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5.等差数列前n项求和


片头

数列的前n项和
对于数列{an},一般的,我们称 a1+a2+··+an为数列{an}的前n ·· ·· 项和,用Sn表示,即:

Sn= a1+a2+··+an ·· ··

问题 1:

1+2+3+··+100=? ·· ··

问题 1:

1+2+3+··+100=? ·· ··
首项与末项的和: 1+100=101, 第2项与倒数第2项的和: 2+99 =101,

第3项与倒数第3项的和: 3+98 =101,

··· ···
第50项与倒数第50项的和:50+51=101, 于是所求的和是: 101×50=5050。

问题 1:

1+2+3+··+100=? ·· ··
S100 = 1+2+3+ ·· +100 ·· ·· = 101×50 = 5050 100 =(1+100) ·
2

? ( a 1 ? a 100 ) ·

100 2

问题 2
一个堆放铅笔的V形架,最下面第一层放一 支铅笔,往上每一层都比它下面多放一支,就 这样一层一层地往上放。最上面一层放120支。 求这个V形架上共放着多少支铅笔?

怎么计算呢?

怎么计算呢?
想:探求三角形面积情景 先补后分

S120 =1 +2 +3

+ ·· +120 ·· ··

S120 =120+119+118+ ·· +1 ·· ·· 2S120 =121+121+121+ ·· +121 ·· ··
S 120 ? (1 ? 120 ) · 120 2

猜测 Sn=a1+a2+··+an ·· ··
Sn ? (a 1 ? an) · n 2

?

等差数列的前n项和公式的推导
由等差数列
a1 , a 2 ,
a3 ,

…,

an ,

…,

的前n项和

S n ? a 1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a n ?1 ? a n S n ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a 1
n个 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? 2 S n ? a1 ? a n ) ? a1 ? a n ) ? ? ? a1 ? a n ) ( ( (

? n ( a1 ? a n )
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2

等差数列的前n项和公式的其它形式
Sn ? n ( a1 ? a n ) 2 n ( n ? 1) 2

? ? ? ? ? S n ? na 1 ? ?

a n ? a1 ? ( n ? 1 ) d

d

例例1已知 a 题解: 解 析
求 Sn

1

? 100 , d ? ? 2, n ? 50

S n ? na 1 ?

n ( n ? 1) 2

d

S n ? 5000 ? 2450 ? 2550




例2: 等差数列-10,-6,-2, 2,··· ··前多少项和是54 ? ··
解: 设题中的等差数列为{an}, 则 a1= -10 d= -6-(-10)=4. n ( n ? 1) 设 Sn= 54, S n ? na 1 ? d
2

解 析

? 10 n ?

n( n ? 1) 2

· 4 ? 54



n2-6n-27=0 得 n1=9, n2=-3(舍去)。 因此等差数列 -10,-6,-2,2, ··· ·· 前9项和是54。 ··




例3:求集合

M ? m | m ? 7 n , n ? N , 且 m ? 100
100 7 2 7

?

?

?

中元素的个数,并求这些元素的和。

解:由7n<100,得

n?



n ? 14

解 析

由于满足上面不等式的正整数n 共有14个,所以集合M中的元素 共有14个,将它们从小到大列出,得

7 , 7 ? 2 , 7 ? 3 , ? , 7 ? 14 , 即 7, , , 98 14 21 ?
记为 ?a n ?, 其中 a 1 ? 7 , a 14 ? 98 .
? 735 2 14 ? ? 7 ? 98 ?

这个数列是等差数列,
因此 , S 14 ?

答:集合 M 共有 14 个元素,它们的和为

735 。

例 题 解 析

例4:等差数列{an}中, d=4, an=18, Sn=48,求a1的值。
解: 由

an= a1+(n-1)d
S n ? na 1 ?

n( n ? 1) 2

d

得: 18= a1+(n-1)4
4 8 ? na 1 ?

n( n ? 1) 2

4

解得: n = 4 或 n = 6 a1=6 或 a1= -2

例5(1)已知在等差数列 ?a n ? 中



a 2 ? a 5 ? a 12 ? a 15 ? 36 ,求 S 16

题 解: 解 析

(2)已知在等差数列 ?a n ? 中a 6 ? 2 0, 求 S 1 1

S 16 ?
S 11 ?

16 ( a 1 ? a 16 ) 2
11 ( a 1 ? a 11 ) 2

? 8 ? 18 ? 144
? 11 2 ? 40 ? 220

例6: 一个首项为正数的等差数列中,前3项的和 等于前11项的和,问此数列前多少项和最大?

