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2.3.2离散型随机变量的方差(一)


选修2-3 高二数学 选修

2.3.2离散型随机变 离散型随机变 量的方差( 量的方差(一)

一、复习回顾
1、离散型随机变量的数学期望 、

X P

x1

x2

p1

p2

··· ···

xi

pi

··· ···

xn

pn

EX = x1 p1 + x 2 p2 + L + x i pi + L + x n pn
数学期望是反映离散型随机变量的平均水平 2、数学期望的性质 、

E (aX + b ) = aEX + b

三、如果随机变量X服从两点分布为 如果随机变量X
X P 1 p 0 1-p -



EX = p

服从二项分布, 四、如果随机变量X服从二项分布,即 如果随机变量 服从二项分布 X~B(n,p),则 ~ ( ),则 ),

EX = np

探究:要从两名同学中挑出一名 代表班级参加射击 探究 要从两名同学中挑出一名,代表班级参加射击 要从两名同学中挑出一名 比赛.根据以往的成绩记录 根据以往的成绩记录,第一名同学击中目标 比赛 根据以往的成绩记录 第一名同学击中目标 靶的环数X 第二名同学击中目标 靶的环数 1~B(10,0.8),第二名同学击中目标 靶的环数X2=Y+4,其中 ~B(5,0.8). 靶的环数 其中Y~ 其中 请问应该派哪名同学参加竞赛? 请问应该派哪名同学参加竞赛 分析: 分析 EX1=10X0.8=8 EX2=EY+4=5X0.8+4=8 这意味着两名同学的平均射击水平没有差异 那么还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标 那么还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标 来确定谁参加竞赛呢? 来确定谁参加竞赛呢

怎样定量刻画随机变量的稳定性呢? 怎样定量刻画随机变量的稳定性呢 已知样本方差可以刻画样本数据的稳定性
样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度. 样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度

在一组数: 在一组数:x1, x2 ,… x n 中,各数据的 平均数为 x,则这组数据的方差为: ,则这组数据的方差为: S2= ( x1 – x )2 + ( x2 – x )2 +…+ ( x n – x )2 n 方差反映了这组 数据的波动情况 能否用一个与样本方差类似的量来刻画随机变量 的稳定性呢? 的稳定性呢

离散型随机变量取值的方差 一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 的概率分布为: 一般地,若离散型随机变量 的概率分布为:

X P
则称
n

x1

x2

p1

p2

··· ···

xi

pi

··· ···

xn

pn

DX = ( x1 ? EX )2 p1 + L+ ( xi ? EX )2 pi + L + ( xn ? EX )2 pn

为随机变量X的方差。 = ∑ ( xi ? EX )2 pi 为随机变量 的方差。 称 σX =
i =1

为随机变量X的标准差。 DX 为随机变量 的标准差。

它们都是反映离散型随机变量偏离于均值的平 均程度的量,它们的值越小, 均程度的量,它们的值越小,则随机变量偏离 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。 于均值的平均程度越小,即越集中于均值。

三、基础训练
1、已知随机变量X的分布列 、已知随机变量 的分布列 X P 0 0.1 1 0.2 2 0.4 3 0.2 4 0.1

求DX和σX。 和 。 解: = 0 × 0.1 + 1× 0.2 + 2 × 0.4 + 3 × 0.2 + 4 × 0.1 = 2 EX

DX = (0 ? 2) × 0.1 + (1 ? 2) × 0.2 + (2 ? 2) × 0.4
2 2 2

+ (3 ? 2) × 0.2 + (4 ? 2) × 0.1 = 1.2
2 2

σX = DX = 1.2 ≈ 1.095

2、若随机变量 满足 (X=c)= ,其中 为 、若随机变量X满足 满足P( = )= )=1,其中c为 常数, 常数,求EX和DX。 和 。 解: 离散型随机变量X的分布列为: 离散型随机变量X的分布列为: X P c 1

EX=c×1=c = × = DX=( -c)2×1=0 =(c- ) =( =

四、方差的应用
乙两名射手在同一条件下射击,所得环数X 例:甲、乙两名射手在同一条件下射击,所得环数 1, X2分布列如下: 分布列如下: X1 P 8 0.2 9 0.6 10 0.2 X2 P 8 0.4 9 0.2 10 0.4

用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。 用击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。

解:EX 1 = 9, EX 2 = 9

DX 1 = 0.4, DX 2 = 0.8

表明甲、乙射击的平均水平没有差别,在多次射击中 表明甲、乙射击的平均水平没有差别, 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定, 平均得分差别不会很大,但甲通常发挥比较稳定,多 数得分在9环 而乙得分比较分散,近似平均分布在8 数得分在 环,而乙得分比较分散,近似平均分布在 -10环。 环

X1 P

8 0.2

9 0.6

10 0.2

X2 P

8 0.4

9 0.2

10 0.4

EX 1 = 9, EX 2 = 9

DX 1 = 0.4, DX 2 = 0.8

问题1:如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题 :如果你是教练,你会派谁参加比赛呢? 问题2:如果其他对手的射击成绩都在 环左右 环左右, 问题 :如果其他对手的射击成绩都在8环左右, 应派哪一名选手参赛? 应派哪一名选手参赛? 问题3:如果其他对手的射击成绩都在 环左右 环左右, 问题 :如果其他对手的射击成绩都在9环左右, 应派哪一名选手参赛? 应派哪一名选手参赛?

