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河北省衡水中学2013届高三第十次模拟考试数学(文)试题


本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150 分。考试时间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、

选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的序号填

涂在答题卡上) 1.已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? ,集合 A ? ?1,3,4? ,集合 B ? ?2, 4? ,则 ? CU A? ? B 为( A. ?2,4,5? B. ?1,3, 4? C. ?1,2,4? )
2 2

)

D. ?2,3,4,5?

2.下面四个条件中,使 a > b 成立的充分而不必要的条件是( A. a > b +1 B. a > b -1 且 a ? bi ? C. a > b

Da >b

3

3
[来源:Zxxk.Com]

3.设复数 z ? a ? bi(a, b ? R)

11 ? 7i (1 ? i ) 2

,则复数 z 在复平面所对应的的点位于

A.第一象限

B.第二象限
0

C.第三象限 )

D. 第四象限

4. 平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (2, 0) , b ? 1 则 a ? 2b ? ( A 3 5.给出以下四个说法: ①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距; B 2 3 C4

D12

②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数 R 的值越大,说明拟合的效果越好;

2

[来源:学科网]

③设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组样本数据(xi, yi) (i=1,2,…,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71 说明若该大学某女生身高增加 1cm, y 则其体重约增加 0.85kg; ④对分类变量 X 与 Y , 若它们的随机变量 K 的观测值 k 越小, 则判断“ X 与 Y 有关系”的把握程度越大. 其 中正确的说法是 A.①④ ( B.②④ ) C.①③ D.②③ 的图象( )
2

6.要得到一个奇函数,只需将函数 f ( x) ? sin x ? 3 cos x

A.向右平移

? ? ? 个单位 B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 ? ? ?

D.向左平移

? 个单位 ?

7.如图是一几何体的三视图,正视图是一等腰直角三角形, 且斜边 BD 长为 2;侧视图一直角三角形;俯视图为一直角 梯形,且 AB ? BC ? 1 ,则此几何体的体积是( )

A. 1

B.

2

C.

1 2

D.

1 2

8.已知数列 {a n } , 若点 ( n,a n ) (n ? N ? ) 在经过点 (8 ,4) 的定直线 l 上, 则数列 {a n } 的前 15 项和 S 15 ? A.12 B.32 ( ) C.60 D .120

? x ? y ? 10 ? 9.设实数 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?x ? 4 ?
A.26 10. 椭 圆 B.24 C.16





D.14

x2 y2 x2 y2 ? ? 1与双曲线 ? 2 ? 1 有 公 共 的 焦 点 F1 , F2 , P 是 两 曲 线 的 一 个 交 点 , 则 6 2 3 b
( B. ) D.

cos?F1 PF2 =
A.

3 4

1 4

C.

1 3

2 3

11.下图的程序框图中 f ( x, y ) 是产生随机数的函数,它能随机产生区间 ( x, y ) 内的任何一个数,如果输入 N 值为 4000,输出的 m 值为 1840,则利用随机模拟方法 计算由 y ? 2 x 与 x ? ?1 及 x 轴所围成面积的近似值为( ) 输出 m N 开始 输入 N m=0 i=1 i≤N Y a=f (-1,1) b=f (0,2)

结束

i=i+1

m=m+1

Y N D.0.54

2a≤b

A.2.17

B.2.16
x ?1

C.0.46

12 设点 P 在曲线 y ? e A.

上,点 Q 在曲线 y ? ?1? ln x 上,则 PQ 最小值为( C.



2

B. 2 2

2 (1 ? ln 2)

D 2 (1 ? ln 2)

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 13 题~第 21 题为必考题, 第 每个试题考生都必须做答。 22 题~ 第 第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13. 设函数 f ( x) ? x 3 cos x ? 1. 若 f (a) ? 11,则 f (?a) ? 14.在等比数列 {an } 中,若 a1 ? .

1 , a4 ? ?4 ,则公比 q ? ________; 2

| a1 | ? | a2 | ??? | an |? ________.
15.设抛物线 y2= 4x 的焦点为 F,其准线与 x 轴的交点为 Q,过点 F 作直线 l 交抛物线于 A、B 两点 若∠AQB=90o,则直线 l 的方程为 。

16.在直角梯形 ABCD 中,AB=2AD=2DC=2,∠DAB=∠ADC =90° ,将△DBC 沿 BD 向上 折起,使平面 ABD 垂直于平面 BDC,则三棱锥 C-DAB 的外接球的体积为________. 三、解答题(共 6 个小题,第 17 题 10 分,其余每个小题 12 分,共 70 分) 17.(本小题满分 12 分).在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c,三边 a,b,c 成等比数列。 (1)角 A,B,C 成等差数列,求 sin A sin C 的值; (2)若 c ? b ? 2a ,求 sin B 。
2 2 2

18. (本小题满分 12 分)某汽车租赁公司为了调查 A,B 两种车型的出租情况,现随机抽取这两种车型各 50 辆,分别统计了每辆车在某个星期内的出租天数,统计数据如下表: A 型车 B 型车

