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高中数学三角函数与向量试题及详细答案


高中数学三角函数与向量试题及详细答案
一.解答题(共 30 小题) 1.设函数 f(x)=sinxcosx﹣ cos(x+π)cosx, (x∈R) (I)求 f(x)的最小正周期; (II)若函数 y=f(x)的图象按 =( 最大值. 2.设 α∈R,f(x)=cosx(asinx﹣cosx)+cos ( 上的最大值和最小值.
2



)平移后得到的函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在(0,

]上的

﹣x)满足

,求函数 f(x)在

3.已知函数



(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)设 ,若 ,求 α 的大小.

4.设函数 f(θ)= P(x,y) ,且 0≤θ≤π. (Ⅰ)若点 P 的坐标为

,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 ,求 f(θ)的值;

(Ⅱ)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 和最大值.
2

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ)的最小值

5.已知函数 f(x)=(1+cotx)sin x+msin(x+ (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间 (2)当 tana=2 时, ,求 m 的值.

)sin(x﹣ 上的取值范围;

) .

6.已知 tanα=a, (a>1) ,求

的值.

7.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx) ,x∈R. (1)请指出函数 f(x)的奇偶性,并给予证明; (2)当 时,求 f(x)的取值范围.

8.已知函数 f(x)=sin2x+acos x,a,a 为常数,a∈R,且 (I)求函数 f(x)的最小正周期.

2



(Ⅱ)当

时,求函数 f(x)的最大值和最小值.

9.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 (Ⅰ)求 sin2α﹣tanα 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα,求函数 对应的 x 的值. 10.已知函数 (1)设 ω>0 为常数,若 (2)设集合 m 的取值范围. 11.已知函数 f(x)= .



的最大值及

上是增函数,求 ω 的取值范围; ,若 A?B 恒成立,求实数

(Ⅰ)把 f(x)解析式化为 f(x)=Asin(ωx+? )+b 的形式,并用五点法作出函数 f(x)在一个周期上的简图; (Ⅱ)计算 f(1)+f(2)+…+f(2012)的值.

12.已知 α 为锐角,且 . (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求证:an+1>an; (3)求证:

,函数

,数列{an}的首项



13.已知 tan2θ=﹣ 求: (1)tanθ;

,且 3π<2θ<4π.

(2)



14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,﹣1) ,B 点在直线 y=﹣3 上,M 点满足 M 点的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 15.已知 ①若向量 ,



, ,

=

?



.且 ∥ ,求 f(x)的值;

②在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围.

16.已知 O 是线段 AB 外一点,若





(1)设点 A1、A2 是线段 AB 的三等分点,△ OAA1、△ OA1A2 及△ OA2B 的重心依次为 G1、G2、G3,试用向量 、 表示 ;

(2)如果在线段 AB 上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论.

17.已知向量 =(1,2) , =(cosα,sinα) ,设 = +t (t 为实数) . (1)若 ,求当| |取最小值时实数 t 的值; ,若存在,请求出 t;若不存在,请说明

(2)若 ⊥ ,问:是否存在实数 t,使得向量 ﹣ 和向量 的夹角为 理由.

18.经过 A(2,0) ,以(2cosθ﹣2,sinθ)为方向向量的直线与经过 B(﹣2,0) ,以(2+2cosθ,sinθ)为方向向 量的直线相交于点 M(x,y) ,其中 θ≠kπ. (I)求点 M(x,y)的轨迹方程; (II)设(I)中轨迹为曲线 C, |PF2|成等比数列(O 为坐标原点) ,求 的取值范围. ,若曲线 C 内存在动点 P,使得|PF1|、|OP|、

19.已知向量 (1)若 (2)若

, ,求向量 、 的夹角 θ; ,函数





的最大值为 ,求实数 λ 的值.

20.已知向量 (I)若

=(mcosα,msinα) (m≠0) , 且 m>0,求向量 与

=(﹣sinβ,cosβ

.其中 O 为坐标原点.

的夹角; 的最大值.

(II)当实数 α,β 变化时,求实数

21.已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆的一个顶点是点(0, (1)求椭圆方程; (2)点 M 在椭圆上,求△ MF1F2 面积的最大值; (3)试探究椭圆上是否存在一点 P,使

) ,离心率为

,左、右焦点分别为 F1 和 F2.

,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

22.已知△ OFQ 的面积为 (1)当 (2) 设

,且 与

. 的夹角 θ 的取值范围;

时,求向量

, 若以中心 O 为坐标原点, 焦点 F 在 x 非负半轴上的双曲线经过点 Q, 当

取得最小值时,求此双曲线的方程.

23.在平行四边形 ABCD 中,设边 AB、BC、CD 的中点分别为 E、F、G,设 DF 与 AG、EG 的交点分别为 H、K, 设 = , = ,试用 、 表示 、 .

24.正方形 ABCD 的边长为 1,记 (1)求作 (2)求| , , |

=

25.如图,平面内有三个向量 | |=2 ,若 +





,其中



的夹角为 120°,



的夹角为 30°.且|

|=1,|

|=1,

,求 λ+μ 的值.

26.例 3.已知

27.设动点 M 的坐标为(x,y) (x、y∈R) ,向量 =(x﹣2,y) , =(x+2,y) ,且|a|+|b|=8, (I)求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 N(0,2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,若 (O 为坐标原点) ,是否存在直线 l,使得

四边形 OAPB 为矩形,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 28.在福建省第 14 届运动会(2010?莆田)开幕式上,主会场中央有一块边长为 a 米的正方形地面全彩 LED 显示 屏如图所示,点 E、F 分虽为 BC、CD 边上异于点 C 的动点,现在顶点 A 处有视角∠EAF 设置为 45°的摄像机,正 录制形如△ ECF 的移动区域内表演的某个文艺节目,设 DF=x 米,BE=y 米. (Ⅰ)试将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)求证:△ ECF 周长 p 为定值; (Ⅲ)求△ ECF 面积 S 的最大值.

