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2006-2007(一)高数(AB)期末试题

2006 ~2007 学年秋季学期 高等数学(A、B) 课程考试试题(2007-01)
一、填空题(满分 15 分,每小题 3 分) 1.

? x( x

1
2

? 1)

dx ?

.

2. 设 y ?

x2 ?1 ,则 x ? 1 是第 x 2 ? 3x ? 2
x ?0

类间断点.
f ( x) ? x

3. 已知 f (0) ? 0, f ?(0) ? k0 ,则 lim 4. 设 ?
?? 0

. . .

k dx ? 1 (k 是常数) ,则 k= 1? x2
x3 ?1 0

5. 已知 ?

f (t )dt ? x ? 1 其中 f (x) 连续,则 f (7) =

二、单项选择题(满分 15 分,每小题 3 分) 1. 当 x > 0 时, f ?( x) ? g ?( x) ,则当 x > 0 时( (A) f ( x) ? g ( x) ; (C) f ( x) ? g ( x) ; ).

(B) f ( x) ? g ( x) ; (D) 不能判定两个函数的大小. ).

2. 设 f ( x) ? 2 x ? 3 x ? 2 , 则当 x ? 0 时, 有( (A) f (x) 与 x 是等价无穷小; (C) f (x) 是比 x 高阶的无穷小;

(B) f (x) 与 x 同阶但非等价无穷小; (D) f (x) 是比 x 低阶的无穷小.
).

3. 设 a, b, c 为单位向量, 且满足 a ? b ? c ? 0 , 则 a ? b ? b ? c ? c ? a =( (A)
3 3 ; (B) 0; (C) ? ; 2 2

(D) 1 . ).

4. 函数 f (x) 在有限区间 I 上连续, F (x) 为 f (x) 在 I 上的一个原函数,则( (A) (C)

?

x

a

f (t )dt ? F ( x) ;

(B) (D)

d x f (t )dt ? F ?( x) ; dx ?a

d x d b ?a f (t )dt ? dx ?a f ( x)dx ; dx

? F ?(t )dt ? F ( x) .
a

x

5. f ?( x0 ) ? 0 是可导函数 f (x) 在 x0 处有极值的( (A) 必要条件; (B) 充分条件;

). (D) 非充分又非必要条件.

(C) 充要条件;

三、计算下列各题(满分 30 分,每小题 5 分)
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1. lim (
x ??

3 ? x 5x ) . 2? x

2. lim

tan x ? sin x . x ?0 x ln( ? x ) 1
x

3. 设 ? ( x) ? ? sin(x ? t ) 2 dt , 求? ?(x) .
0

? x ? t ? ln(1 ? t 2 ) d2y 4. 设 ? ,求 2 . dx ? y ? arctant
5. 已知 f (x) 的一个原函数是 6. 计算 ?
?

cos x ,求 ? x f ?( x)dx . x

0

1 ? cos2 x dx .

四、 分)证明 0 ? x1 ? x 2 ? (8

?
2

时,

tan x 2 x 2 ? . tan x1 x1

1 sin x 2 五、 分)证明 ? ??2 (8 . dx ? 2 x 2 4
六、 分)求过点(1,1,1)且垂直于两平面 x ? y ? z ? 7 和 3x ? 2 y ? 12z ? 5 ? 0 的平面方程. (8

?

七、 分)求圆盘 ( x ? 2) 2 ? y 2 ? 1 绕 y 轴旋转而成的旋转体的体积. (8 八、 分)设函数 f (x) 在[-a, a]上具有二阶连续导数(a>0),且 f (0) ? 0 , (8 1. 写出 f (x) 的带有拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式; 2. 证明至少存在一点 ? ? [?a, a] 使 a 3 f ??(? ) ? 3? f ( x)dx .
?a a

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