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浙江大学附中2013届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用


浙江大学附中 2013 届高三数学一轮复习单元训练:导数及其应用 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设函数 f ( x) ? ax2 ? c(a ? 0) ,若

?

1 0

f ( x)dx ? f ( x0 ) 0 ? x0 ? 1 ,则 x0 的值为(
C.

)

A.

1 2

B.

3 4

3 2

D.

3 3

【答案】D 2.函数 f ( x) ? ( x3 ? 1)( x3 ? 2)?( x3 ? 100) 在 x ? ?1 处的导数值为( A.0 【答案】C 3.曲线 y ? ? x 2 ? 1 在点(1,0)处的切线方程为( A. y ? x ? 1 C. y ? 2 x ? 2 【答案】D 4.在△ABC 中,a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 的对边.如果 a,b,c 成等差数列,∠B=30°,△ABC 的 面积为 A.
3 ,那么 b=( 2

) D.3·100!

B.100!

C.3·99!

)

B. y ? ? x ? 1 D. y ? ?2 x ? 2

) B.1+ 3 C.
2? 3 2

1? 3 2

D.2+ 3

【答案】B

5.

? ? (1 ? cos x)dx 等于(
2 ? 2

?

) C. ? ? 2 D. ? ? 2

A. ? 【答案】D

B.2

6.设函数 f (x) 在区间 [ a, b] 上连续,用分点 a ? x0 ? x1 ? ? ? xi ?1 ? xi ? ? xn ? b ,把区间 [ a, b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ? i (i ? 1,2,?, n ) ,作和式 S ? n f (? )?x (其中 ?x 为小区 ? i n
i ?1

间的长度) ,那么 S n 的大小(

)

A.与 f (x) 和区间 [ a, b] 有关,与分点的个数 n 和 ? i 的取法无关 B. 与 f (x) 和区间 [ a, b] 和分点的个数 n 有关,与 ? i 的取法无关

C. 与 f (x) 和区间 [ a, b] 和分点的个数 n, ? i 的取法都有关。 D.与 f (x) 和区间 [ a, b] 和 ? i 取法有关,与分点的个数 n 无关 【答案】C 7. | x ? 4 | dx =(
2 0

?

1

) B.

A.

21 3

22 3

C.

23 3

D.

25 3

【答案】C 8.已知函数 f ( x ) ? sinx 5 根据函数的性质、积分的性质和积分的几何意义,探求 是( A. )

? ? f ( x)dx 的值,结果
2 ? 2

?

1 ? + 6 2

B. ?

C.1

D. 0

【答案】D

9.

? 0(e

1

x

? 2 x)dx 等于(

) B. e ? 1 D. e ? 1

A.1 【答案】C

C. e

10.已知函数 f ( x ) ,当自变量由 x0 变化到 x1 时函数值的增量与相应的自变量的增量比是函数( A.在 x0 处的变化率 C.在 x1 处的变化率 【答案】B 11.已知 f ( x) ? x 3 ? ax在[1,??) 上是单调增函数,则 a 的最大值是( A.0 【答案】D 12. B.1 C.2 D.3 ) D.以上结论都不对

)

B.在区间 [ x0 , x1 ] 上的平均变化率

?

2

?2

e|x|dx 的值等于(

)
2 B. 2e 2 C. 2e ? 2 2 ?2 D. e ? e ? 2

2 ?2 A. e ? e

【答案】C 第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分,把正确答案填在题中横线上)

13.函数 y ? 2 sin x(0 ? x ? ? ) 与 x 轴围成的面积是 【答案】 2 2 14.

.

?

2

0

( x2 ? 4 3

2 x)dx ? 3



【答案】

15.已知 t ? 1 ,若 ?(2 x ? 1)dx ? t 2 ,则 t = 【答案】2 16.求



?

2?

0

cos xdx ? _______

【答案】0 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

? 1 ? 6 ? x ,0 ? x ? c ? p 与日产量 x (万件)间的关系为 p ? ? 17.工厂生产某种产品,交品率 ( c 为常数,且 ?2 , x ? c ?3 ?
0 ? c ? 6) ,已知每生产 1 件合格产品盈利 3 元,每出现 1 件次品亏损 1.5 元。
(1)将日盈利额 y (万元)表示为日产量 x (万件)的函数; (2)为使日盈利额最大,日产量应为多少万件?(注:次品率= 【答案】 (1)当 x ? c 时, p ?