29.如图所示,ABCD 是一块边长为 7 米的正方形铁皮,其中 ATN 是一半径为 6 米的扇形,已经被腐蚀不能使用, 其余部分完好可利用. 工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在 BC 与 CD 上的长方形铁皮 PQCR, 其中 P 是 上一点.设∠TAP=θ,长方形 PQCR 的面积为 S 平方米. (1)求 S 关于 θ 的函数解析式; (2)设 sinθ+cosθ=t,求 S 关于 t 的表达式以及 S 的最大值.

30.如图,某市拟在长为 16km 的道路 OP 的一侧修建一条自行车赛道,赛道的前一部分为曲线 OSM,该曲线段为 函数 y=Asinωx(A>0,ω>0,x∈[0,8]的图象,且图象的最高点为 S(6,4 ) .赛道的后一段为折线段 MNP, 为保证参赛队员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求实数 A 和 ω 的值以及 M、P 两点之间的距离; (2)连接 MP,设∠NPM=θ,y=MN+NP,试求出用 θ 表示 y 的解析式; (3) (理科)应如何设计,才能使折线段 MNP 最长? (文科)求函数 y 的最大值.

参考答案与试题解析
一.解答题(共 30 小题) 1.设函数 f(x)=sinxcosx﹣ cos(x+π)cosx, (x∈R) (I)求 f(x)的最小正周期; (II)若函数 y=f(x)的图象按 =( 最大值. 考点: 三角函数的周期性及其求法;函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的最值. 专题: 计算题;综合题. 分析: (I)先利用诱导公式,二倍角公式与和角公式将函数解析式化简整理,然后利用周期公式可求得函数的最 小正周期. (II)由(I)得函数 y=f(x) ,利用函数图象的变换可得函数 y=g(x)的解析式,通过探讨角的范围,即 可的函数 g(x)的最大值. 解答: 解: (I)∵f(x)=sinxcosx﹣ cos(x+π)cosx
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)平移后得到的函数 y=g(x)的图象,求 y=g(x)在(0,

]上的

=sinxcosx+ = sin2x+ =sin(2x+

cosxcosx cos2x+ )+ =π , )平移后得到的函数 y=g(x)的图象, )+

∴f(x)的最小正周期 T=

(II)∵函数 y=f(x)的图象按 =( ∴g(x)=sin(2x+ ∵0<x≤ ∴ ﹣ <2x﹣ )+ ≤ + ,

=sin(2x﹣

∴y=g(x)在(0,

]上的最大值为:



点评: 本题考查了三角函数的周期及其求法,函数图象的变换及三角函数的最值,各公式的熟练应用是解决问题 的根本,体现了整体意识,是个中档题. 2.设 α∈R,f(x)=cosx(asinx﹣cosx)+cos ( 上的最大值和最小值. 考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的最值. 专题: 计算题. 分析: 利用二倍角公式化简函数 f(x) ,然后 ,求出 a 的值,进一步化简为 f(x)=2sin(2x
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2

﹣x)满足

,求函数 f(x)在

﹣ 解答:

) ,然后根据 x 的范围求出 2x﹣
2

,的范围,利用单调性求出函数的最大值和最小值. ﹣x)

解:f(x)=cosx(asinx﹣cosx)+cos ( =asinxcosx﹣cos x+sin x
2 2

= 由 解得 a=2 所以 f(x)=2sin(2x﹣ 所以 x∈[ 所以 x∈[ 函数 f(x)在 又 f( )= ,f( ]时 2x﹣ ]时 2x﹣ ) , ,f(x)是增函数, ,f(x)是减函数, 上的最大值是:f( )= ; 上的最小值为:f( )= ; )=2; 得

所以函数 f(x)在

点评: 本题是中档题,考查三角函数的化简,二倍角公式的应用,三角函数的求值,函数的单调性、最值,考查 计算能力,常考题型.

3.已知函数



(Ⅰ)求 f(x)的定义域与最小正周期; (Ⅱ)设 ,若 ,求 α 的大小.

考点: 正切函数的周期性;同角三角函数基本关系的运用;二倍角的余弦;正切函数的定义域. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)利用正切函数的定义域求出函数的定义域,利用周期公式求出最小正周期; (Ⅱ)通过 解答: 解: (Ⅰ) 由 2x+ ≠ ,化简表达式,结合 α∈(0, +kπ, k∈Z. 所以 x≠ . ) ,求出 α 的大小.

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, k∈Z. 所以 ( f x) 的定义域为:

f

(x)的最小正周期为:

(Ⅱ)由

得 tan(

)=2cos2α,

整理得 此(cosα﹣sinα) = 即 sin2α= 因为 α∈(0, 所以 α= ) ,
2

因为 α∈ (0, ) , 所以 sinα+cosα≠0 因

点评: 本题考查两角和的正弦函数、余弦函数、正切函数公式,同角三角函数的基本关系式,二倍角公式等基本 知识,考查基本运算能力.

4.设函数 f(θ)= P(x,y) ,且 0≤θ≤π. (Ⅰ)若点 P 的坐标为

,其中,角 θ 的顶点与坐标原点重合,始边与 x 轴非负半轴重合,终边经过点 ,求 f(θ)的值;

(Ⅱ)若点 P(x,y)为平面区域 Ω: 和最大值.

