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高一数学必修1知识点总结及练习题

期中考复习 第一章 集合与函数概念(10,11 班) 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性: (1) 元素的确定性如:世界上最高的山 (P1,1) (2) 元素的互异性如:由 HAPPY 的字母组成的集合 {H,A,P,Y}(解题时, 最后注意检验是否满足互异性)研究 p3,7、8; (3) 元素的无序性: 如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示:{ ? } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合:A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。 ? 注意:常用数集及其记法: 非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2,集合的表示法(研究 P2,8;) 1) 列举法:{a,b,c??} 2) 描 述 法 : 2 M={y|y=x -2x+1,x ? R } 2 M={x|y=x -2x+1,x ? R }(注意代表元 素!)(P5,2) 3) Venn 图:(研究 P5,4/7/9) 4、集合的分类: (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 2 (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x =-5} (研究 P3, 2) 二、集合间的基本关系(切记,有包含关系要优先考虑空集)(P3、10) 1.“包含”关系—子集 (最高次项前面有参数时, 要讨论它与 0 的关系) A? B 注意: 有两种可能(1)A 是 B 的一部分,;( 2)A 与 B 是同一集合。 2.“相等”关系:A=B (5≥5,且 5≤5,则 5=5) 2 实例:设 A={x|x -1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果 A?B,且 A? B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B(或 B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④ 如果 A?B 同时 B?A 那么 A=B 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 n n-1 ? 有 n 个元素的集合,含有 2 个子集,2 个真子集

三、集合的运算( p3,6;P4,4/7/10,P5,10;P6,5/8) 运算类型 定 交 集 并 集 补 集

义 设 S 是一个集合, AA 是 S 的一个子集,由 S 中所有不属于 由所有属于 A 且属于 B 由所有属于集合 的元素所组成的集合 A 或属于集合 ,叫做 A,B 的交集.记作 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的并集.记作:

?

?

记作 C S A ,即

B(读作‘A 交 B’),即 B(读作‘ A A 并 B’),即 A C S A= {x | x ? S , 且x ? A} ? B={x|x ? ? B ={x|x ? A,或 x A,且 x ? B}. 韦 恩 图 示 性
A B

? B}).
A B

S

A

图1

图2



A ? A=A A ? Φ =Φ A ? B=B ? A A? B?A A? B?B

A? A? A? A? A?

A=A Φ =A B=B ? A B?A B?B

(C u A) ? (C u B) = C u (A ? B) (C u A) ? (C u B) = C u (A ? B) A ? (C uA)=U A ? (CuA)= Φ .

例题: 1.下列四组对象,能构成集合的是 ( ) A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a,b,c }的真子集共有 个 2 3.若集合 M={y|y=x -2x+1,x ? R},N={x|x≥0},则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A= ? x 1 ? x ? 2? ,B= x x ? a? ,若 A ? B,则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验,已知物理实验做得正确得有 40 人,化学实验做得正确得有 31 人, 两种实验都做错得有 4 人,则这两种实验都做对的有 人。 2 2 2 2 7.已知集合 A={x| x +2x-8=0}, B={x| x -5x+6=0}, C={x| x -mx+m -19=0}, 若 B∩C≠Φ ,A∩C=Φ ,求 m 的值 (注意:解不等式时,乘以除以一个数时,注意讨论它的符号,如果是负数,记住变号。) 二、函数的有关概念 定义(P9,1/;P10,1) 1 .定义域:能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 (1)具体函 数 的 定 义 域 时 列 不 等 式 组 的 主 要 依 据 是(P30,9;P37,2/4) (1)分式的分母不等于零; (2)偶次方根的被开方数不小于零; (3)对数式的真数必须大于零; (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1.

?

