . 5 【例 11】 (2012 河南)如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=1,延长 A1C1 至点 P,使 C1P=A1C1, 连接 AP 交棱 CC1 于 D. (Ⅰ)求证:PB1∥平面 BDA1; (Ⅱ)求二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值. (2)二面角 A-A1M-N 的余弦值为
2 . 3
/ / / ?

【解析】二面角 A-A1D-B 的平面角的余弦值为

【 例 12 】 ( 2012 辽 宁 ) 如 图 , 直 三 棱 柱 ABC ? A B C , ?BAC ? 90 ,

AB ? AC ? ? AA/ , 点 M,N 分别为 A/ B 和 B / C / 的中点.
(Ⅰ)证明: MN ∥平面 A ACC ; (Ⅱ)若二面角 A ? MN ? C 为直二面角,求 ? 的值.
/ / /

【解析】(1)连结 AB′,AC′,由已知∠BAC=90°, AB=AC,三棱柱 ABC-A′B′C′为直三棱柱,所以 M 为 AB′中点. 又因为 N 为 B′C′的中点,所以 MN∥AC′. 又 MN?平面 A′ACC′,AC′?平面 A′ACC′, 因此 MN∥平面 A′ACC′. (2)以 A 为坐标原点,分别以直线 AB,AC,AA′为 x 轴,y 轴,z 轴建立直角坐标系 O-xyz, 设 AA′=1,则 AB=AC=λ, 于是 A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A′(0,0,1),B′(λ,0,1),C′(0,λ,1). 所以 M?

?λ,0,1?,N?λ,λ,1?. ? ? ? 2? ? 2 2 ?2 ?

设=(x1,y1,z1)是平面 A′MN 的法向量,可取=(1,-1,λ). 设=(x2,y2,z2)是平面 MNC 的法向量,可取=(-3,-1,λ). 因为 A′-MN-C 为直二面角,所以-3+(-1)×(-1)+λ =0,解得 λ= 2.
2

【课堂练习】
1、 (2006 陕西)已知平面α外不共线的三点 A,B,C 到α的距离都相等,则正确的结论是( ) A.平面 ABC 必平行于α B.平面 ABC 必与α相交 C.平面 ABC 必不垂直于α D.存在△ABC 的一条中位线平行于α或在α内 2、 (2013 新课标)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面α,n⊥平面β,直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l ? α,l ? β,则
5

5



) A.α∥β且 l∥α B.α⊥β且 l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于 l D.α与β相交,且交线平行于 l 3、 (2013 广东)设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( A. 若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? ,则 m ? n C.若 m ? n , m ? ? , n ? ? ,则 ? ? ? B.若 ? // ? , m ? ? , n ? ? ,则 m // n D.若 m ? ? , m // n , n // ? ,则 ? ? ?

)

4、(2011 烟台)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β为两个不同的平面,有下列四个命题:①若 m⊥α,n⊥β,m ⊥n,则α⊥β;②若 m∥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;③若 m⊥α,n∥β,m⊥n,则α∥β;④若 m⊥α,n∥ β,α∥β,则 m⊥n.其中正确命题的个数为( A.1 B.2 C.3 ) D.4
P

5、 (2013 浙江)设 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面( ) A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m∥α,m∥β,则α∥β C.若 m∥n,m⊥α,则 n⊥α D.若 m∥α,α⊥β,则 m⊥β 6、(2011 福建)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=2,点 E 为 AD 的中点,点 F 在 CD 上,若 EF∥平面 AB1C,则线段 EF 的长度等于________.
A

F E G B C D Q H

7、(2013 山东)如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,联结 GH. (1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值.

8、(2013 江苏)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E, G 分别是棱 SA,SC 的中点. 求证:(1)平面 EFG∥平面 ABC;(2)BC⊥SA.

6

6

9、 (2013 新课标Ⅱ)如图所示,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,D,E 分别是 AB,BB1 的中点,AA1=AC=CB= (1)证明:BC1∥平面 A1CD; (2)求二面角 D-A1C-E 的正弦值.

2 AB. 2

10、 (2013 安徽)如图,圆锥顶点为 P,底面圆心为 O,其母线与底面所成的角为 22.5°,AB 和 CD 是底面圆 O 上 的两条平行的弦,轴 OP 与平面 PCD 所成的角为 60°. (1)证明:平面 PAB 与平面 PCD 的交线平行于底面; (2)求 cos∠COD.