上的一个动点,试确定角 θ 的取值范围,并求函数 f(θ)的最小值

考点: 任意角的三角函数的定义;二元一次不等式(组)与平面区域;三角函数的最值. 专题: 综合题;压轴题;转化思想. 分析: (I)由已知中函数 f(θ)= ,我们将点 P 的坐标 代入函数解析式,即可求
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出结果. (II)画出满足约束条件 的平面区域,数形结合易判断出 θ 角的取值范围,结合正弦型函数的性

质我们即可求出函数 f(θ)的最小值和最大值. 解答: 解(I)由点 P 的坐标和三角函数的定义可得:

于是 f(θ)=

=

=2

(II)作出平面区域 Ω(即感触区域 ABC)如图所示 其中 A(1,0) ,B(1,1) ,C(0,1) 于是 0≤θ≤ ∴f(θ)= 且 故当 当 ,即 时,f(θ)取得最大值 2 =

,即 θ=0 时,f(θ)取得最小值 1

点评: 本题主要考查三角函数、不等式等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、 数形结合思想、化归与转化思想.
2

5.已知函数 f(x)=(1+cotx)sin x+msin(x+ (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间 (2)当 tana=2 时, ,求 m 的值.

)sin(x﹣ 上的取值范围;

) .

考点: 弦切互化;同角三角函数间的基本关系. 专题: 综合题. 分析: (1)把 m=0 代入到 f(x)中,然后分别利用同角三角函数间的基本关系、二倍角的正弦、余弦函数公式 以及特殊角的三角函数值把 f(x)化为一个角的正弦函数,利用 x 的范围求出此正弦函数角的范围,根据角的范围,利用正弦函数的图 象即可得到 f(x)的值域; (2)把 f(x)的解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式及积化和差公式化简得到关于 sin2x 和 cos2x 的 式子,把 x 换成 α,根据 tanα 的值,利用同角三角函数间的基本关系以及二倍角的正弦函数公式化简求出
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sin2α 和 cos2α 的值,把 sin2α 和 cos2α 的值代入到 f(α)= 中得到关于 m 的方程,求出 m 的值即可. 解答: 解: (1)当 m=0 时, = 由已知 ,得 sin(2x﹣ )∈[﹣ ,1],从而得:f(x)的值域为 . ,

(2)因为

=sin x+sinxcosx+ = = 所以 = ① + ﹣

2

当 tanα=2,得:





代入①式,解得 m=﹣2. 点评: 考查三角函数的化简、三角函数的图象和性质、已知三角函数值求值问题.依托三角函数化简,考查函数 值域,作为基本的知识交汇问题,考查基本三角函数变换,属于中档题.

6.已知 tanα=a, (a>1) ,求

的值.

考点: 两角和与差的正弦函数;弦切互化;二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析:

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利用两角和与差的正弦函数,以及二倍角的正切,化简

,代入 tanα=a,求出结

果即可. 解答: 解:原式= = = .

即:

=



点评: 本题是基础题,考查弦切互化,二倍角的正切,考查计算能力,常考题型. 7.已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx) ,x∈R. (1)请指出函数 f(x)的奇偶性,并给予证明; (2)当 时,求 f(x)的取值范围.

考点: 两角和与差的正弦函数;二倍角的正弦;二倍角的余弦;正弦函数的单调性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)先化简函数得出 的表达式,通过 f(﹣ )≠±f(﹣
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) ,直接证明即

可. (2)先得出 解答: 解: (1)∵ ,然后根据正弦函数的单调性求出取值范围. (3 分) ,∴f(x)是非奇非偶函数. (3 分)

注:本题可分别证明非奇或非偶函数,如∵f(0)=1≠0,∴f(x)不是奇函数. (2)由 所以 ,得 .即 , . . (4 分) (2 分)

点评: 本题考查三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的奇偶性的判断,考查计算能力. 8.已知函数 f(x)=sin2x+acos x,a,a 为常数,a∈R,且 (I)求函数 f(x)的最小正周期. (Ⅱ)当 时,求函数 f(x)的最大值和最小值.
2



考点: 二倍角的余弦;两角和与差的正弦函数;正弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (I)由 ,代入 f(x)中即可求出 a 的值,然后把求出 a 的值代入然后把求出 a 的值代入 f(x)
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中,然后利用二倍角的余弦函数公式及两角差的正弦函数公式和特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函 数,根据公式求出结果. (II)根据 x 的范围求出 2x﹣ 的最值. 解答: 解: (Ⅰ)由已知得 即 所以 a=﹣2 所以 f(x)=sin2x﹣2cos x=sin2x﹣cos2x﹣1= 所以函数 f(x)的最小正周期为 π (Ⅱ)由 则 所以 所以函数 y=f(x)的最大值为 ;最小值为 ,得
2

的范围,根据正弦函数的图象求出 sin(2x﹣

)的值域即可得到 f(x)



点评: 本题三角函数周期的求法,又考查学生会求正弦函数的在某一范围内的最值以及会求正弦函数的值域.是 一道综合题.

9.已知角 α 的顶点在原点,始边与 x 轴的正半轴重合,终边经过点 (Ⅰ)求 sin2α﹣tanα 的值; (Ⅱ)若函数 f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα,求函数 对应的 x 的值.



的最大值及

考点: 两角和与差的正弦函数;任意角的三角函数的定义;同角三角函数间的基本关系. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (I)利用三角函数的定义求出 sinα、cosα 和 tanα 的值,利用两角和与差正弦公式化简 sin2α﹣tanα 并求出 其值.
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(II)首先化简函数 f(x) ,然后利用诱导公式以及两角和与差公式得出 y=2sin(2x﹣

)﹣1,进而求正

弦函数的特点求出结果. 解答: 解: (Ⅰ)因为角 α 终边经过点 ,所以 , , …(3 分)

(Ⅱ)∵f(x)=cos(x﹣α)cosα﹣sin(x﹣α)sinα=cosx,x∈R…(7 分)

∴ymax=2﹣1=1,…(12 分) 此时 , 即 …(13 分)

点评: 此题考查了二倍角的正弦、三角函数定义、同角三角函数间的基本关系、诱导公式,以及两角和与差的正 弦函数公式,熟练掌握公式是解本题的关键.

