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对数指数函数公式全集


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指数函数和对数函数
重点、难点: 重点、难点: 重点:指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点:指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用,以及逻辑划分思想讨论函数 y = a ,y = log a x 在
x

a > 1 及 0 < a < 1 两种不同情况。
1、指数函数: 定义:函数 y = a
x

(a > 0且a ≠ 1) 叫指数函数。

定义域为 R,底数是常数,指数是自变量。 为什么要求函数 y = a x 中的 a 必须 a > 0且a ≠ 1 。 因为若 a < 0 时, y = ( ?4) ,当 x =
x

1 时,函数值不存在。 4

a = 0 , y = 0 x ,当 x ≤ 0 ,函数值不存在。 a = 1 时, y = 1x 对一切 x 虽有意义,函数值恒为 1,但 y = 1x 的反函数不存在, 因 为 要 求 函 数 y = a x
中 的

a > 0且a ≠ 1 。
1、对三个指数函数 y = 2 x ,y = ? ? ,y = 10 x 的图象的 认识。 图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 x 轴上方; (2)图象都经过点(0,1) ; (3) y = 2 x ,y = 10 x 在第一象限内的纵坐 函数性质 (1)x 取任何实数值时,都有 a x > 0 ; (2)无论 a 取任何正数, x = 0 时, y = 1 ;

? 1? ? 2?

x

? x > 0,则a x > 1 ? (3)当 a > 1 时, ? ? x < 0,则a x < 1 ? 标都大于 1, 在第二象限内的纵坐标都小于 1,

? 1? y = ? ? 的图象正好相反; ? 2?

x

当 0 < a < 1 时, ?

? x > 0,则a x < 1 ? ? x < 0,则a x > 1 ?

(4) y = 2 x ,y = 10 x 的图象自左到右逐渐 (4)当 a > 1 时, y = a x 是增函数,
x 当 0 < a < 1 时, y = a 是减函数。

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1

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? 1? 上升, y = ? ? 的图象逐渐下降。 ? 2?
对图象的进一步认识, (通过三个函数相互关系的比较) : ①所有指数函数的图象交叉相交于 相交于点(0,1) ,如 y = 2 x 和 y = 10 x 相交于 ( 0,1) ,当 x > 0 时, y = 10 x 相交于 的图象在 y = 2 x 的图象的上方,当 x < 0 ,刚好相反,故有 10 2 > 2 2 及 10 ?2 < 2 ?2 。 ② y = 2 x 与 y = ? ? 的图象关于 y 轴对称。

x

? 1? ? 2?

x

? 1? ③通过 y = 2 , y = 10 , y = ? ? 三个函数图象,可以画出任意一个函数 y = a x ( a > 0且a ≠ 1 )的 ? 2?
x x

x

? 1? 示意图,如 y = 3 的图象,一定位于 y = 2 和 y = 10 两个图象的中间,且过点 ( 0,1) ,从而 y = ? ? 也由 ? 3?
x x x

x

关于 y 轴的对称性,可得 y = ? ? 的示意图,即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。

? 1? ? 3?

x

2、对数: 定义:如果 a b = N ( a > 0且a ≠ 1) ,那么数 b 就叫做以 a 为底的对数,记作 b = log a N (a 是底数,N 是 真数, log a N 是对数式。 ) 由于 N = a b > 0 故 log a N 中 N 必须大于 0。 当 N 为零的负数时对数不存在。 (1)对数式与指数式的互化。 由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题,如: 求 log 0.32 ?

?5 2? ? ? 4 ? ?5 2? ? = x ,再改写为指数式就 ? 4 ?

分析: 分析:对于初学者来说,对上述问题一般是束手无策,若将它写成 log 0.32 ? 比较好办。 解:设 log 0.32 ?

?5 2? ?=x ? 4 ?