11、(2013 湖北)如图所示,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA, PC 的中点. (1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; → 1→ (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足DQ= CP.记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为θ,异面直 2 线 PQ 与 EF 所成的角为α,二面角 E-l-C 的大小为β,求证:sinθ=sinαsinβ.

12、(2011 北京)如图,在四面体 P-ABC 中,PC⊥AB,PA⊥BC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点. (1)求证:DE∥平面 BCP; (2)求证:四边形 DEFG 为矩形; (3)是否存在点 Q,到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等?说明理由.

13、(2011 天津)如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形∠ADC=45°,AD=AC=1,O 为 AC 的中点, PO⊥平面 ABCD,PO=2,M 为 PD 的中点. (1)证明:PB∥平面 ACM; (2)证明:AD⊥平面 PAC; (3)求直线 AM 与平面 ABCD 所成角的正切值.
7

7

14、 (2012 浙江)如图,在侧棱垂直底面的四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,AD∥BC,AD⊥AB,AB= 2 ,AD=2,BC=4,AA1=2, E 是 DD1 的中点,F 是平面 B1C1E 与直线 AA1 的交点. (1)证明: (i)EF∥A1D1 (1) (ii)BA1⊥平面 B1C1EF;

求 BC1 与平面 B1C1EF 所成的角的正弦值.

15、 (2009 浙江)如图,平面 PAC ? 平面 ABC , ?ABC 是以 AC 为斜边的等腰直角三角形, E , F , O 分别为 PA ,

PB , AC 的中点, AC ? 16 , PA ? PC ? 10 .
(I)设 G 是 OC 的中点,证明: FG / / 平面 BOE ; (II)证明:在 ?ABO 内存在一点 M ,使 FM ? 平面 BOE ,并求点 M 到 OA , OB 的距离.

【课后作业】
1、(2011 潍坊)已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若α⊥γ,α⊥β,则γ∥β B.若 m∥n,m?α,n?β,则α∥β C.若 m∥n,m∥α,则 n∥α D.若 n⊥α,n⊥β,则α∥β 2、(2011 日照)若 l、m、n 为直线,α、β、γ为平面,则下列命题中为真命题的是( ) A.若 m∥α,m∥β,则α∥β B.若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C.若α⊥γ,β⊥γ,则α⊥β D.若α⊥β,l?α,则 l⊥β 3、(2011 山东)已知直线 m、n 及平面α,其中 m∥n,那么在平面α内到两条直线 m、n 距离相等的点的集合可能是: ①一条直线;②一个平面;③一个点;④空集.其中正确的是( ) A.①②③ B.①④ C.① ②④ D.②④ 4、设 a、b 是两条不同的直线,α、β是两个不同的平面,则下列四个命题正确的命题的个数是( ) ①若 a ? b, a ? ? , 则b // ? ②若 a // ? ,? ? ? , 则a ? ? ③ a ? ? ,? ? ? , 则a // ? ④ 若a ? b, a ? ? , b ? ? , 则? ? ?
8

8

A .0 个 B.1 个 5、 (2011 浙江) 下列命题中错误的是(

C.2 个 )

D.3 个

A.如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内一定存在直线平行于平面 ? B.如果平面 不垂直于平面 ? ,那么平面 ? 内一定不存在直线垂直于平面 ? C.如果平面 ? ? 平面? ,平面 ? ? 平面? , ? ? ? =l ,那么 l ? 平面? D.如果平面 ? ? 平面? ,那么平面 ? 内所有直线都垂直于平面 ? 6、 (2007 北京)平面 ? ∥ 平面 ? 的一个充分条件是( A.存在一条直线 ?,a ∥?,a ∥ ? B.存在一条直线 a,a ? ?,a ∥ ? C.存在两条平行直线 a,b,a ? ?,b ? ?,a ∥ ?,b ∥? D.存在两条异面直线 a,b,a ? ?,a ∥ ?,b ∥? 7、设 m,n 是平面 ? 内的两条不同直线, l1 , l2 是平面 ? 内的两条相交直线,则 ? // ? 的一个充分不必要条件 ( ) A. m// ? 且 l// ? B. m//l 且 n//l 2 C. m// ? 且 n// ? D. m // ? 且 n//l 2 )

8、(2011 琼海)下面给出四个命题: ①若平面α∥平面β,AB,CD 是夹在α,β间的线段,若 AB∥CD,则 AB=CD; ②a,b 是异面直线,b,c 是异面直线,则 a,c 一定是异面直线 ③过空间任一点,可以做两条直线和已知平面α垂直; ④平面α∥平面β,P∈α,PQ∥β,则 PQ?α; 其中正确的命题是________(只填命题号) 9、 (2013 江西)如图所示,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六 个面所在的平面相交的平面个数为________.