10.已知函数 (1)设 ω>0 为常数,若 (2)设集合 m 的取值范围.

. 上是增函数,求 ω 的取值范围; ,若 A?B 恒成立,求实数

考点: 二倍角的余弦;集合关系中的参数取值问题;二次函数的性质;正弦函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)利用三角函数的降幂公式将 化为 f(x)=2sinx,从而 f
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(ωx)=2sinωx,利用 f(ωx)在[ ,从而可求 ω 的取值范围; (2)由于 f(x)=2sinx,将
2 2



]是增函数,可得到

化为 sin x﹣2msinx+m +m﹣1>0,令
2 2

2

2

sinx=t,则 t ﹣2mt+m +m﹣1>0,t∈[ ,1],记 f(t)=t ﹣2mt+m +m﹣1, 问题转化为上式在 t∈[ ,1]上恒成立问题,根据区间[ ,1]在对称轴 t=m 的左侧,右侧,对称轴穿过区间 [ ,1]三种情况结合二次函数的单调性即可解决. 解答: (本小题满分 14 分) 解: (1) ∵ ∴ 是增函数, ,∴ =2sinx(1+sinx)﹣2sin x=2sinx.
2

(2) =sin x﹣2msinx+m +m﹣1>0 因为
2 2 2 2

,设 sinx=t,则 t∈[ ,1]

上式化为 t ﹣2mt+m +m﹣1>0 由题意,上式在 t∈[ ,1]上恒成立. 记 f(t)=t ﹣2mt+m +m﹣1, 这是一条开口向上抛物线,
2 2







解得:


2 2

点评: 本题考查二倍角的余弦,二次函数的性质,难点在于转化与构造函数,利用 f(t)=t ﹣2mt+m +m﹣1>0 恒成立,t∈[ ,1]来解决,属于难题.

11.已知函数 f(x)= (Ⅰ)把 f(x)解析式化为 f(x)=Asin(ωx+? )+b 的形式,并用五点法作出函数 f(x)在一个周期上的简图; (Ⅱ)计算 f(1)+f(2)+…+f(2012)的值.

考点: 二倍角的余弦;五点法作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象. 专题: 综合题. 分析: (Ⅰ)利用倍角公式和诱导公式对函数解析式进行化简,再利用正弦函数的五个关键点进行列表、描点、 连线; (Ⅱ)根据函数解析式先求出周期,再求出一个周期内的函数值的和,进而判断出 2012 与周期的关系,再 求出式子和的值. 解答: 解: (Ⅰ)由题意知,
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列表: x

0

1

2

3

4

0 1 描点画图,如图所示: 2

π 1 0

2π 1

(Ⅱ)∵f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=2+1+0+1=4,而 y=f(x)的周期为 4,且 2012=4×503, ∴f(1)+f(2)+…+f(2012)=4×503=2012.

点评: 本题是关于三角函数的综合题,涉及了倍角公式、诱导公式的应用,“五点作图法”的步骤,函数周期性的应 用求式子的值,考查了分析、解决问题能力和作图能力.

12.已知 α 为锐角,且 . (1)求函数 f(x)的表达式; (2)求证:an+1>an; (3)求证:

,函数

,数列{an}的首项



考点: 二倍角的正切;不等式比较大小;不等式的证明. 专题: 综合题. 分析: (1)根据二倍角的正切函数公式,由 tanα 的值求出 tan2α 的值,根据特殊角的三角函数值以及 α 的范围即
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可求出 2α 的值,即可求出 sin(2α+

)的值,把求出的 tan2α 和 sin2α 的值代入 f(x)中即可确定出 f(x) ;
2

(2)an+1=f(an) ,把 an 代入(1)中求出的 f(x)的解析式,移项后,根据 an 大于 0,即可得证; (3)把 an 代入(1)中求出的 f(x)的解析式中化简后,求出 ,然后把等号右边的式子利用

拆项相减的方法,得到

,移项后得到

,然后从 n=1 列举到 n,抵消

后得到所要证明的式子等于 2﹣

,根据题意分别求出 a2 和 a3 的值,根据(2)所证明的结论即可得证.

解答: 解: (1) ,

又∵α 为锐角,所以 2α= ∴
2





则 f(x)=x +x; 2 (2)∵an+1=f(an)=an +an, 2 ∴an+1﹣an=an >0, ∴an+1>an; (3)∵ ,且 a1= ,

∴ 则 = ∵



, , ,

又 n≥2 时,∴an+1>an, ∴an+1≥a3>1, ∴ ∴ , .

点评: 此题考查学生灵活运用二倍角的正切函数公式化简求值,会利用不等式比较大小以及会进行不等式的证明, 是一道综合题.

13.已知 tan2θ=﹣ 求: (1)tanθ;

,且 3π<2θ<4π.

(2)



考点: 二倍角的正切. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意,可先判断角 θ 的取值范围,得出其是第四象限角从而确定出角的正切值的符号,再由正切的 二倍角公式得到角的正切的方程,解此方程求出正切值;
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(2)由题意,先化简 解答:

,再将 tanθ=

代入计算出答案.

解: (1)由题意 3π<2θ<4π,得

<θ<2π 是第四象限角

又 tan2θ=﹣ ∴ (2)由题,

, =﹣ ,解得 tanθ=

将 tanθ=

代入得

=

点评: 本题考查二倍角的正切,二倍角的余弦,同角三角函数的基本关系等,解题的关键是利用公式灵活变形, 计算求值,本题中有一易错点,即没有判断角所在的象限,导致解出的正切值有两个答案,切记!三角函 数化简求值题,公式较多,要注意选择公式使得解题的过程简捷.本题考查了利用公式变形计算的能力.