(5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么,它的定义域是使各部分都有意义的 x ( 的值组成的集合 1)增函数 . (6)指数为零底不可以等于零, 量 变 自 两 意 任 个 某 内 于 对 果 如 I 域 义 定 设 当 有 都 时 < 调 单 的 = y 为 称 . 数 函 增 是 上 D 间 区 在 x ( f 说 就 么 那 , ) 1 2 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),那么就说 f(x)在这个区 抽象函数定义域:(P9,6;P21,5;) 注意:函数的单调性是函数的局部性质; ? 相 同 函 数 的 判 断 方 法 : ① 表 达 式 相 同 ( 与 表 示 自 变 量 和 函 数 值 的 ( 字2母 ) 无 图象的特点 关 ) ; ? ② 定 义 域 一 致 ( P 9 , 3 时 具 如果函数 备 y=f(x) )在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有 (严格的)单调性, 2.值域 : 先考虑其定义域 (P9,7/8;P10,10/6;P14,6) (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (1)观察法 (遇见上下都有 x,优先分离常数) (A) 定义法:(P14,9/8;P15,9;P30,10) (2)配方法 1 任取 x1,x2∈D,且 x1<x2; ○ (3)代换法 2 作差 f(x1)-f(x2); ○ 2、函数的解析表达式 (P10,9、4) 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 求函数的解析式的主要方法有: 4 定号(即判断差 f(x1)-f(x2)的正负); ○ 1 ? =x2+ 1 ,求 f(x) 1) 凑配法已知 f ? x ? 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). ? ? ○ x2 x? ? (B)图象法(从图象上看升降) 2) 待定系数法已知一次函数 f(x)满足 f(f(x))=4x-1, 求 f(x) (C)复合函数的单调性(P14,4;p31,9;P39,8) 3) 换元法已知 f( x +2)=x+4 x ,求 f(x)(注意新换元的范围) 复合函数 f[g(x)]的单调性与构成它的函数 u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律:“同增异减” 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. 4) 消参法(函数方程法)已知: 2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 32 x x (D)利用已知函数的单调性。(一次函数,二次函数,反比例函数, 3. 函数图象知识归纳 双勾函数,对数函数,指数函数)(P12,3/4/5/6;P14,1/5) A、 图象变换法 注:增+增=增;减加减=减(P13,3/4) 常用变换方法有三种 8.函数的奇偶性(整体性质) 1) 平移变换 (1)偶函数 2) 伸缩变换 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 3) 对称变换(P10,2) (2).奇函数 4.区间的概念 一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. (1)区间的分类:开区间、闭区间、半开半闭区间 (3)具有奇偶性的函数的图象的特征 5.映射(箭射靶,且箭要全射出去)定义:(P11,1/3/5/6/7/9/10) 偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称.(图像法) 对于映射 f: A→ B 来说,则应满足: 利用定义判断函数奇偶性的步骤: (1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; 1 首先确定函数的定义域,并判断其是否关于原点对称; ○ (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个; 2 确定 f(-x)与 f(x)的关系; ○ (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 3 作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f( ○ 一一映射:一对一,且集合 B 当中没有多余的元素(P11,8) 注意:(1)函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件.首先看函数的定义域是否关于原点对 6.分 段 函 数 (一般画图处理题目)(P11,9;P12,7;P24,10) 奇 * 奇=偶,偶*偶=偶,奇*偶=奇 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 ( 2)奇函数在对称区间单调性相同,如果 x=0 有意义,注意利用 (2)各部分的自变量的取值情况. f(0)=0 解题;偶函数在对称区间单调性相反。 (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. 9.抽象函数的单调性和奇偶性(P14,9;P15,10;P24,11,12;P23,9/6) 注意:分段函数单调性,除了保证每一段的单调性,还要保证最值之间 10.函数最大(小)值 的关系,即整体的单调性。( 1 利用二次函数的性质求函数的最大(小)值 ○ 补充:复合函数 (P16,9/2/5/8;P17,8)先画图,画出对称轴,移动区间 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二.函数的性质 对于开口向下的情况,讨论类似。其实无论开口向上还是向下,都只有以下两种结论: 1.函数的单调性(局部性质)(P12,1/2;P14,2/3)

b ? ? ? b ? ? ?m, n? ,则 f ?x ?max ? max? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? , (1)若 ? 2a ? 2a ? ? ?

⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3

⑵ y ? ? x2 ? 2x ? 3

⑶ y ? x2 ? 6 x ?1

10.判断函数 y ? ? x 3 ? 1 的单调性并证明你的结论. 11.设函数 f ( x) ? 1 ? x 判断它的奇偶性并且求证: f ( 1 ) ? ? f ( x) . 1? x2 x 第二章 基本初等函数 一、指数函数 (一)指数与指数幂的运算
2

f ?x ?min

? ? ? b ? ? min? f ?m?, f ? ? ?, f ?n?? ; ? 2a ? ? ?
b ? ?m, n? ,则 f ?x?max ? max? f ?m?, f ?n??, f ?x?min ? min? f ?m?, f ?n?? 2a

(2)若 ?

另外,当二次函数开口向上时,自变量的取值离开 x ? 负数没有偶次方根;0 的任何次方根都是 0,记作 n 0 ? 0 。 轴越远,则对应的函数值越大;反过来,当二次函数开口向下时,自变量的取值离开 x ?a (a ? 0) 当 n 是奇数时, n a n ? a ,当 n 是偶数时, n a n ?| a |? ? 轴越远,则对应的函数值越小。 ?? a (a ? 0) 2 利用图象求函数的最大(小)值(P22,5;) ○ 2.分数指数幂,正数的分数指数幂的意义,规定: 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值: ○ m n n 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递增,在区间[b,c]上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值a f(b) , ?; a m (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) m ; 如果函数 y=f(x)在区间[a,b]上单调递减,在区间[b,c]上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b) ? 1 1 11:恒成立问题转化为最值问题,(一般求什么,就把它放到一边。) a n ? m ? (a ? 0, m, n ? N * , n ? 1) m n a (p24,9;P17,8;P37,6/7/10;p44,6;p45,4;) an 例题: ? 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义 1.求下列函数的定义域: 3.实数指数幂的运算性质 ⑴y?
x 2 ? 2 x ? 15 x?3 ?3

⑵ y ? 1? (

x ?1 2 ) x ?1

(1) a · a ? a
r

r

r?s

(a ? 0, r , s ? R)

2.设函数 f ( x ) 的定义域为 [0,1] ,则函数 f ( x 2 ) 的定义域为_ _ 3.若函数 f ( x ? 1) 的定义域为 [ ?2,3] ,则函数 f (2 x ?1) 的定义域是 4.函数 f ( x) ? ? x 2 (?1 ? x ? 2) ,若 f ( x) ? 3 ,则 x = ?
?2 x( x ? 2) ? ? x ? 2( x ? ?1)

(2) (a ) ? a
r s r

rs r s

(a ? 0, r , s ? R)

(3) (ab) ? a a (a ? 0, r , s ? R) 注意 利用平方差 公式,完全 平方之间的 关系,以及 立方差公式 。 (p27,9,10,p28,9/10;p29,4/6) (二)指数函数及其性质 y ? a (a ? 0, 且a ? 1) (注意值域大于零) 2、指数函数的图象和性质 a>1 0<a<1
x
6 6 5 5

5.求下列函数的值域: ⑴ y ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ? R) (3) y ? x ? 1 ? 2x

⑵ y ? x2 ? 2x ? 3 x ? [1, 2] (4) y ? ? x2 ? 4 x ? 5

4

4

6.已知函数 f ( x ?1) ? x2 ? 4 x ,求函数 f ( x) , f (2 x ? 1) 的解析式 7.已知函数 f ( x) 满足 2 f ( x) ? f (? x) ? 3x ? 4 ,则 f ( x ) = 。
-4 -2

3

3

2

2

1

1

1

1

0
-1

2

4

6

-4

-2

0
-1

2

4

6

8.设 f ( x) 是 R 上的奇函数,且当 x ? [0, ??) 时, f ( x) ? x(1 ? 3 x ) ,则当 x ? (??, 0) 时 f ( x) =

f ( x) 在 R 上的解析式为
9.求下列函数的单调区间:

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递增 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

定义域 R 值域 y>0 在 R 上单调递减 非奇非偶函数 函数图象都过定点(0,1)