10、(2011 枣庄)已知α,β,γ是三个不同的平面,命题“α∥β,且α⊥γ?β⊥γ”是真命题,如果把α,β, γ中的任意两个换成直线,另一个保持不变,在所得的所有新命题中,真命题有________个. 11、已知 P 是平行四边形 ABCD 所在平面外一点, M 、 N 分别是 AB 、 PC 的中点 (1)求证: MN // 平面 PAD ;
王新敞
奎屯 新疆

(2)若 MN ? BC ? 4 , PA ? 4 3 , 求异面直线 PA 与 MN 所成的角的大小.

C 1 D 1 的中点, 12、 正方体 ABCD ? A 1 B 1 C 1 D 1 中,M 、N 、P 分别是 C 1 C 、B 1 C 1 、 求证: 平面 M N P ∥ 平面 A 1 B D .
D A B M C

9
D1 A1 P B1 N C1

9

13、如下图,在正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1 中,AA1=

1 AB,点 E、M 分别为 A1B、C1C 的中点,过点 A1、B、M 三点的平面 2

A1BMN 交 C1D1 于点 N. (1)求证:EM∥平面 A1B1C1D1; (2)求二面角 B—A1N—B1 的正切值;

14、 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AB1⊥BC1,AB=CC1=a,BC=b. (1)设 E、F 分别为 AB1、BC1 的中点,求证:EF∥平面 ABC; (2)求证:A1C1⊥AB;

15、 (2013 广东) 如图,在边长为 1 的等边三角形 ABC 中,D,E 分别是 AB,AC 上的点,F 是 BC 的中点,AF 与 DE 交于点 G,将△ABF 沿 AF 折起,得到如图 1-4(2)所示的三棱锥 A-BCF,其中 BC= (1)证明:DE∥平面 BCF;(2)证明:CF⊥平面 ABF; 2 (3)当 AD= 时,求三棱锥 F-DEG 的体积.[来源:学&科&网 Z&X&X&K] 3 2 . 2

16、 (2013 福建)在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,AB∥DC,AB⊥AD,BC=5,DC=3,AD=4,∠PAD=6 0°. → (1)当正视方向与向量AD的方向相同时,画出四棱锥 P-ABCD 的正视图(要求标出尺寸,并写出演算过程); (2)若 M 为 PA 的中点,求证:DM∥平面 PBC; (3)求三棱锥 D-PBC 的体积.
A1 D A E B

D1

N B1

C1 M C

17、 (2013 北京) 如图,在四棱 锥 P-ABCD 中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面 PAD⊥底面 ABCD,PA⊥AD,E 和
10 10

F 分别是 CD 和 PC 的中点.求证: (1)PA⊥底面 ABCD; (2)BE∥平面 PAD; (3)平面 BEF⊥平面 PCD.

18、 (2013 辽宁)如图 1-4,AB 是圆 O 的直径,PA 垂直圆 O 所在的平面,C 是圆 O 上的点. (1)求证:BC⊥平面 PAC; (2)设 Q 为 PA 的中点,G 为△AOC 的重心,求证:QG∥平面 PBC.

19、(2013 陕西)如图,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 的底面 ABCD 是正方形,O 是底面中心,A1O⊥底面 ABCD,AB=AA1= 2. (1)证明:平面 A1BD∥平面 CD1B1; (2)求三棱柱 ABD-A1B1D1 的体积.

20、 (2013 天津)如图所示,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 A1A⊥底面 ABC,且各棱长均相等,D,E,F 分别为棱 AB, BC,A1C1 的中点. (1)证明 EF∥平 面 A1CD; (2)证明平面 A1CD⊥平面 A1ABB1; (3)求直线 BC 与平面 A1CD 所成角的正弦值.

21、(2006 北京)如图,在底面为平行四边表的四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC , PA ? 平面 ABCD ,且 PA ? AB ,点 E 是 PD 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求证: PB // 平面 AEC ; (Ⅲ)求二面角 E ? AC ? B 的大小.