出租天数 车辆数

3
[ 来 源 :Zx xk.Co m]

4 30

5 5

6 7

7 5

3

(1) 试根据上面的统计数据, 判断这两种车型在本星期内出租天数的方差的大小关系 (只需要写出结果) ; (2)现 从出租天数为 3 天的汽车(仅限 A,B 两种车型)中随机抽到一辆,试估计这辆汽车是 A 型车的 概率; (3)如果两种车型每辆车每天出租得的利润相同,该公司需要购买一辆汽车,请你根据所学的统计知识, 给出建议应该购买哪一种车型,并说明你的理由。

19. (本小题满分 12 分)如图,已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为等腰梯形, AB∥DC,AC⊥BD,AC 与 BD 相交于点 O,且顶点 P 在 底面上的射影恰为 O 点,又 BO=2,PO= 2 ,PB⊥PD. (1)求四棱锥 P ? ABCD 的体积。 (2)设点 M 在棱 PC 上,且 PC⊥平面 BMD.

PM ? ? ,问? 为何值时, MC

x2 y 2 ? ? 1 的左焦点为 F ,过点 F 的直线交椭圆于 A, B 两点, 20. (本小题满分 12 分)如图,已知椭圆 4 3 线段 AB 的中点为 G , AB 的中垂线与 x 轴和 y 轴分别交于 D, E 两点.

(1)若点 G 的横坐标为 ?

1 ,求直线 AB 的斜率; 4

(2)记△ GFD 的面积为 S1 ,△ OED ( O 为原点)的面 积为 S2 .试问:是否存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ?说明理由.

21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ln x ? mx ? m, m ? R. 。 (1)求函数 f ( x ) 的单调区间。 (2)若 f ( x) ? 0在x ? (0, ??) 上恒成立,求实数 m 的取值范围 (3)在(2)的条件下,对任意的 0 ? a ? b ,求证:

f (b) ? f (a) 1 ? b?a a(1 ? a)

请考生在第 22~24 三题中任选一题做答。如果多做,则按所做的第一题记分. 22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图所示,已知 PA 是⊙O 相切,A 为切点,PBC 为割线,弦 CD//AP,AD、BC 相交于 E 点,F 为 CE 上
2 一点,且 DE ? EF ? EC.

(1)求证:A、P、D、F 四点共圆; (2)若 AE·ED=24,DE=EB=4,求 PA 的长。

23. (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

4 ? ?x ? 5 t 1 ? ? 已知直线 C1 : ? (t 为参数) ,曲线 C 2 : ? ? ? 2 2 sin(? ? ) 。 ? 4 ?y ? 3 t ? 5 ?
(1)求直线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)求直线 C1 被曲线 C 2 所截的弦长。

24. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (1)若不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,求实数 a 的值; (2)在(1)的条件下,若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 对一切实数 x 恒成立,求实数 m 的取值范围

?

?

2012—2013 学年度高三年级十模考试文科数学答案

1 8. 解: (1)由数据的离散程度可以 看出,B 型车在本星期内出租的天数方差较大。………2 分 (2)这辆汽车是 A 类型车的概率约为 P ?

3 …………6 分 13

(3)50 辆 A 类型车出租的天数的平均数为 x A ? 50 辆 B 类型车出租的天数的平均数为 x B ? 所以应该购买 B 型车。…………12 分 19. 解:(1)由 BO=2,PO= 2 可得 PB ? 6
2 设 DO ? x 直角三角形 PBD 中 PB ? BD 2

3 * 3 ? 4 * 30 ? 5 * 5 ? 6 * 7 ? 7 * 5 ? 4.62 50

3 *10 ? 4 *10 ? 5 *15 ? 6 *10 ? 7 * 5 ? 4.8 50

? PD 2

(x ? 2) 2 ? 6 ? x 2 ? 2 解得 x ? 1

V=

3 2 …………6 分 2

? (2) 由已知易得:BD ? 平面 PAC,所以 BD ? PC 过 D 作 DM ? PC 交 PC 于 M 则 PC ? 平面 BMD, OM ? 又
在 Rt ?POC 中, PC ? PD ? 3, OC ? 1, PO ? 2 ,

? PM ?

PM 2 3 3 ?2 , MC ? ,? MC 3 3
/

故 ? ? 2 时, PC ? 平面 BMD …………12 分

21. 解: (Ⅰ) f ( x) ?

1 1 ? mx ?m ? , ( x ? (0,?? )) x x

当 m ? 0 时, f / ( x) ? 0 恒成立,则函数 f (x) 在 (0,??) 上单调递增;………2 分

1 1 ? mx 1 ?m ? ? 0 ,则 x ? (0, ) x x m 1 1 则 f (x) 在 (0, ) 上单调递增,在 ( ,?? ) 上单调递减. m m
当 m ? 0 时,由 f ( x) ?
/

…… ……………4 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得:当 m ? 0 时显然不成立; 当 m ? 0 时, f ( x) max ? f ( 只需 m ? ln m ? 1 ? 0 即可
/

1 1 ) ? ln ? 1 ? m ? m ? ln m ? 1 , m m

…………………….6 分

令 g ( x) ? x ? ln x ? 1,则 g ( x ) ? 1 ?