注意:利用函数的单调性,结合图象还可以看出: (1)在[a,b]上,

a>1
3 2.5 2 1.5

0<a<1
3 2.5 2 1.5

f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) 值域是 [f (a ), f (b)] 或
x
-1

[f (b), f (a )]; (2)若 x ? 0 ,则 f ( x ) ? 1 ; f ( x ) 取遍所有正数当且仅当 x ? R ;
(3)对于指数函数 f (x) ? a (a ? 0且a ? 1) ,总有 f (1) ? a ; 二、对数函数 (切记真数大于零,注意定义域) (一)对数 说明: ○ 1 注意底数的限制 a ? 0 ,且 a ? 1 ;
x

1 0

1

1
1

1

0.5

0.5

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

0

1

-0.5

1

2

3

4

5

6

7

8

-1

-1

-1.5

-1.5

-2

-2

-2.5

-2.5

2 a x ? N ? loga N ? x ; ○ 3 注意对数的书写格式. ○ 两个重要对数: 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ○

loga N

2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ (二)对数的运算性质 如果 a ? 0 ,且 a ? 1 , M ? 0 , N ? 0 ,那么: 1 loga (M · N ) ? loga M + loga N ; ○

定义域 x> 0 定义域 x> 0 值域为 R 值域为 R 在 R 上递增 在 R 上递减 函数图象都过定点(1,0) 函数图象都过定点(1,0) 注意:对于 y=loga g(x),若 u=g(x)为二次函数,先画图,取 x 轴上半 部的图像,再结合图像解题。(一定注意先求定义域,真数大于 0) f(x)= 的图像要记住,若有 f(a)=f(b),则 a,b 互为倒数。 (三)幂函数 y ? x ? (a=-1,1/2,2,3 的图像必须掌握) (1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1 时,幂函数的图象上凸; ? ?0 (0,??) (3) 时,幂函数的图象在区间 上是减函数.在第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴.(p22,1) 总结:幂函数在第一象限为减函数,则 ? ? 0 ;为增函数,则 ? ? 0 ; 幂函数为奇函数,则 a 为奇数,为偶函数则 a 为偶数(p22,9) 第三章 函数的应用 即:方程 f ( x) ? 0 有实数根 ? 函数 y ? f ( x) 的图象与 x 轴有交点

M 2 log a ? loga M - loga N ; ○ N 3 loga M n ? n loga M ( n ? R ) . ○
注意:换底公式

loga b ?

logc b logc a

( a ? 0 ,且 a ? 1 ; c ? 0 ,且 c ? 1 ; b ? 0 ).

利用换底公式推导下面的结论 (P35,3/5/6/8/9;P36,3/4/6/8) (1) log a m b n ?

1 n .(3) log a b ;(2) loga b ? m logb a

(注意:解对数指数方程不等式,或者比较大小都是化为同底数。若真 数一样,利用换底公式(2); 同时解对数方程时,要验根,是否真数大于 0) (二)对数函数(区别清楚定义域为 R 和值域为 R,x2 前面有参数时, 别忘记讨论它与 0 的关系) a ? 1) 1、对数函数的概念:函数 ,且 y ? loga x(a ? 0 叫做对数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞). 注意:○ 1 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。如: x , y ? 2 log2 x y ? log 5
5

? 函数 y ? f ( x) 有零点.
3、函数零点的求法: 1 (代数法)求方程 f ( x) ? 0 的实数根; ○ 2 (几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数 y ? f ( x) ○ 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点: 二次函数 y ? ax ? bx ? c(a ? 0) . (1)根的分布:画图!!看四点、开口方向,⊿,对称轴,端点值的符号。(注意隐含条件, 和 经 过 的 定 点 )没有隐含条件时,切记每一个都要考虑。 (2)两个正根,两个复根,一正一负根时一般用维达定理.(除了一正 一负隐含了德塔大于零,其他时候不要忘记德塔) (3)若已知一个根,代入求出参数,再解方程,检验另外一根是否满 足条件。
2

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数. 2 对数函数对底数的限制: (a ? 0 ,且 a ? 1) . ○ 2、对数函数的性质:


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