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高中数学常见题型解法归纳 数列不等式的证明方法

高中数学常见题型解法归纳 数列不等式的证明方法 【知识要点】 证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法. 一、数学归纳法 一般地,证明一个与自然数 n 有关的命题 P (n) ,有如下步骤: (1)证明当 n 取第一个值 n0 时命题成立. n0 对于一般数列取值为 0 或 1,但也有特殊情况; (2)假设当 n ? k ( k ? n0 , k 为自然数)时命题成立,证明当 n ? k ? 1 时命题也成立. 综合(1)(2),对一切自然数 n ( n ? n0 ),命题 P (n) 都成立. 二、放缩法 证明不等式时,有时根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小,使其化繁为简,化难为易,达 到证明的目的,这种方法称为放缩法. 放缩的技巧: ①添加或舍去一些项,如: a ? 1 ? a , n(n ? 1) ? n, n ? 1 ? n 2 2 ②将分子或分母放大或缩小,如: 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? , 2? ? ? 2 k k (k ? 1) k ? 1 k k k (k ? 1) k k ? 1 n ? (n ? 1) 2 ③利用基本不等式等,如: n(n ? 1) ? 三、分析法 证明不等式时,从待证命题出发,分析使其成立的充分条件,利用已知的一些基本原理,逐步探索, 最后将命题成立的条件归结为一个已经证明过的定理、简单事实或题设的条件,这种证明的方法称为分析 法,它是执果索因的方法. 用分析法证明时,要注意格式,一般格式是“要证明,只需证明??”. 一般用分析法寻找思路,用综合法写出证明过程. 【方法点评】 方法一 解题步骤 【例 1】用数学归纳法证明: 数学归纳法 一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明. 1 1 1 1 13 ? ? ??? ? n ?1 n ? 2 n ? 3 2n 24 (n ? 2, n ? N * ) 【点评】利用数学归纳法证明不等式时,关键在于第二步,证明这一步时,一定要利用前面的假设和已 知条件. 【反馈检测 1】已知 ( x ? 1)n ? a0 ? a1 ( x ? 1) ? a2 ( x ? 1) 2 ? ? ? an ( x ? 1) n , (其中 n ? N ? ) (1)求 a0 及 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ; (2)试比较 sn 与 (n ? 2) ? 2n ? 2n 2 的大小,并说明理由. 方法二 解题步骤 放缩法 一般放缩数列通项,或放缩求和的结果. 2 【例 2】已知函数 f ( x) ? ax ? ln(1 ? x ) (1)当 a ? 4 时,求函数 f ( x ) 在 (0, ??) 上的极值; 5 (2)证明:当 x ? 0 时, ln(1 ? x2 ) ? x ; (3)证明: (1 ? 1 1 1 )(1 ? 4 )? (1 ? 4 ) ? e (n ? N ? , n ? 2, e为自然对数的底数) . 4 2 3 n (2)令 g ( x) ? x ? ln(1 ? x ) 2 则 g ( x) ? 1 ? ' 2x ( x ? 1) 2 ? ?0 1? x2 1? x2 ? g ( x)在?0, ? ?? 上为增函数.? g ( x) ? g (0) ? 0 ?ln(1 ? x2 ) ? x (3)由(2)知 ln( 1? x ) ? x 2 令x ? 1 1 1 1 1 1 1? 4 ) ? 2 ? ? ? 得, ln( 4 n n(n ? 1) n ? 1 n n n ? ln(1 ? 1 1 1 ) ? ln(1 ? 4 ) ? ?? ? ln(1 ? 4 ) 4 2 3 n 1 1 1 1 1 1 1 1 ? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? 1? ? 1 2 2 3 3 4 n ?1 n n ? (1 ? 1 1 1 )(1 ? 4 ) ? (1 ? 4 ) ? e 4 2 3 n 【点评】(1)本题就是利用放缩法证明不等式,是高考的难点和重点.(2)利用放缩法证明不等式,有时 需要放缩通项,有时是需要放缩求和的结果,本题两种放缩都用上了.(3)放缩要得当,所以放的度很重要, 有时需要把每一项都放缩,有时需要把前面两项不放缩,后面的都放缩,有时需要把后面的项不放缩,所 以要灵活调整,以达到证明的目的. 【反馈检测 2】已知数列 {an } 满足 2a1 ? 22 a2 ? ?? 2n an ? (2n ?1) ? 2n?1 ? 2 . (1)求 a1 及通项公式 an ; (2)求证: 1 1 1 1 ? 2 ?? ? 2 ? . 2 a1 a2 an 4 【反馈检测 3】将正整数按如图的规律排列,把第一行数 1,2,5,10,17, 记为数列 ?an ??n ? N ? ? , 第一列数 1,4,9,16,25, 记为数列 ?bn ??n ? N ? ? (1)写出数列 ?an ?, ?bn ?的通项公式; (2)若数列 ?an ?, ?bn ?的前 n 项和分别为 S n , Tn ,用数学归纳法证明: 3?Tn ? S n ? ? 2n 3 ? 4n?n ? N ? ? ; (3)当 n ? 3 时,证明: 5 1 1 1 1 7 ? ? ? ?? ? ? . 4 b1 b2 b3 bn 4 【反馈检测 4】已知函数 f ( x) ? a ? ln x(a ? R) x ?1 (1)当 a ? 2 时,比较 f ( x) 与 1 的大小; 9 时,如果函数 g ( x) ? f ( x) ? k 仅有一个零点,求实数 k 的取值范围; 2 1 1 1 1 (3)求证:对于一切正整数 n ,都有 ln( n ? 1) ? ? ? ? ? ? 3 5 7 2n ? 1 (2)当 a ? 【反馈检测 5】已知函数 f ( x) ? a ln x ? (1)讨论 f ( x )

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