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2012年普通高中学业水平考试数学试题(1)+2


2012 年普通高中学业水平考试数学试题
第一卷(选择题 共 45 分)
一、选择题(15’×3=45’)
1、已知角的终边经过点(-3,4) ,则 tanx 等于 A
3 4

B

?

3 4

C

4 3 3 2

D 等于
b a

?

4 3

2、已知 lg2=a,lg3=b,则 lg A a-b B b-a C

D

a b

3、设集合 M= ?(1, 2 ) ? ,则下列关系成立的是 A 1∈M B 2∈M C (1,2)∈M D (2,1)∈M 4、直线 x-y+3=0 的倾斜角是 A 300 B 450 C 600 D 900 5、底面半径为 2,高为 4 的圆柱,它的侧面积是 A 8π B 16π C 20π D 24π 6、若 b<0<a(a,b∈R),则下列不等式中正确的是 A b2<a2 B
?
2 1 b ? 1 a 4 5 3 4

C

-b<-a

D a-b>a+b

7、已知 x∈(A
3 4

,o),cosx= C

,则 tanx 等于
4 3
n ?1 n? 2

B

?

D

?

4 3

8、已知数列 ?a n ? 的前 n 项和 sn= A
1 20

,则 a3 等于
1 32

B

1 24

C

1 28

D

9、在Δ ABC 中,sinA ? sinB-cosA ? cosB<0 则这个三角形一定是 A 锐角三角形 B 钝角三角形 C 直角三角形 D 等腰三角形 10、若函数 f ( x ) ?
1 x?2 ( x ? 2 ) ,则 f(x)

A 在(-2,+ ? ),内单调递增 B 在(-2,+ ? )内单调递减 C 在(2,+ ? )内单调递增 D 在(2,+ ? )内单调递减 11、在空间中,a、b、c 是两两不重合的三条直线,α 、β 、γ 是两两不重合的三个平面, 下列命题正确的是 D1 A 若两直线 a、b 分别与平面α 平行, 则 a∥b C1 B 若直线 a 与平面β 内的一条直线 b 平行,则 a∥β A1 B1 C 若直线 a 与平面β 内的两条直线 b、c 都垂直,则 a⊥β D 若平面β 内的一条直线 a 垂直平面γ ,则γ ⊥β 12、不等式(x+1) (x+2)<0 的解集是 D C A B

A

?x ? 2 ?

x ? ? 1?

B

?x x ? ? 2 或 x ? ? 1?

C ?x 1 ? x ? 2 ?

D

?x x ? 1或 x ? 2 ?

13、正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,A1 C1 与 BD 所在直线所成角的大小是 A 300 B 450 C 600 D 900 14、某数学兴趣小组共有张云等 10 名实力相当的组员, 现用简单随机抽样的方法从中抽取 3 人参加比赛, 则张云被选中的概率是 A 10% B 30% C 33.3% D 37.5% 15、如图所示的程序框图,如果输入三个实数 a,b,c, 要求输出这三个数中最大的数,那么在空白处的判断框中, 应该填入下面四个选项中的 (注:框图中的赋值符号“=”也可以写成“ ? ”或“:=” ) A c>x B x>c C c>b D b>c

开始

输入 a,b,c

x=a

b>x? 否

是 x=b 是 x=c

第二卷(非选择题共 55 分)
二、填空题(5’ ×4=20’)
16、已知 a>0,b>0,a+b=1 则 ab 的最大值是____________ 17、若直线 2ay-1=0 与直线(3a-1)x+y-1=0 平行,则实数 a 等于____________ 18、已知函数 f ( x ) ? ?
?2 x , ( x ? 4) ? f ( x ? 1 ), ( x ? 4 )



, 输出 x

那么 f(5)的值为____________ 19、在[-π ,π ]内,函数 y ? sin( x ?
?
3 ) 为增函数的区间是____________

结束 20、设┃a┃=12,┃b┃=9,a ? b=-54 2 , 则 a 和 b 的夹角θ 为____________

三、解答题(共 5 小题,共 35 分)
21、已知 a =(2,1)b=(λ ,-2) ,若 a⊥ b,求λ 的值 22、 (6’)已知一个圆的圆心坐标为(-1, 2) ,且过点 P(2,-2) ,求这个圆的标准方程

23、 (7’)已知 ?a n ? 是各项为正数的等比数列,且 a1=1,a2+a3=6,求该数列前 10 项的和 Sn

24、 (8’)已知函数 f ( x ) ?

3 2

sin x ?

1 2

cos x , x ? R

求 f(x)的最大值,并求使 f(x)取得最大值时 x 的集合 25、 (8’)已知函数 f(x)满足 xf(x)=b+cf(x),b≠0,f(2)=-1,且 f(1-x)=-f(x+1)对两边都有意义的 任意 x 都成立 (1)求 f(x)的解析式及定义域 (2)写出 f(x)的单调区间,并用定义证明在各单调区间上是增函数还是减函数?

参考答案
一、1.D2.B3.C4.B5.B6.D7.B8.A9.B10.D11.D12.A13.D14.B15.A 二、16、
1 4

17、

1 3

18、8

19、 [ ?

?
6

,

5? 6

]

20、

3? 4

三、21、解:∵a⊥b,∴a ? b=0,又∵a=(2,1) =(λ ,-2) ,b ,∴a ? b=2λ -2=0,∴λ
=1 22、解:依题意可设所求圆的方程为(x+1)2+(y-2)2=r2。 ∵点 P(2,-2)在圆上, ∴ r2=(2+1)2+(-2-2)2=25 ∴所求的圆的标准方程是(x+1)2+(y-2)2=52 。 23、解:设数列 ?a n ? 的公比为 q,由 a1=1,a2+a3=6 得: q+q2=6,即 q2+q-6=0, 解得 q=-3(舍去)或 q=2 ∴S10=
a 1 (1 ? q 1? q
10

)

?

1? 2

10

1? 2
3

? 2

10

? 1 ? 1023

24 解:∵ f ( x ) ?

sin x ?

1 2

cos x ? sin x cos

?
6

? cos x sin

?
6

? sin( x ?

?
6

)

2

∴f(x)取到最大值为 1 当x ?
?
6 ? 2 k? ?

?
2

, k ? Z ,即 x ? 2 k? ?
? ?

2 3

? , k ? Z 时 ,f(x)取到最大值为 1
2 3 ? ?

∴f(x)取到最大值时的 x 的集合为 ? x │ x ? 2 k ? ? 25、解: (1)由 xf(x)=b+cf(x),b≠0, ∴x≠c,得 f ( x ) ? 由 f(1-x)=-f(x+1)得 ∴c=1 由 f(2)=-1,得-1= ∴ f (x) ?
?1 x ?1 ? b 2 ?1 1 1? x b x?c b 1? x ? c

? ., k ? Z ?


? ? b x ?1? c

,即 b=-1 ,

∵1-x≠0,∴x≠1 即 f(x)的定义域为 ?x │ x ? 1? (2)f(x)的单调区间为(- ? ,1)(1,+ ? )且都为增区间 , 证明:当 x∈(- ? ,1)时,设 x1<x2<1,

则 1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ∵1- x1>0,1- x2>0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ?
1 1 ? x1 ? 1 1 ? x2 ? x1 ? x 2 (1 ? x 1 )( 1 ? x 2 ) 1 1 ? x1 ? 1 1 ? x2 ? x1 ? x 2 (1 ? x 1 )( 1 ? x 2 )



<0

即 f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ∴f(x)在(- ? ,1)上单调递增。同理 f(x)在(1,+ ? )上单调递增。


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