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概率论——多维随机变量与分布答案


概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 学号

多维随机变量及其分布( 随机变量及其分布 第三章 多维随机变量及其分布(一) 一、填空题: 1、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合密度函数为 f ( x, y ) = ? 6 。

? Axy 2 , 0 < x < 1, 0 < y < 1 ?0, 其他

,则常数 A =

2、设二维随机变量 ( X , Y ) 的联合分布函数为 F ( x, y ) = ?

? A arctan x ? arctan y, x > 0, y > 0 ,则常 ?0, 其他

数A=

4

π2



二、计算题: 1.在一箱子中装有 12 只开关,其中 2 只次品,在其中取两次,每次任取一只,考虑两种实验: (1)放回抽样; (2)不放回抽样。我们定义随机变量 X,Y 如下:

?0 若第一次出的是正品 X =? , ?1 若第一次出的是次品

?0 若第二次出的是正品 Y =? ?1 若第二次出的是次品

试分别就(1)(2)两种情况,写出 X 和 Y 的联合分布律。 ,

(1)放回抽样 Y X 0 1 0 25/36 5/36 1 5/36 1/36

(2)不放回抽样

Y X 0 1

0 15/22 5/33

1 5/33 1/66

1

2.设二维离散型随机变量的联合分布见表:试求 (1) P{ < X <

1 2

3 , 0 < Y < 4} , 2

(2) P{1 ≤ X ≤ 2, 3 ≤ Y ≤ 4} X Y

1 1/ 4 0

2 0 1/ 4

3 0 0

4 1/16 1/ 4 0

1 3

2 1/16

1/16 1/16

(1)1/4

(2)5/16
Y

3.设随机变量 ( X , Y ) 的联合分布律如表: 求: (1)a 值; (2) ( X , Y ) 的联合分布函数 F ( x, y ) X 1 2

?1
1/4 1/6

0 1/4 a

(3) ( X , Y ) 关于 X,Y 的边缘分布函数 FX ( x) 和 FY ( y ) (1)a=1/3

? 0 ?1 ? ?4 ?5 ? F ( x, y ) = ? ?12 (2) ?1 ?2 ? ?1 ?

x<1或y<-1 1 ≤ x < 2, ?1 ≤ y < 0 x ≥ 2, ?1 ≤ y < 0 1 ≤ x < 2,y ≥ 0 x ≥ 2, y ≥ 0
?0 y < ?1 ?5 ? FY (y ) = ? ? 1 ≤ y < 0. 12 ? ?1 y ≥ 0 ?
?k (6 ? x ? y ) 0<x<2, 2<y<4 ,求: 0 其他 ?

?0 x < 1 ?1 ? FX (x ) = ? 1 ≤ x < 2 ; (3) ?2 ?1 x ≥ 2 ?

4.设随机变量 ( X , Y ) 的概率密度为 f ( x, y ) = ?

2

(1)常数 k;
2 4

(2)求 P{ X < 1, Y < 3} ;

(3) P{ X < 1.5} ;

(4) P{ X + Y ≤ 4}

1 k (6 ? x ? y )dydx = 1 ? k = ; (1) ∫0 ∫2 8 1 31 3 P (X < 1,Y < 3) = ∫ ∫ (6 ? x ? y )dydx = ; (2) 0 2 8 8
(3) P (X < 1.5) = P (X < 1.5, 2 < Y < 4) = ∫ (4) P (X +Y ≤ 4) = ∫0
2
1.5 0



4

2

1 27 (6 ? x ? y )dydx = ; 8 32



4 ?x

2

1 2 (6 ? x ? y )dydx = . 8 3

概率论与数理统计练习题
系 专业 班 姓名 随机变量及其分布( 第三章 多维随机变量及其分布(二) 多维随机变量及其分布 一、选择题: 1、设随机变量 X 与 Y 独立,且 X 且有 (A) Z (C)
2 N ( ?1 + ?2 , σ 12 + σ 2 ) 2 N ( ?1 ? ?2 , σ 12 ? σ 2 )

学号

N ( ?1 , σ 12 ), Y

2 N ( ?2 , σ 2 ) ,则 Z = X ? Y 仍服从正态分布,

[ (B) (D)

D

]

Z Z

2 N ( ?1 + ?2 , σ 12 ? σ 2 ) 2 N ( ?1 ? ?2 , σ 12 + σ 2 )

Z

2、若 ( X , Y ) 服从二维均匀分布,则 (A)随机变量 X , Y 都服从均匀分布 (C)随机变量 X , Y 一定不服从均匀分布 二、填空题:

[ B (B)随机变量 X , Y 不一定服从均匀分布 (D)随机变量 X + Y 服从均匀分布

]

? 2 xy ? x + , 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 1、设二维随机变量 ( X , Y ) 的密度函数为 f ( x, y ) = ? , 3 ?0, 其他. ?
则 P ( X + Y ≥ 1) =