练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你, 练习:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能 获得如下信息: 获得如下信息:
甲单位不同职位月工 资X1/元 元 获得相应职位的概 率P1 乙单位不同职位月工 资X2/元 元 获得相应职位的概 率P2 1200 0.4 1000 0.4 1400 0.3 1400 0.3 1600 1800 0.2 0.1

1800 2200 0.2 0.1

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

解:EX 1 = 1400, EX 2 = 1400

DX 1 = 40000, DX 2 = 160000
在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 在两个单位工资的数学期望相等的情况下, 如果认为自己能力很强, 如果认为自己能力很强,应选择工资方差大 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 的单位,即乙单位;如果认为自己能力不强, 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。 就应选择工资方差小的单位,即甲单位。

五、几个常用公式: 几个常用公式:

D(aX + b ) = a DX
2

服从两点分布, 若 X 服从两点分布,则 DX = p(1 ? p )

若 X ~ B ( n , p ),则 DX = np (1 ? p )

相关练习: 相关练习:

1 1、已知 η = 3ξ + ,且 D ξ = 13 , 则 D η = 117 8

2、已知 X ~ B ( n , p ), EX = 8, DX = 1.6, , 则 n =10 p =0.8
3、有一批数量很大的商品,其中次品占 、有一批数量很大的商品, 1%,现从中任意地连续取出 %,现从中任意地连续取出 件商品, %,现从中任意地连续取出200件商品, 件商品 设其次品数为X, 设其次品数为 ,求EX和DX。 2,1.98 和 。 ,

六、课堂小结
1、离散型随机变量取值的方差、标准差及意义 、离散型随机变量取值的方差、 2、记住几个常见公式 、

D(aX + b ) = a 2 DX
服从两点分布, 若 X 服从两点分布,则 DX = p(1 ? p )

若 X ~ B ( n , p ),则 DX = np (1 ? p )

4.(07全国)某商场经销某商品,根据以往资料统 ( 全国 某商场经销某商品, 全国) 的分布列为: 计,顾客采用的分起付款期数 ξ 的分布列为:

ξ
P

1 0.4

2 0.2

3 0.2

4 0.1

5 0.1

商场经销一件该商品,采用 期付款 其利润为200 期付款, 商场经销一件该商品,采用1期付款,其利润为 期或3期付款 期或5 元,分2期或 期付款,其利润为 期或 期付款,其利润为250元,分4期或 元 期或 期付款,其利润为300元, η 表示经销一件该商品的 期付款,其利润为 元 利润。 利润。 位顾客中, (1)求事件 :”购买该商品的 位顾客中,至少有 )求事件A: 购买该商品的3位顾客中 一位采用1期付款 的概率P(A); 期付款” 一位采用 期付款” 的概率 ; 的分布列及期望E (2)求 η 的分布列及期望 η 。 )

5.根据统计,一年中一个家庭万元以上的财产被盗的 根据统计, 根据统计 概率为0.01,保险公司开办一年期万元以上家庭财 概率为 , 产保险,参加者需交保险费100元,若在一年以内, 产保险,参加者需交保险费 元 若在一年以内, 万元以上财产被盗,保险公司赔偿a元 万元以上财产被盗,保险公司赔偿 元(a>100), ), 如何确定, 问a如何确定,可使保险公司期望获利? 如何确定 可使保险公司期望获利?

练习: 练习: 1、若保险公司的赔偿金为a(a>1000)元,为使保险 、若保险公司的赔偿金为 ( > ) 公司收益的期望值不低于a的百分之七 的百分之七, 公司收益的期望值不低于 的百分之七,则保险公司应 将最大赔偿金定为多少元? 将最大赔偿金定为多少元?

ξ
P

1000 0.97

1000-a 0.03

E ξ = 1000-0.03a≥0.07a - 得a≤10000 故最大定为10000元。 元 故最大定为

2、射手用手枪进行射击,击中目标就停止,否则继续射 、射手用手枪进行射击,击中目标就停止, 他射中目标的概率是0.7,若枪内只有 颗子弹 求射击 若枪内只有5颗子弹 击,他射中目标的概率是 若枪内只有 颗子弹,求射击 次数的期望。 保留三个有效数字 保留三个有效数字) 次数的期望。(保留三个有效数字

ξ
p

1 0.7
Eξ =1.43

2

3

4

5 0.34

0.3× 0.32× 0.33× 0.7 0.7 0.7


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