次品数 ? 100% ) 产品总数

2 3

?y ?

1 2 3 ? x ?3? ? x ? ? 0 3 3 2 1 当 0 ? x ? c 时, p ? 6? x

? y ? (1 ?

1 1 3 3 9x ? 2x 2 )? x ?3? ?x? ? ? 6? x 6? x 2 2 6? x

? 日盈利额 y (万元)与日产量 x (万件)的函数关系式为

? 3(9 x ? 2 x 2 ) ,0 ? x ? c ? y ? ? 2( 6 ? x ) ?0, x ? c ?
(2)由(1)知,当 x ? c 时,日盈利额为 0。 当 0 ? x ? c 时,

?y ?

3(9 x ? 2 x 2 ) 2(6 ? x)

? y? ?

3 (9 ? 4 x)(6 ? x) ? (9 x ? 2 x 2 ) 3( x ? 3)(x ? 9) ? ? 2 (6 ? x) 2 (6 ? x) 2

令 y ? ? 0 得 x ? 3 或 x ? 9 (舍去)

? ①当 0 ? c ? 3 时,
? y ? ? 0,? y 在区间 (0, c]] 上单调递增,

? y最大值 ? f (c) ?
此时 x ? c

3(9c ? 2c 2 ) , 2(6 ? c)

②当 3 ? c ? 6 时,在(0,3)上, y ? ? 0 , 在(3,6)上 y ? ? 0

? y 最大值 ? f (3) ?

9 2

综上,若 0 ? c ? 3 ,则当日产量为 c 万件时,日盈利额最大; 若 3 ? c ? 6 ,则当日产量为 3 万件时,日盈利额最大 18.某商店经销一种奥运会纪念品,每件产品的成本为 30 元,并且每卖出一件产品需向税务部门上交 a 元 ( a 为常数,2≤a≤5 )的税收。设每件产品的售价为 x 元(35≤x≤41),根据市场调查,日销售量与

e x (e 为自然对数的底数)成反比例。已知每件产品的日售价为 40 元时,日销售量为 10 件。
(1)求该商店的日利润 L(x)元与每件产品的日售价 x 元的函数关系式; (2)当每件产品的日售价为多少元时,该商品的日利润 L(x)最大,并求出 L(x)的最大值。

k k 10e40 40 【答案】 (1)设日销售量为 x , 则 40 ? 10,? k ? 10e , 则日售量为 x 件. e e e
则日利润 L( x) ? ( x ? 30 ? a) (2) L ( x) ? 10e
' 40

10e40 x ? 30 ? a ? 10e40 x e ex

31 ? a ? x ex

①当 2≤a≤4 时,33≤a+31≤35,当 35 <x<41 时, L' ( x) ? 0 ∴当 x=35 时,L(x)取最大值为 10(5 ? a)e5 ②当 4<a≤5 时,35≤a+31≤36, 令L' ( x) ? 0, 得x ? a ? 31, 易知当 x=a+31 时,L(x)取最大值为 10e
9? a

综合上得 L( x) max ? ?

?10(5 ? a)e5 , (2 ? a ? 4) ? 9? a ?10e , (4 ? a ? 5) ?

19.设函数 f ( x) ? ? x 3 ? 3x ? 2 分别在 x 1 、 x2 处取得极小值、极大值. xoy 平面上点 A、B 的坐标分别为

( x1 , f ( x1 )) 、 ( x2 , f ( x2 )) ,该平面上动点 P 满足 PA ? PB ? 4 ,点 Q 是点 P 关于直线 y ? 2( x ? 4) 的对
称点. 求:(Ⅰ)点 A、B 的坐标 ;(Ⅱ)动点 Q 的轨迹方程. 【答案】 (Ⅰ)令 f ?( x) ? (? x 3 ? 3x ? 2)? ? ?3x 2 ? 3 ? 0 解得 x ? 1或x ? ?1 当 x ? ?1 时, f ?( x) ? 0 , 当 ? 1 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 所以,函数在 x ? ?1 处取得极小值,在 x ? 1 取得极大值,故

x1 ? ?1, x2 ? 1, f (?1) ? 0, f (1) ? 4
所以, 点 A、B 的坐标为 A(?1,0), B(1,4) . (Ⅱ) 设 p(m, n) , Q( x, y) , PA ? PB ? ?? 1 ? m,?n? ? ?1 ? m,4 ? n? ? m2 ? 1 ? n 2 ? 4n ? 4