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2

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则 0.32 x =
x

5 2 4
? 1

? 8? ? 8? 2 即? ? = ? ? ? 25? ? 25? 1 ∴x = ? 2 ?5 2? 1 即 log 0.32 ? ?=? 2 ? 4 ?
评述: 评述:由对数式化为指数式可以解决问题,反之由指数式化为对数式也能解决问题,因此必须因题而异。 如求 3 x = 5 中的 x ,化为对数式 x = log 3 5 即成。 (2)对数恒等式: 由 ab = N

(1) b = log a N (2)

将(2)代入(1)得 a log a N = N 运用对数恒等式时要注意此式的特点,不能乱用,特别是注意转化时必须幂的底数和对数的底数相同。 计算:

( 3)

? log 1 2
3

解:原式 = 3

1 ? log 1 2 2
3

? 1? =? ? ? 3?

log 1
3

2= 2



(3)对数的性质: ①负数和零没有对数; ②1 的对数是零; ③底数的对数等于 1。 (4)对数的运算法则: ① log a ( MN ) = log a M + log a N ② log a

( M,N ∈ R )
+

M = log a M ? log a N N

( M,N ∈ R )
+ + +

③ log a N n = n log a N ④ log a
n

( )

(N ∈R )

N =

1 log a N n

(N ∈R )

3、对数函数: 定 义 : 指 数 函 数 y = a x ( a > 0且a ≠ 1) 的 反 函 数

y = log a x x ∈ (0,+∞) 叫做对数函数。
1、对三个对数函数 y = log 2 x,y = log 1 x,
2

y = lg x 的图象的认识。
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图象特征与函数性质: 图象特征 (1)图象都位于 y 轴右侧; (2)图象都过点(1,0) ; (3) y = log 2 x , y = lg x 当 x > 1 时,图象
+

函数性质 (1)定义域:R ,值或:R; (2) x = 1 时, y = 0 。即 log a 1 = 0 ;

(3)当 a > 1 时,若 x > 1 ,则 y > 0 ,若 0 < x < 1 ,则 y < 0 ; 在 x 轴上方,当 0 < x < 0 时,图象在 x 轴下 当 0 < a < 1 时 , 若 x > 0 , 则 y < 0 , 若 0 < x < 1 时,则 y > 0 ; 方, y = log x 与上述情况刚好相反;
1 2

(4)y = log 2 x,y = lg x 从左向右图象是上 (4) a > 1 时, y = log a x 是增函数; 升,而 y = log 1 x 从左向右图象是下降。
2

0 < a < 1 时, y = log a x 是减函数。

对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较) : (1) 所有对数函数的图象都过点 (1,0) 但是 y = log 2 x 与 y = lg x 在点 , (1,0) 曲线是交叉的, 即当 x > 0 时, y = log 2 x 的图象在 y = lg x 的图象上方;而 0 < x < 1 时, y = log 2 x 的图象在 y = lg x 的图象的下方, 故有: log 2 15 > lg 15 ; log 2 01 < lg 01 。 . . . . (2) y = log 2 x 的图象与 y = log 1 x 的图象关于 x 轴对称。
2

(3)通过 y = log 2 x , y = lg x , y = log 1 x 三个函数图象,可以作出任意一个对数函数的示意图,如
2

作 y = log 3 x 的图象, 它一定位于 y = log 2 x 和 y = lg x 两个图象的中间, 且过点 (1,0) x > 0 时, y = lg x , 在 的上方,而位于 y = log 2 x 的下方, 0 < x < 1 时,刚好相反,则对称性,可知 y = log 1 x 的示意图。
3

因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。 4、对数换底公式:

log b N =

log a N log a b

Ln N = log e N ( 其中e = 2.71828… ) 称为N的自然对数 Lg N = log 10 N 称为常数对数
由换底公式可得:

Ln N =

lg N lg N = = 2.303 lg N lg e 0.4343

由换底公式推出一些常用的结论: (1) log a b =
m

1 或 log a b· log b a = 1 log b a
= m log a b n
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(2) log a n b

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(3) log a n b = log a b
n

(4) log a n a

m

=

m n

5、指数方程与对数方程* 定义:在指数里含有未知数的方程称指数方程。 在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。 由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算,故指数方程对数方程不是代数方程而属于超越方程。

指数方程的题型与解法: 名称 基本型 同底数型 不同底数型 需代换型 题型 解法 取以 a 为底的对数 f ( x ) = log a b 取以 a 为底的对数 f ( x ) = ? ( x ) 取同底的对数化为 f ( x ) · lg a = ? ( x ) · lg b 换元令 t = a x 转化为 t 的代数方程

a f ( x) = b

a f ( x) = a ?( x) a f ( x) = b? ( x)

F ax = 0

( )

对数方程的题型与解法: 名称 基本题 同底数型 需代换型 题型 解法 对数式转化为指数式 f ( x ) = a
b

log a f ( x ) = b log a f ( x ) = log a ? ( x )
F(loga x ) = 0

转化为 f ( x ) = ? ( x ) (必须验根) 换元令 t = log a x 转化为代数方程

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