14.在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 A(0,﹣1) ,B 点在直线 y=﹣3 上,M 点满足 M 点的轨迹为曲线 C. (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)P 为 C 上的动点,l 为 C 在 P 点处得切线,求 O 点到 l 距离的最小值. 考点: 向量在几何中的应用;直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 计算题;综合题;函数思想;整体思想. 分析: (Ⅰ)设 M(x,y) ,由已知得 B(x,﹣3) ,A(0,﹣1)并代入
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, ,

=

?





, ,

=

?

,即可求得 M

点的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)为 C 上的点,求导,写出 C 在 P 点处的切线方程,利用点到直线的距离公式即可求 得 O 点到 l 距离,然后利用基本不等式求出其最小值. 解答: 解: (Ⅰ)设 M(x,y) ,由已知得 B(x,﹣3) ,A(0,﹣1) . 所 =(﹣x,﹣1﹣y) , )? =(0,﹣3﹣y) , =(x,﹣2) .

再由题意可知(

=0,即(﹣x,﹣4﹣2y)?(x,﹣2)=0. ﹣2.

所以曲线 C 的方程式为 y=

(Ⅱ)设 P(x0,y0)为曲线 C:y=

﹣2 上一点,因为 y′= x,所以 l 的斜率为 x0,
2

因此直线 l 的方程为 y﹣y0= x0(x﹣x0) ,即 x0x﹣2y+2y0﹣x0 =0.

则 o 点到 l 的距离 d=

.又 y0=

﹣2,

所以 d=
2

=

≥ 2,

所以 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2. 点评: 此题是个中档题.考查向量与解析几何的交汇点命题及代入法求轨迹方程,以及导数的几何意义和点到直 线的距离公式,综合性强,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力.

15.已知 ①若向量

, .且 ∥ ,求 f(x)的值;

②在△ ABC 中,∠A,∠B,∠C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a﹣c)cosB=bcosC,求 f(A)的取值范围. 考点: 平面向量的综合题. 专题: 计算题. 分析: ①利用向量共线的充要条件,可求 x 的值,从而可求 f(x)的值;
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②利用余弦定理求出 B 的值,确定出 解答: 解:①由 ∥ ,得 ,∴

<A+

<π,然后求出函数 f(A)的取值范围. ,∴ 或 ,∴x=2kπ+π 或

②∵(2a﹣c)cosB=bcosC, 由正弦定理得(2sinA﹣sinC)cosB=sinBcosC.∴2sinAcosB﹣cosBsinC=sinBcosC, ∴2sinAcosB=sin(B+C) ,∵A+B+C=π,∴sin(B+C)=sinA,且 sinA≠0, ∴cosB= ,B= 又∵ ,∴0<A< .∴ <A+ <π,0<sin(A+ )≤ 1.

,∴故函数 f(A)的取值范围是(0,2].

点评: 本题是中档题,考查三角函数的化简求值,考查向量共线的充要条件.

16.已知 O 是线段 AB 外一点,若





(1)设点 A1、A2 是线段 AB 的三等分点,△ OAA1、△ OA1A2 及△ OA2B 的重心依次为 G1、G2、G3,试用向量 、 表示 ;

(2)如果在线段 AB 上有若干个等分点,你能得到什么结论?请证明你的结论. 考点: 向量在几何中的应用. 专题: 计算题. 分析: (1)由题意画出图形由于点 A1、A2 是线段 AB 的三等分点,又由于△ OAA1、△ OA1A2 及△ OA2B 的重心
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依次为 G1、G2、G3,利用重心的性质及向量的三角形法则求得用向量 、 表示



(2)由题意若在线段 AB 上有若干个等分点,有(1)的证明过程及结论可以逐渐得到结论,并且利用向 量的加法及减法得到证明过程. 解答: 解: (1)如图:点 A1、A2 是线段 AB 的三等分点, ,同理可

得: 则 = =





(2)层次 1:设 A1 是 AB 的二等分点,则 设 A1、A2、A3 是 AB 的四等分点,则 或设 A1,A2, ,An﹣1 是 AB 的 n 等分点,则 层次 2:设 A1,A2, ,An﹣1 是 AB 的 n 等分点, , 层次 3:设 A1,A2, ,An﹣1 是 AB 的 n 等分点, 则 证: = = =

; ; ,





点评: 此题考查了三角形重心的定义,向量的加法和减法,还考查了学生对于新问题逐渐分析并合理联想的能力.

17.已知向量 =(1,2) , =(cosα,sinα) ,设 = +t (t 为实数) . (1)若 ,求当| |取最小值时实数 t 的值; ,若存在,请求出 t;若不存在,请说明

(2)若 ⊥ ,问:是否存在实数 t,使得向量 ﹣ 和向量 的夹角为 理由. 考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 计算题. 分析: (1)先把 a= 代入求出向量 的坐标,再把
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转化为

=

,把所求结论以

及已知条件代入得到关于实数 t 的二次函数,利用配方法求出 (2)先利用向量垂直求出 以及 和( ) (

的最小值以及实数 t 的值; ) ,代入

cos45°= 解答:

,可得关于实数 t 的方程,解方程即可求出实数 t.

解: (1)因为 a=

,所以 =(

) ,





=

=

=

=

所以当

时,

取到最小值,最小值为

. (7 分)

(2)由条件得 cos45°=



又因为 ( ) (

= )=5﹣t,则有

=

, =

= ,且 t<5,

=



整理得 t +5t﹣5=0,所以存在 t= 点评:

2

满足条件. (14 分) ) ( )=5﹣t 中的

本题主要考查数量积表示两个向量的夹角以及向量的模.本题的易错点在于( t<5,因为两个向量的夹角为锐角,所以向量的数量积为正得 t<5.