例7: 等差数列 ?a n ?中, a 1 ? ? 60 , a 17 ? ? 12 ,
求其前 30 项绝对值之和。

解:

16 d ? a 17 ? a 1 ? ? 12 ? 60

?d ?3

a n ? ? 60 ? ? n ? 1 ? ? 3 ? 3 n ? 63 ? 0 即 : n ? 21

? a 1 ? a 2 ? ? ? a 30 ? a 1 ? ? ? a 21 ? ? a 22 ? ? ? a 30 ?
? ? ? a 1 ? ? ? a 21

? ? ? a 22
2

? ? a 30 ?

? ?

a 1 ? a 21 2

? 21 ?

a 22 ? a 30 3 ? 27 2

?9

? ?

? 60 ? 0 2

? 21 ?

?9

? 30 ? 21 ? 15 ? 9 ? 765

课 堂 小 练

1. 根据下列条件,求相应的等差数列 ?a n ? 的 S
( 1 ) a 1 ? 5 , a n ? 95 , n ? 10 ;
S 10 ? 10 ? ( 5 ? 95 ) 2 50 50 ? 1 ) ( 2 ? 500 .

n

( 2 ) a 1 ? 100 , d ? ? 2 , n ? 50 ;
S 50 ? 50 ? 100 ? ? ( ? 2 ) ? 2550

( 3 ) a 1 ? 14 . 5 , d ? 0 . 7 , a n ? 32 .
n ? 32 ? 14 . 5 0 .7 ? 1 ? 26 ,

S 26 ?

26 ? ( 14 . 5 ? 32 ) 2

? 604 . 5 .

课 堂 小 练

2. (1) 求正整数列中前n个数的和.
? Sn ? n ? (1 ? n ) 2 n ? (2 ? 2n) 2 ? n( n ? 1) 2 .

(2) 求正整数列中前n个偶数的和.
? Sn ? ? n ( n ? 1 ).

3. 等差数列 5,4,3,2, · 前多少项和是 –30? · ·
解: a1=5 , d = -1 , Sn = -30
? Sn ? 5n ? n( n ? 1) 2 ? ( ? 1 ) ? ? 30

n ? 15 或 n ? ? 4 ( 舍 )

(1) 题组训练A:已知在等差数列 ?a n ? 中,

a 14 ? a 15 ? a 17 ? a 18 ? 82 ,求 S 31



解:
s 31 ?

31 ? a 1 ? a 31 ? 2

?

31 ? 41 2
S ?中,

? 635 . 5

(2) 已知在等差数列?a

n

15

? 90 ,求 a 8 。

解:

? s15 ?

15 ? ? a 1 ? a 15 ? 2

?

15 ? 2 a 8 2

? 15 a 8

? a8 ?

s15 15

?

90 15

?6

题组训练B:
1 .求集合 M ? ?m | m ? 2 n ? 1, n ? N , 且 m ? 6 ? 中元素
?

的个数,并求这些元素

的和。
900

30
这些数的和是多少?
分析

2 .在小于 100 的正整数中共有多少个

数被 3 整除余 2?

3 .一个等差数列前 与前 2 项的和的差是 通项公式。
分析

4 项的和是 24 ,前 5 项的和 27 ,求这个等差数列的

2 .分析:

被 3除余 2的正整数可以写成
由 3 n ? 2 ? 100 , 得 n ? 32 2 3 .

3 n ? 2 ? n ? N ?的形式。

即 0, 2,, , , , 1, 3 ? 31 32
33 个数被 3除余 2。

所以在小于

100 的正整数中共有

把这些数从小到大排列
它们组成一个等差数列

出来就是 2,,, , 。 5 8 ? 98
,因此它们的和是:
? 1650 。

33 ? ? 2 ? 98 ? 2

返回

3 .一个等差数列前 与前 2 项的和的差是 通项公式。

4 项的和是 24 ,前 5 项的和 27 ,求这个等差数列的

分析: 由 S 4 ? 24 , S 5 ? S 2 ? 27 ,得:

4 a 1 ? 6 d ? 24 , 3 a 1 ? 9 d ? 27 .

解这个关于

a 1与 d 的方程组,得到:
a1 ? 3, d ? 2.

所以, a n ? 3 ? 2 ? n ? 1 ?,

1.等差数列前n项和Sn公式的推导
2.等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用;
Sn ? n(a1 ? a n ) 2
S n ? na 1 ? n( n ? 1) 2 d

说明:两个求和公式的使用-------知三求一.

作业:p118 1 (1)(2)(4) 2 (3) 3 4 5 6 (2) 8


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