1 y?n 1 y?m ?x?n ? k PQ ? ? ,所以 ? ? ,又 PQ 的中点在 y ? 2( x ? 4) 上,所以 ? 2? ? 4? 2 x?m 2 2 ? 2 ?
消去 m, n 得 ?x ? 8? ? ? y ? 2? ? 9 .
2 2

20.某地有三个村庄,分别位于等腰直角三角形 ABC 的三个顶点处,已知 AB=AC=6km,现计划在 BC 边的高 AO 上一点 P 处建造一个变电站.记 P 到三个村庄的距离之和为 y.

(1)设 ?PBO ? ? ,求 y 关于 ? 的函数关系式; (2)变电站建于何处时,它到三个小区的距离之和最小? 【答案】 (1)在 Rt?AOB 中, AB ? 6 , 所以 OB =OA= 3 2 , ?ABC ? π ,由题意知, 0 ? ? ? π . 4 4 所以点 P 到 A,B,C 的距离之和为
y ? 2 PB ? PA ? 2 ? 3 2 2 ? sin ? ? (3 2 ? 3 2 tan ? ) ? 3 2 ? 3 2 ? . cos ? cos ?

故所求函数关系式为 y ? 3 2 ? 3 2 ? 2 ? sin ? 0 ? ? ? π . cos ? 4

?

?

(2)由(1)得 y? ? 3 2 ? 当0 ?? ?

1 π 2sin ? ? 1 ,令 y ? ? 0 ,即 sin ? ? ,又 0 ? ? ? π ,从而 ? ? . 4 2 6 cos2 ?

π π π π 2 ? sin ? 时, y ? ? 0 ;当 ? ? ? 时, y ? ? 0 .所以当 ? ? 时, y ? 4 ? 3 2 ? 取得最小值, 6 6 4 6 cos ? π ,即点 P 在 OA 上距 O 点 6 km 处. ? 6 (km) 6

此时 OP ? 3 2 tan

答:变电站建于距 O 点 6 km 处时,它到三个小区的距离之和最小.3 21.某商场销售某种商品的经验表明,该商品每日的销售量 y(单位:千克)与销售价格 x(单位:元/千

克)满足关系式

y?

a ? 10( x ? 6) 2 x?3 ,其中 3<x<6,a 为常数,已知销售价格为 5 元/千克时,每日

可售出该商品 11 千克。 (I)求 a 的值 (II)若该商品的成品为 3 元/千克,试确定销售价格 x 的值,使商场每日销售该商品所获得的利润最大。

a ? 10 ? 11, a ? 2. 【答案】 (I)因为 x=5 时,y=11,所以 2 y?
(II)由(I)可知,该商品每日的销售量 所以商场每日销售该商品所获得的利润

2 ? 10( x ? 6) 2 , x ?3

f ( x) ? ( x ? 3)[

2 ? 10( x ? 6) 2 ] ? 2 ? 10( x ? 3)( x ? 6) 2 ,3 ? x ? 6 x ?3
2

从而, f '( x) ? 10[( x ? 6) ? 2( x ? 3)( x ? 6)] ? 30( x ? 4)( x ? 6) 于是,当 x 变化时, f '( x), f ( x) 的变化情况如下表:

由上表可得,x=4 是函数 f ( x ) 在区间(3,6)内的极大值点,也是最大值点; 所以,当 x=4 时,函数 f ( x ) 取得最大值,且最大值等于 42。 答:当销售价格为 4 元/千克时,商场每日销售该商品所获得的利润最大 22.定义在 D ? {x ? R | x ? 0} 上的函数 f (x) 满足两个条件:①对于任意 x、y ? D ,都有

f ( x) f ( y) ? f ( xy) ?
1 4

x2 ? y2 ;②曲线 y ? f (x) 存在与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的切线. xy

(Ⅰ)求过点 (?1, ) 的曲线 y ? f (x) 的切线的一般式方程;
n n n (Ⅱ)当 x ? (0,??) , n ? N ? 时,求证: f ( x) ? f ( x ) ? 2 ? 2 .