18.经过 A(2,0) ,以(2cosθ﹣2,sinθ)为方向向量的直线与经过 B(﹣2,0) ,以(2+2cosθ,sinθ)为方向向 量的直线相交于点 M(x,y) ,其中 θ≠kπ. (I)求点 M(x,y)的轨迹方程; (II)设(I)中轨迹为曲线 C, |PF2|成等比数列(O 为坐标原点) ,求 的取值范围. ,若曲线 C 内存在动点 P,使得|PF1|、|OP|、

考点: 向量在几何中的应用;数列与解析几何的综合. 专题: 计算题. 分析: (I)根据题意知, ∥(2cosθ﹣2,sinθ) ,根据共线向量定理可得?(x﹣2)sinθ=y
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(2cosθ﹣2) ,同理(x+2)sinθ=y(2cosθ+2) ,两式相乘,即可得到点 M(x,y)的轨迹方程; (II)设 p(x0,y0)在曲线 C 内,得 ,再由|PF1|、|OP|、|PF2|成等比数列可得

并代入求得

,即可求得结果.

解答:

解: (I)
2 2

, (2﹣x)sinθ+y(2cosθ﹣2)=0?(x﹣2)sinθ=y(2cosθ﹣2)①

同理(﹣2﹣x)sinθ+y(2cosθ+2)=0?(x+2)sinθ=y(2cosθ+2)② ①×②得 x ﹣4=﹣4y 即 ;

(II)设 p(x0,y0) ,则



化简得: ④代入③得



点评: 此题是个中档题.考查向量在几何中的应用,以及数列与解析几何的综合.同时考查学生灵活应用知识分 析解决问题的能力.

19.已知向量 (1)若 (2)若

, ,求向量 、 的夹角 θ; ,函数





的最大值为 ,求实数 λ 的值.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;数量积的坐标表达式;平面向量数量积的运算. 专题: 计算题;综合题. 分析: (1)当 时,求出向量 、 ,利用数量积的坐标运算求出向量 ? ,从而求出向量 、 的夹角 θ; (2)
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向量



,代入函数

,利用三角函数的诱导公式

进行化简,转化为三角函数在定区间上的最值,即可求得结果. 解答: 解: (1)当 时, ,

所以 因而 (2) ;



, ,

因为



所以 当 λ>0 时, 当 λ<0 时, 所以 .

, ,即 ,即 , ,

点评: 此题是个中档题.考查向量的数量积的坐标运算以及向量的夹角,和三角函数的诱导公式和三角函数在定 区间上的最值等基础知识,同时也考查了学生灵活应用知识分析解决问题的能力.

20.已知向量 (I)若

=(mcosα,msinα) (m≠0) , 且 m>0,求向量 与

=(﹣sinβ,cosβ

.其中 O 为坐标原点.

的夹角; 的最大值.

(II)当实数 α,β 变化时,求实数

考点: 数量积表示两个向量的夹角;向量的模. 专题: 计算题;综合题. 分析: (Ⅰ)设它们的夹角为 θ,利用向量的数量积公式表示出 cosθ,将已知条件
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代入,利用特殊角

的三角函数值求出两个向量的夹角. (II)先将 利用向量模的计算公式表示成 ,再利用三角函

数的值域求出它的最大值即可. 解答: 解: (I)设它们的夹角为 θ,则:

= 故 (II) = …(6 分)



…(10 分)

所以当 m>0 时,原式的最大值是 m﹣1; 当 m<0 时,原式的最大值是﹣m﹣1…(12 分) 点评: 求向量的夹角问题,一般利用向量的数量积公式来解决;解决向量的模的最值问题,一般转化为函数的最 值来解决.

21.已知中心在原点,长轴在 x 轴上的椭圆的一个顶点是点(0, (1)求椭圆方程; (2)点 M 在椭圆上,求△ MF1F2 面积的最大值; (3)试探究椭圆上是否存在一点 P,使

) ,离心率为

,左、右焦点分别为 F1 和 F2.

,若存在,请求出点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.

考点: 向量在几何中的应用;椭圆的标准方程;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;存在型;反证法. 分析: (1) 由题意设出椭圆标准方程, 根据顶点的坐标和离心率得

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, 根据 a =b +c 求出 a 的值,

2

2

2

即求出椭圆标准方程; (2)根据(1)求出的椭圆标准方程,求出点 M 纵坐标的范围,即求出三角形面积的最大值; (3)先假设存在点 P 满足条件,根据向量的数量积得 个方程,求出 解答: 解: (1)由题意设椭圆标准方程为 . ,根据椭圆的焦距和椭圆的定义列出两

的值,结合(2)中三角形面积的最大值,判断出是否存在点 P.

由已知得,

. (2 分)
2



,∴

.解得 a =6(4 分)

∴所求椭圆方程为

(5 分)

(2)令 M(x1,y1) ,则 ∵点 M 在椭圆上,∴ ∴当 时, ,故|y1|的最大值为 的最大值为 . (9 分)

(7 分) (8 分)

(3)假设存在一点 P,使 ∵ ,∴
2

, , (10 分)
2 2

∴△PF1F2 为直角三角形,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4 ①(11 分) 又∵
2

②(12 分) , (13 分) 最大值为 . (14 分) ,故矛盾,

∴② ﹣①,得 2|PF1|?|PF2|=20,∴ 即 =5,由(1)得

∴不存在一点 P,使

点评: 本题考查了椭圆方程的求法以及椭圆的性质、向量数量积的几何意义,利用 a、b、c、e 几何意义和 a2=b2+c2 求出 a 和 b 的值,根据椭圆上点的坐标范围求出相应三角形的面积最值,即根据此范围判断点 P 是否存在, 此题综合性强,涉及的知识多,考查了分析问题和解决问题的能力.

22.已知△ OFQ 的面积为

,且



(1)当 (2) 设

时,求向量



的夹角 θ 的取值范围;

, 若以中心 O 为坐标原点, 焦点 F 在 x 非负半轴上的双曲线经过点 Q, 当

取得最小值时,求此双曲线的方程.