1 ,函数 g (x) 在 (0,1) 上单调递减,在 (1,??) 上单调递增. x

? g ( x) min ? g (1) ? 0 ,即 g ( x) ? 0 对 x ? (0, ??) 恒成立,也就是 m ? ln m ? 1 ? 0 对 m? (0, ??) 恒成立,
∴ m ? ln m ? 1 ? 0 解得 m ? 1 ∴若 f ( x) ? 0 在 x ? (0,??) 上恒成立, m =1. …………8 分

b f (b) ? f (a) ln b ? ln a ? a ? b ln b ? ln a 1 (Ⅲ) ? ? ?1 ? a ? ?1 b b?a b?a b?a a ?1 a b b b 由 0 ? a ? b 得 ? 1 ,由(Ⅱ)得: ln ? ? 1 ,…………10 分 a a a ln
b 2 1 a ? 1 ?1 ? 1 ?1 ? 1? a ? 1? a ? 则 , b a a a a(1 ? a) a(1 ? a) ?1 a f (b) ? f (a) 1 ? 则原不等式 成立 ……12 分 b?a a(1 ? a) ln

21. (Ⅰ)解:依题意,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y ? k ( x ? 1) . 将其代入

………1 分

x2 y 2 ? ? 1 ,整理得 (4k 2 ? 3) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0 . 4 3 ?8k 2 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,所以 x1 ? x2 ? . ………………3 分 4k 2 ? 3 x ?x ?4k 2 ?4k 2 1 G 的横坐标为 1 2 ? 2 ?? , 故点 .依题意,得 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4 1 解得 k ? ? . ………6 分 2
(Ⅱ)解:假设存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 ,显然直线 AB 不能与 x , y 轴垂直.

由(Ⅰ)可得 G (

?4k 2 3k , 2 ) .………………8 分 2 4k ? 3 4 k ? 3

因为 DG ? AB ,

3k 4k 2 ? 3 ? k ? ?1 , 所以 ?4k 2 ? xD 4k 2 ? 3
解得 xD ?

?k 2 ?k 2 , 0) . , 即 D( 2 4k 2 ? 3 4k ? 3

………10 分

因为 △ GFD ∽△ OED ,所以 S1 ? S2 ? | GD | ? | OD | .

所以

(

?k 2 ?4k 2 2 3k 2 ?k 2 2 ? 2 ) ?( 2 ) ? , 整理得 8k ? 9 ? 0 . 因为此方程无解, 所 2 2 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3 4k ? 3
………………12 分

以不存在直线 AB ,使得 S1 ? S2 .
2 22. (1)证明:? DE ? EF ? EC ,?

DE EF ? , CE ED

又 ?DEF ? ?CED ,

? ?DEF ? ?CED , ?EDF ? ?ECD , 又? CD / / PA,??ECD ? ?P
故 ?P ? ?EDF ,所以 A, P, D, F 四点共圆. 又 BE ? EC ? AE ? ED ? 24 , ………………5 分 (2)解:由(Ⅰ)及相交弦定理得 PE ? EF ? AE ? ED ? 24 ,

DE 2 8 ? EC ? 6, EF ? ? , PE ? 9, PB ? 5, PC ? PB ? BE ? EC ? 15 , EC 3 2 由切割线定理得 PA ? PB ? PC ? 5 ? 15 ? 75 ,
所以 PA ? 5 3 为所求. ………………10 分

23. 解: (Ⅰ)把直线 C1 化成普通方程得 3x ? 4 y ? 0 , 把曲线 C 2 : ? ?

1

?

? 2 2 sin(? ?
2 2

?
4

) 化成 ? 2 ? 1 ? 2? cos? ? 2? sin ?

∴其直角坐标方程为 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 1 ? 0 …………………5 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知曲线 C 2 是以(1,1)为圆心,半径为 1 的圆

[来源:学&科&网]

∴圆心到直线的距离 d ?

1 4 6 2 2 , ∴弦长为 2 r ? d ? …………10 分 5 5

24. 解: (1)由 f ( x) ? 3 得 | x ? a |? 3 ,解得 a ? 3 ? x ? a ? 3 .

又已知不等式 f ( x) ? 3 的解集为 x ?1 ? x ? 5 ,所以 ? ( 2 ) 当

?

?

?a ? 3 ? ?1, 解得 a ? 2 .…………5 分 ?a ? 3 ? 5,
。 设

a?2





f ( x) ?| x ? 2 |

g ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 5)

.



| x ? 2 | ? | x ? 3|? ( x ? 2) ? ( x ? 3) ? 5 (当且仅当 ?3 ? x ? 2 时等号成立)得, g ( x) 的最小值从而,
若 f ( x) ? f ( x ? 5) ? m 即 g ( x) ? m 对一切实数 x 恒成立,则 m 的取值范围为(- ? ,5]. …………10 分


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