【答案】 (Ⅰ)令 x ? y ? 1 得, f 2 (1) ? f (1) ? 2 ,解得 f (1) ? ?1 或 f (1) ? 2 .

x2 ?1 1 1 当 f (1) ? ?1 时,令 y ? 1 得, f ( x ) ? ? ,即 f ( x) ? ? ( x ? ) , 2x 2 x

1 1 f ?( x) ? ? (1 ? 2 ) ,由 f ?( x) ? ?1 得, x 2 ? ?1 ,此方程在 D 上无解,这说 2 x
明曲线 y ? f (x) 不存在与直线 x ? y ? 1 ? 0 平行的切线,不合题意,则 f (1) ? 2 , 此时,令 y ? 1 得, f ( x ) ? 由 f ?( x) ? ?1 得, x 2 ?

x2 ?1 1 1 ,即 f ( x) ? x ? , f ?( x) ? 1 ? 2 , x x x

1 ,此方程在 D 上有解,符合题意. 2
1 1 ) ,则切线的斜率为1 ? 2 , x0 x0

设过点 (?1, ) 的切线切曲线 y ? f (x) 于 ( x0 , x0 ?

1 4

其方程为 y ? x0 ?

1 1 1 ? (1 ? 2 )(x ? x0 ) ,把点 (?1, ) 的坐标代入整理得, 4 x0 x0

2 2 5x0 ? 8x0 ? 4 ? 0 ,解得 x0 ? ? 或 x0 ? 2 , 5 2 把 x0 ? ? 或 x0 ? 2 分别代入上述方程得所求的切线方程是 5 21 3 y ? ? x ? 5 和 y ? x ? 1 ,即 21x ? 4 y ? 20 ? 0 和 3x ? 4 y ? 4 ? 0 . 4 4 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ( x) ? x ? ,当 n ? N ? 时, x

1 1 f n ( x) ? f ( x n ) ? ( x ? ) n ? ( x n ? n ) x x 1 1 1 1 1 2 n n ? Cn x n ?1 ? ? Cn x n ?2 ? 2 ? ? ? Cn ?2 x 2 ? n ?2 ? Cn ?1 x ? n ?1 x x x x 1 1 1 2 n n ? Cn x n ?2 ? Cn x n ?4 ? ? ? Cn ?2 n ?4 ? Cn ?1 n ?2 x x
由 x ? (0,??) , n ? N ? 知, x ? (0,??) ,那么
n

1 2 n 2( f n ( x) ? f ( x n )) ? Cn x n ? 2 ? Cn x n ? 4 ? ? ? Cn ? 2 n ? Cn ?1

1 x
n?4

n ? Cn ?1

1 x n?2

1 x
n?2

n ? Cn ? 2

1 x
n?4

2 1 ? ? ? Cn x n ? 4 ? Cn x n ? 2

1 2 n ? Cn x n ? 2 ? Cn x n ? 4 ? ? ? Cn ? 2 1 ? Cn

1 x
n?4

n ? Cn ?1

1 x n?2

1 x
n?2

2 ? Cn

1 x
n?4

n n ? ? ? Cn ? 2 x n ? 4 ? Cn ?1 x n ? 2

x 1 2 n ? 2Cn ? 2Cn ? ? ? 2Cn ?1
1 2 n ? 2(Cn ? Cn ??? Cn ?1 )

1 ? Cn ( x n ? 2 ?

1
n?2

2 ) ? Cn ( x n ? 4 ?

1 x
n?4

n ) ? ? ? Cn ?1 ( x n?2 ?

1 x n?2

)

0 1 2 n n 0 n ? 2[(Cn ? Cn ? Cn ? ? ? Cn ?1 ? Cn ) ? Cn ? Cn ]

? 2(2n ? 2)
n n n 所以 f ( x) ? f ( x ) ? 2 ? 2 .


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