65 72



3

?3 2 ? x ,0 < x < 2 2、设随机变量 X , Y 同分布, X 的密度函数为 f ( x ) = ? 8 ,设 A = { X > a} 与 ?0, 其他 ? B = {Y > a} 相互独立,且 P ( A ∪ B ) =
3 ,则 a = 4
a 0

3

4



P( A) = P( X > a ) = 1 ? P( X ≤ a ) = 1 ? ∫

3x 2 a3 dx = 1 ? 8 8

P( A ∪ B) = P( A) + P( B) ? P( A) P( B) = 2 P( A) ? [ P( A)]2 = 2(1 ?
三、计算题:

a3 a3 a6 3 ) ? (1 ? )2 = 1 ? = 8 8 64 4

a b , P{Y = ?k} = 2 , (k = 1, 2,3) ,X 与 Y 独立,确定 a,b 的值,求出 ( X , Y ) k k 的联合概率分布以及 X + Y 的概率分布。
1.已知 P{ X = k} =

6 11 k =1 3 36 ∑ P (Y = ?k ) = 1 ? b = 49 k =1

∑ P (X

3

= k) =1?a =

Y X 1 2 3

-1 216/539 108/539 72/539

-2 54/539 27/539 18/539

-3 24/539 12/539 8/539

P (X +Y = ?2) = P (X +Y P (X +Y P (X +Y P (X +Y

24 539 66 6 = ?1) = = 539 49 251 = 0) = 539 126 = 1) = 539 72 = 2) = 539

2.随机变量 X 与 Y 的联合密度函数为 f ( x, y ) = ? 数: (1) Z = X + Y ;

?12e ?3 x ? 4 y , x > 0, y > 0
,分别求下列概率密度函

?0,

其他
(3) N = min{ X , Y } 。

(2) M = max{ X , Y } ;

4

解: (1) Z 的可能值为 (0, +∞ )

fZ ( z) = ∫

+∞

?∞

f ( x, z ? x)dx = ∫ 12e ?3 x ? 4( z ? x ) dx = 12e ?4 z ∫ e x dx = 12(e ?3 z ? e?4 z ), z > 0.
0 0

z

z

(2) F ( x, y ) = ?

?(1 ? e ?3 x )(1 ? e ?4 y ), x > 0, y > 0 ?0, 其他
?3 m

当 m > 0 时 FM ( m) = P{ X ≤ m, Y ≤ m} = F ( m, m) = (1 ? e

)(1 ? e ?4 m )

f M (m) = 3e?3m (1 ? e ?4 m ) + 4e ?4 m (1 ? e ?3 m ) = 3e ?3m + 4e?4 m ? 7e ?7 m
当 m ≤ 0 时 f M ( m) = 0 . (3)当 n > 0 时 FN ( n) = 1 ? P{ X > n, Y > n} = 1 ?

∫ ∫
n

+∞

+∞

n

12e ?3 x ? 4 y dxdy = 1 ? e?7 n

f N (n) = 7e ?7 n
当 n ≤ 0 时 f N ( n) = 0 . 3.设 X 与 Y 是独立同分布的随机变量,它们都服从均匀分布 U (0,1) 。试求 (1) Z = X + Y 的分布函数与概率密度函数; 解: (1) Z 的分布函数为

FZ ( z ) = P( X + Y ≤ z ) =

x+ y≤z 0 < x <1 0 < y <1

∫∫

?0, ? z z?x ? ∫0 dx ∫0 dy, ? f ( x, y )dxdy = ? 1 1 ?1 ? ∫ dx ∫ dy, z ?1 z?x ? ?1, ?

z<0 0 ≤ z <1 1≤ z < 2 z≥2

z<0 ?0, ? 2 ?z , 0 ≤ z <1 ?2 =? 2 ?2 z ? z ? 1, 1 ≤ z < 2 ? 2 ? z≥2 ?1, Z 的概率密度函数为

5

?0, z < 0 ? ? z, 0 ≤ z < 1 fZ ( z) = ? ?2 ? z ,1 ≤ z < 2 ?0, z ≥ 2 ?

4.设 X 和 Y 相互独立,其概率密度函数分别为 f X ( x) = ? 求: (1)常数 A,

? Ae? y ?1 0 ≤ x ≤ 1 , fY ( y ) = ? 其它 ?0 ? 0

y>0 , y≤0

(2)随机变量 Z = X + Y 的概率密度函数。

(1)





0

A e ?ydy = 1 ? A = 1;
+∞ ?∞

(2) fZ (z ) = ∫

f (x , z ? x )dx = ∫

+∞

?∞

fX (x ) fY (z ? x )dx

被积函数非零区域为 0 < x 因此有

< 1, z ? x > 0.

? ?0, z < 0; ? z ? ( z ?x ) fZ (z ) = ? ∫ e dx = 1 ? e ?z , 0 < z < 1; 0 ? 1 ? e ? (z ?x )dx = e ?z (e ? 1). ? ∫0

6


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