22、 (2012 福建)如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AA1=AD=1,E 为 CD 中点。 (Ⅰ)求证:B1E⊥A D1 (Ⅱ)在棱 AA1 上是否存在一点 P,使得 DP∥平面 B1AE?若存在,求 AP 的行;若存在,求 AP 的长;若不存在,说 明理由。 (Ⅲ)若二面角 A-B1E-A1 的大小为 30°,求 AB 的长。AB=2
11

11

【参考答案】
【课堂练习】 1、D 2、D 3、D 4、B 5、C 4 6、 27、(2)- 5

8、 (1)∵△ASB 中,SA=AB 且 AF⊥SB,∴F 为 SB 的中点. ∵E、G 分别为 SA、SC 的中点, ∴EF、EG 分别是△SAB、△SAC 的中位线,可得 EF∥AB 且 EG∥AC. ∵EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC,同理可得 EG∥平面 ABC 又∵EF、EG 是平面 EFG 内的相交直线, ∴平面 EFG∥平面 ABC; (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,平面 SAB∩平面 SBC=SB, AF?平面 ASB,AF⊥SB. ∴AF⊥平面 SBC. 又∵BC?平面 SBC,∴AF⊥BC. ∵AB⊥BC,AF∩AB=A,∴BC⊥平面 SAB. 又∵SA?平面 SAB,∴BC⊥SA. 9、 6 3 10、17-12 2

11、 (1)直线 l∥平面 PAC 12、(3)存在点 Q 满足条件,理由如下: 连接 DF,EG,设 Q 为 EG 的中点. 1 由(2)知,DF∩EG=Q,且 QD=QE=QF=QG= EG, 2 分别取 PC,AB 的中点 M,N,连接 ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理,可证四边形 MENG 为矩形,其对角线交点为 EG 的中点 Q,且 QM=QN= EG. 2 所以 Q 为满足条件的点.

12

12

4 5 13、 5 14、(1)证明:(ⅰ)因为 C1B1∥A1D1,C1B1?平面 A1D1DA,所以 C1B1∥平面 A1D1DA, 又因为平面 B1C1EF∩平面 A1D1DA=EF, 所以 C1B1∥EF, 所以 A1D1∥EF. (ⅱ)因为 BB1⊥平面 A1B1C1D1, 所以 BB1⊥B1C1. 又因为 B1C1⊥B1A1, 所以 B1C1⊥平面 ABB1A1, 所以 B1C1⊥BA1. 在矩形 ABB1A1 中,F 是 AA1 的中点,tan∠A1B1F=tan∠AA1B= 即∠A1B1F=∠AA1B, 故 BA1⊥B1F, 所以 BA1⊥平面 B1C1EF. (2)设 BA1 与 B1F 交点为 H,连结 C1H. ,

由(1)知 BA1⊥平面 B1C1EF,所以∠BC1H 是 BC1 与面 B1C1EF 所成的角. 在矩形 AA1B1B 中,AB= ,AA1=2,得 BH= .

在直角△BHC1 中,BC1=2

,BH=

,得

sin∠BC1H=





所以 BC1 与平面 B1C1EF 所成角的正弦值是

.

15、I)连接 OP,以 O 为坐标原点,分别以 OB、OC、OP 所在直线为 x 轴,y 轴,z 轴,建立空间直角坐标系 O-xyz, 则 O(0,0,0) ,A(0,-8,0) ,B(8,0,0) ,C(0,8,0) ,P(0,0,6) ,E(0,-4,3) ,F(4,0,3) , 由题意得,G(0,4,0)因 OB=(8,0,0),OE=(0,?4,3), 因此平面 BOE 的法向量为 n=(0,3,4),…(4 分)FG=(?4,4,?3)得 n?FG=0, 又直线 FG 不在平面 BOE 内,因此有 FG∥平面 BOE …(6 分)

13

13

(II)设点 M 的坐标为(x0,y0,0) ,则 FM=(x0?4,y0,?3), 因为 FM⊥平面 BOE,所以有 FM∥n,因此有 x0=4,y0=?94, 即点 M 的坐标为 (4,?94,0),… 在平面直角坐标系 xoy 中, △AOB 的内部区域满足不等式组 x>0y<0x?y<8, 经检验,点 M 的坐标满足上述不等式组,所以在△AOB 内存在一点 M,使 FM⊥平面 BOE. 【课后作业】 1、D 2、B 3、C 4、 5、D 6、D 7、B 8、①④ 9、4 10、2 11、30 度