考点: 数量积表示两个向量的夹角;双曲线的标准方程. 专题: 计算题. 分析: (1)利用两个向量的数量积的定义和三角形面积公式,推出 tanθ 的解析式,再根据 m 的范围,求得 tanθ 的范围,进而求得 θ 的取值范围. (2)设出双曲线的标准方程和点 Q 的坐标,有三角形的面积公式求出点 Q 的横坐标和纵坐标(用半焦距
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表示) ,用基本不等式求出| 解答: 解: (1)由已知得

|最小时点 Q 的坐标,从而得到双曲线方程中的待定系数. ,∴tanθ= <θ<arctan4. ,



<m<4

,∴1<tanθ<4,∴

(2)设双曲线方程为



=1, (a>0,b>0) ,不妨设点 Q 的坐标为(m,n) ,

n>0,则 又由 ?

=(m﹣c,n) ,∵△OFQ 的面积为

|

|?n=2

,∴n=
2

. ,

=(c,0)?(m﹣c,n)=c(m﹣c)=(

﹣1)c ,∴m=

|

|=

=



,当且仅当 c=4 时,|

|有最小值,

此时,点 Q 的坐标为(



) ,由此可得

,解得



故所求的方程为:

=1.

点评: 本题考查两个向量的数量积的定义,三角形的面积公式以及基本不等式的应用,用待定系数法求双曲线的 方程.

23.在平行四边形 ABCD 中,设边 AB、BC、CD 的中点分别为 E、F、G,设 DF 与 AG、EG 的交点分别为 H、K, 设 = , = ,试用 、 表示 、 .

考点: 向量数乘的运算及其几何意义;向量的共线定理. 专题: 计算题;数形结合;转化思想;数形结合法;综合法. 分析: 本题是向量伯一道综合题,需要综合运用平面向量的加减法与向量的数乘运算来达到用两个基向量 、 表
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的目的,所研究的两个向量与两个基向量不在一个三角形中,故需要先用根据图形用与它们共线

的向量将它们表示出来,然后再用两个基向量表示. 解答: 解:如图所示,因为 AB、BC、CD 的中点分别为 E、F、G, 所以 =﹣ = + = + ( ﹣ ) . (5 分)

+ (﹣

+ )=﹣

因为 A、H、G 三点共线, 所以存在实数 m,使 =m =m( + )=m + m ;

又 D、H、F 三点共线, 所以存在实数 n,使 因为 + = ,所以 =n =n( ﹣ )=n ﹣ n . (10 分)

+n =m +

因为 a、b 不共线, ∴ 即 = ( + 解得 m= , )= + . (14 分)

点评: 本题考点是向量数乘的运算及其几何意义,考查了向量的三角形法则与向量数乘的几何意义,本题是向量 的运算法则的综合运用,要注意结合图形依据向量的相关的知识进行正确转化,当画图时必画图.

24.正方形 ABCD 的边长为 1,记 (1)求作 (2)求| , , |

=

考点: 向量加减混合运算及其几何意义. 专题: 计算题;作图题;转化思想. 分析: (1)根据向量加法的平行四边形法则三角形法则和相等向量,作出
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(2)利用向量加法的三角形法则,| 解答: 解: (1)①连接 AC,则 ②过点 A 做 , ,



|进行化简,再求其值即可.

③以 AC、AF 为邻边作平行四边形 ACEF,则 (2) = =| =0, =2 .



点评: 此题考查向量加法减法的运算以及其几何意义,熟记基础知识是解题的关键,体现了数形结合的思想,属 基础题.

25.如图,平面内有三个向量 | |=2 ,若 +





,其中



的夹角为 120°,



的夹角为 30°.且|

|=1,|

|=1,

,求 λ+μ 的值.

考点: 向量的三角形法则;向量的模;向量的共线定理;数量积表示两个向量的夹角. 专题: 计算题.

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分析:

直接求 λ+μ 的值有难度,可换一角度,把

利用向量加法的平行四边形法则或三角形法则来表示成与

共线的其它向量的和向量,再由平面向量基本定理,进而求出 λ+μ 的值 解答: 解:如图, ,

在△ OCD 中,∠OD=30°,∠OCD=∠COB=90°, 可求| |=4, |=2,

同理可求|

∴λ=4,μ=2, ∴λ+μ=6.

点评: 本题考查平面向量加法的平行四边形法则与三角形法则,及解三角形,是一道综合题,是本部分的重点也 是难点.夯实基础是关键

26.例 3.已知

考点: 向量的加法及其几何意义;不等式的证明. 分析: 根据向量的性质两个向量的模的差小于等于两个向量和的模小于等于两个向量模的和,注意等号成立的条 件. 解答: * 解:∵m,n∈R ,| |<1,| |<1
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由向量的性质得到:| =m| |+n| |<m+n,

|≤|m |+|n |

∴原不等式成立. 点评: 本题是从向量大小的角度来解决问题,大小和方向是向量的两个要素,分别是向量的代数特征和几何特征, 借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化.

27.设动点 M 的坐标为(x,y) (x、y∈R) ,向量 =(x﹣2,y) , =(x+2,y) ,且|a|+|b|=8, (I)求动点 M(x,y)的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 N(0,2)作直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,若 (O 为坐标原点) ,是否存在直线 l,使得

四边形 OAPB 为矩形,若存在,求出直线 l 的方程,若不存在,请说明理由. 考点: 向量的加法及其几何意义;向量的模. 专题: 压轴题;动点型;开放型;方程思想.

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分析:

(I)把 =(x﹣2,y) , =(x+2,y)代入|a|+|b|=8,根据椭圆的定义即可求得动点 M(x,y)的轨迹 C 的 方程; (Ⅱ)假设存在直线 l,使得四边形 OAPB 为矩形,即 OA⊥OB,设出直线 l 的方程,联立直线和椭圆方程, 利用韦达定理即可得出结论.

