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概率与统计综合练习

高二数学通用版概率与统计综合练习 (答题时间:60 分钟)
一、填空题 1. 某校有学生 2000 人,其中高三学生 500 人,为了了解学生的身体素质情况,采用按年 级 分 层 抽 样 的 方 法 , 从 该 校 学 生 中 抽 取 200 人 的 样 本 。 样 本 中 高 三 学 生 的 人 数 为 ___________________。 2. 下面左图是某区 2008 年高三学生身高的统计图,从左到右的各条形表示的学生人数依 次记为 A1、A2、?、Am(如 A2 表示身高(单位:cm)在[150,155]内的学生人数) 。右图是 统计图中身高在一定范围内学生人数的一个算法流程图。现要统计身高在区间[160,190) 内的学生人数,那么在流程图中的判断框内应填写的条件是________。

3. 在区间 ?0,3? 上任取一点,则此点落在区间 ?2,3? 上的概率是______________。 4. 两根相距 6m 的木杆上系一根绳子,并在绳子上挂一盏灯,则灯与两端距离都大于 2m 的概率是_____________。 5. 两艘轮船都要停靠同一泊位,它们可能在一昼夜的任意时刻到达。设两船停靠泊位 的时间分别为 1h 和 2h,则有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率为________。 6. 先后投掷两枚骰子,观察向上的点数,则所得点数是 3 的概率是____________。所得 点数是 3 的倍数的概率是_______________。 7.(湖南理) 如图 4,EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形。将一颗豆子 随机地扔到该图内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内” 表示事件“豆子落在扇 ,B 形 OHE(阴影部分)内” ,则(1)P(A)= _____________; (2)P(B|A)= 。

二 解答题 8. 甲、乙两人下棋,和棋的概率是

1 1 ,乙胜的概率是 ,求(1)甲获胜的概率。 (2)甲 2 3

不输的概率。 9. 在长 12 ㎝的线段 AB 上任取一点 M,并以线段 AM 为边作正方形,试求这个正方形的
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面积介于 36 cm2 和 81 cm2 之间的概率,并用随机模拟试验设计求解此概率近似值的过程, 最后比较上面两种解法所得的结果,你由此得出的结论是什么? (提示:几何概型的概率求解公式为

P ? A? ?

事件A所构成的区域长度?或面积,体积? 。 试验所有结果对应区域长度?或面积,体积?

*10. 某种电路开关闭合后,会出现闪动的红灯或绿灯。已知开关第一次闭合,出现红灯

1 ,从开关第二次闭合起,若前次出现红灯,则下一次出现红灯的 2 1 2 3 概率是 ,出现绿灯的概率是 ;若前次出现绿灯,则下一次出现红灯的概率是 ,出现 3 3 5 2 绿灯的概率是 ,记开关第 n 次闭合后出现红灯的概率为 Pn 。 5 (Ⅰ)求 P2 ; 1 (Ⅱ)设计师介绍,这种开关每次闭合后出现红灯的概率都不大于 。请判断这个命 2
和出现绿灯的概率都是 题是否正确,若正确,请给出证明过程;若不正确,请说明理由。 *11. 已知关于 x 的二次函数 f ?x ? ? ax ? 4bx ? 1?a ? 0?
2

个数作为 a 和 b ,求函数 y ? f ?x ? 在 ?1,?? ? 上是增函数的概率;

(1) 设集合 P ? ?? 1,1,2,3,4,5?和 Q ? ?? 2,?1,1,2,3,4? , 分别从集合 P 和 Q 中随机取一

?x ? y ? 8 ? 0 ? (2) 设点 ?a, b ? 是区域 ? x ? 0 内的随机点, 求函数 y ? f ?x ? 在 ?1,?? ? 上是增函 ?y ? 0 ?
数的概率。

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高二数学通用版概率与统计综合练习参考答案
一、填空题:

1 3 1 2 7.(1) ; (2) P (B|A) = 4 ?
1. 50 人 2. i ? 10 ? 3.

4.

1 3

5.

1 1 139 6. , 18 3 1152

( = 解析: (1)由几何概型概率计算公式可得 P A)

S正 2 = ; S圆 ?

2 1 ? P AB) ? 4 1 ( (2)由条件概率的计算公式可得 P (B|A) = = = 。 2 P A) ( 4

?