12、证明:连结 B1D1,则由正方体可知 BD∥B1D1,又可知 PN∥B1D1,所以可知 PN∥BD 同理可证得 MN∥A1D 且 PN 和 MN 在平面 PMN 中交于点 N,BD 和 A1D 在平面 A1BD 中交于点 D 所以可知平面 PMN∥平面 A1BD 13、 (Ⅰ)证明:取 A1B1 的中点 F,连 EF,C1F ∵E 为 A1B 中点 ∴EF∥ BB1

又∵M 为 CC1 中点 ∴EF∥ C1M∴四边形 EFC1M 为平行四边形

∴EM∥FC1

而 EM

平面 A1B1C1D1 . FC1

平面 A1B1C1D1 .∴EM∥平面 A1B1C1D1

(Ⅱ)由⑴EM∥平面 A1B1C1D1 EM 平面 A1BMN 平面 A1BMN∩平面 A1B1C1D1=A1N ∴A1N// EM// FC1 ∴N 为 C1D1 中点 过 B1 作 B1H⊥A1N 于 H,连 BH, 根据三垂线定理 BH⊥A1N ∠BHB1 即为二面角 B―A1N―B1 的平面角 设 AA1=a, 则 AB=2a, ∵A1B1C1D1 为正方形 ∴A1H= , 又∵△A1B1H∽△NA1D1

∴B1H=

,在 Rt△BB1H 中,tan∠BHB1=

即二面角 B―A1N―B1 的正切值为 14、 (1)可由 (2)先证 证得 得到 ,

14

14

从而得到 得到

,又由 ,故

(3) 15(1)在等边三角形 ABC 中, AD ? AE

AD AE ? ,在折叠后的三棱锥 A ? BCF 中也成立, DB EC ? DE / / BC ,? DE ? 平面 BCF , BC ? 平面 BCF ,? DE / / 平面 BCF ; ?
(2)在等边三角形 ABC 中, F 是 BC 的中点,所以 AF ? BC ①, BF ? CF ?

1 . 2

? 在三棱锥 A ? BCF 中, BC ? 2 ,? BC 2 ? BF 2 ? CF 2 ?CF ? BF ② 2
? BF ? CF ? F ?CF ? 平面ABF ;
(3)由(1)可知 GE / / CF ,结合(2)可得 GE ? 平面DFG .

1 1 1 1 1 ?1 3 ? 1 3 ?VF ? DEG ? VE ? DFG ? ? ? DG ? FG ? GF ? ? ? ? ? ? ? ? . ? ? ? 3 2 3 2 3 ? 3 2 ? 3 324
16、VD-PBC=8 3 17、略 18、证明:(1)由 AB 是圆 O 的直径,得 AC⊥BC . 由 PA⊥平面 ABC,BC⊥平面 ABC,得 PA⊥BC. 又 PA∩AC=A,PA⊥平面 PAC,AC⊥平面 PAC,所以 BC⊥平面 PAC. (2)联结 OG 并延长交 AC 于 M,联结 QM,QO,由 G 为△AOC 的重心,得 M 为 AC 中点, 由 Q 为 PA 中点,得 QM∥PC.又 O 为 AB 中点,得 OM∥BC. 因为 QM∩MO=M,QM 平面 QMO.MO 平面 QMO, BC∩PC=C,BC 平面 PBC,PC 平面 PBC,所以平面 QMO∥平面 PBC. 因为 QG 平面 QMO,所以 QG∥平面 PBC. 19、证明:由题设知,BB1∥DD1,∴四边形 BB1D1D 是平行四边∴BD∥B1D1. 又 BD1 平面 CD1B1,∴BD∥平面 CD1B1. ∵A1D1∥B1C1∥BC,∴四边形 A1BCD1 是平行四边形,∴A1B∥D1C. 又 A1B1 平面 CD1B1,∴A1B∥平面 CD1B1. 又∵BD∩A1B=B,∴平面 A1BD∥平面 CD1B1. (2)∵A1O⊥平面 ABCD,∴A1O 是三棱柱 ABD-A1B1D1 的高. 1 2 2 又∵AO= AC=1,AA1= 2,∴A1O= AA1-OA =1, 2 1 又∵S△ABD= × 2× 2=1,∴VABD-A1B1D1=S△ABD·A1O=1. 2 20、 5 5 21、 135 .
0

22、AB=2

2 0 0 9 0 15 4 2 3

15


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