二、解答题 8. 解: (1)“甲获胜”和“乙胜或和棋”为对立事件,因此, “甲胜”的概率是

P ? 1?

1 1 1 ? ? 2 3 6
1 2 ? 3 3

(2)设事件 A 为“甲不输”看做是“甲胜或和棋”的对立事件,所以,

P ? A? ? 1 ?

9. 解:如图所示,其中 AM 1

? 6 cm

(8)

AM 2 ? 9 ㎝,以 AM 为边作正方形,其面积介于 36 cm2 和 81 cm2 之间,即边长介于
6 ㎝和 9 ㎝之间,因此可知,点 M 在线段 M 1M 2 上移动,它属于几何模型,因此它的概率 为P?

9?6 1 ? 。 12 4

用随机模拟试验设计其概率的近似值的过程为:用 RAND( )函数产生 0~1 间的均 匀随机数 n ,然后进行伸缩变换 b ? a ?12 。由上面的过程就可产生 0~12 间的 N 个均匀随 机数,用 N1 记录在 6~9 范围内的随机数,由此得落在 6~9 范围内的随机数发生的频率为

f ?

N1 ,从而由频率来估计概率的近似值。 N

从上面的解答可以看出: 由随机模拟试验求解事件发生的频率, 可在大量试验的基础上, 用频率估计概率。 *10. 解: (Ⅰ)第二次闭合后出现红灯的概率 P2 的大小决定于两个互斥事件,即第一次红 1 3 7 灯后第二次又是红灯,第一次绿灯后第二次才是红灯。于是: P2 ? P ? ? (1 ? P ) ? ? 1 1 3 5 15 (Ⅱ)研究开关第 n 次闭合后出现红灯的概率 Pn ,则要考虑第 n ? 1 次闭合出现红、绿 灯的情况。
1 3 4 3 依题意,得: Pn ? Pn?1 ? ? (1 ? Pn?1 ) ? ? ? Pn?1 ? 3 5 15 5

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由待定系数法,令 Pn ? x ? ? 整理比较得: x ? ?
9 19

4 ( Pn?1 ? x) 15

11. 解: (1)基本事件总数为 36 个。由于函数 f ?x ? ? ax ? 4bx ? 1 的图象的对称轴为
2

9? 4 ? ∴ ? Pn ? ? 为等比数列,公比为 ? 。 19 ? 15 ? 9 9 4 1 4 Pn ? ? ( P ? )(? )n ?1 ? (? )n ?1 1 19 19 15 38 15 9 1 4 n ?1 ∴ Pn ? ? (? ) 19 38 15 1 9 1 4 9 1 1 依题意,当 n ? 1 时, P ? ;当 n ? 2 时, Pn ? ? (? )n?1 ? ? ? 1 2 19 38 15 19 38 2 ∴设计师的说法是正确的。

x?

2b 2b , 要使 y ? f ?x ? 在 ?1,?? ? 上是增函数, 当且仅当 a ? 0 且 即 ? 1 , a ? 0 且 2b ? a a a

时成立。 若 a ? 1 ,则 b ? ?2 , ? 1;若 a ? 2 ,则 b ? ?2 , ? 1,1 ;若 a ? 3 ,则 b ? ?2 ,? 1 , 1;若 a ? 4 ,则 b ? ?2 , ? 1,1 , 2 ;若 a ? 5 ,则 b ? ?2 , ? 1,1 , 2 。 故事件包含的基本事件的个数为 2 ? 3 ? 3 ? 4 ? 4 ? 16 ;因此所求概率为

(2)由(1)可知当 a ? 0 且 2b ? a 时, y ? f ?x ? 在 ?1,?? ? 上是增函数。

16 4 ? 。 36 9

? ?a ? b ? 8 ? 0? ? ? ? 由条件可知试验的全部结果所构成的区域为 ??a, b ? ?a ? 0 ? ,画出构成事件的 ? ?b ? 0 ? ? ? ?
?a ? b ? 8 ? 0 1 ? ? 16 8 ? 区域为一三角形区域, 其面积为 ? 8 ? 8 ? 32 ; 又由 ? 得交点坐标为 ? , ? , a 2 ? 3 3? ?b ? 2 ? 32 1 8 32 1 故满足要求的基本事件的区域的面积为 ? 8 ? ? ;故所求的概率为 P ? 3 ? 。 2 3 3 32 3

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