解答:

解: (I)因为|a|+|b|=8,所以



所以动点 M 的轨迹是到定点 F1(﹣2,0) ,F2(2,0)的距离之和为 8 的椭圆. 则曲线 C 的方程是 .

(Ⅱ)因为直线 l 过点 N(0,2) ,若直线 l 的斜率不存在,则 l 的方程为 x=0,与椭圆的两个交点 A、B 为 椭圆的顶点. 由 ,则 P 与 O 重合,与 OAPB 为四边形矛盾.

若直线 l 的斜率存在,设方程为 y=kx+2,A(x1,y1) ,B(x2,y2) . 由
2

得(4k +3)x +16kx﹣32=0.
2

2

2

△ =256k +128(4k +3)>0 恒成立. 由根与系数关系得: , .

因为

,所以四边形 OAPB 为平行四边形. ,即 .

若存在直线 l 使四边形 OAPB 为矩形,则 所以 x1x2+y1y2=0. 2 所以(1+k )x1x2+2k(x1+x2)+4=0. 即
2



化简得:12k +5=0.与斜率存在矛盾. 则不存在直线 l,使得四边形 OAPB 为矩形. 点评: 考查向量和解析几何相结合,体现了向量的工具性,考查椭圆的定义和直线与椭圆的位置关系问题,属难 题. 28.在福建省第 14 届运动会(2010?莆田)开幕式上,主会场中央有一块边长为 a 米的正方形地面全彩 LED 显示 屏如图所示,点 E、F 分虽为 BC、CD 边上异于点 C 的动点,现在顶点 A 处有视角∠EAF 设置为 45°的摄像机,正 录制形如△ ECF 的移动区域内表演的某个文艺节目,设 DF=x 米,BE=y 米. (Ⅰ)试将 y 表示为 x 的函数; (Ⅱ)求证:△ ECF 周长 p 为定值; (Ⅲ)求△ ECF 面积 S 的最大值.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 计算题. 分析: (Ⅰ)利用∠EAF=45°及和角三角函数可构建 x,y 之间的关系,从而得出 x,y 之间的函数关系式;
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(Ⅱ)关键是表达出△ ECF 的周长,结合(Ⅰ)将

代入化简可证;

(Ⅲ)首先可以得到 S=xy,因此要求面积的最大值,关键是求 xy 的最大值,利用(Ⅰ) ,结合基本不等式 可以求出面积的最大值. 解答: 解: (Ⅰ)因为∠EAF=45°,DF=x 米,BE=y 米, 所以 ,

所以 a(x+y)=a ﹣xy,所以 (Ⅱ)△ ECF 的周长 所以△ ECF 的周长 p 为定值; (Ⅲ) 由(Ⅰ)知 a(x+y)=a ﹣xy,得 当且仅当 时, 取到最大值 平方米.
2

2

; ,

, ,解得 ,所以 , ,

所以△ ECF 面积 S 的最大值为

点评: 本题主要考查函数、不等式等基础知识;考查运算求解能力以及应用数学知识分析和解决实际问题的能力; 考查应用意识. 29.如图所示,ABCD 是一块边长为 7 米的正方形铁皮,其中 ATN 是一半径为 6 米的扇形,已经被腐蚀不能使用, 其余部分完好可利用. 工人师傅想在未被腐蚀部分截下一个有边落在 BC 与 CD 上的长方形铁皮 PQCR, 其中 P 是 上一点.设∠TAP=θ,长方形 PQCR 的面积为 S 平方米. (1)求 S 关于 θ 的函数解析式; (2)设 sinθ+cosθ=t,求 S 关于 t 的表达式以及 S 的最大值.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 应用题. 分析: (1)延长 RP 交 AB 于 E,延长 QP 交 AD 于 F,由 ABCD 是正方形,推出 S 关于 θ 的函数解析式;
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(2)设 sinθ+cosθ=t,利用平方关系求出

,通过 θ 的范围求出 t 的范围,得到 S 关于

t 的表达式,利用二次函数的性质求出 S 的最大值. 解答: 解: (1)延长 RP 交 AB 于 E,延长 QP 交 AD 于 F, 由 ABCD 是正方形,PRCQ 是矩形,可知 PE⊥AB,PF⊥AD, 由∠TAP=θ,可得 EP=6cosθ,FP=6sinθ, ∴PR=7﹣6sinθ,PQ=7﹣6cosθ, (4 分) ∴S=PR?PQ=(7﹣6sinθ) (7﹣6cosθ)=49﹣42(sinθ+cosθ)+36sinθcosθ 故 S 关于 θ 的函数解析式为 S=49﹣42(sinθ+cosθ)+36sinθcosθ (2)由 sinθ+cosθ=t,可得 t =(sinθ+cosθ) =1+2sinθcosθ, 即
2 2 2

. (6 分)


2

∴S=49﹣42t+18(t ﹣1)=18t ﹣42t+31. (9 分) 又由 故 ∴S 关于 t 的表达式为 S=18t ﹣42t+31( 又由 可知当 , 时,S 取最大值, . (14 分)
2

,可得

, , ) . (11 分)

故 S 的最大值为

点评: 本题是中档题,考查函数解析式的求法,注意必须注明函数的定义域,利用换元法求出函数的表达式,二 次函数的最值的求法,考查计算能力.

30.如图,某市拟在长为 16km 的道路 OP 的一侧修建一条自行车赛道,赛道的前一部分为曲线 OSM,该曲线段为 函数 y=Asinωx(A>0,ω>0,x∈[0,8]的图象,且图象的最高点为 S(6,4 ) .赛道的后一段为折线段 MNP, 为保证参赛队员的安全,限定∠MNP=120°. (1)求实数 A 和 ω 的值以及 M、P 两点之间的距离; (2)连接 MP,设∠NPM=θ,y=MN+NP,试求出用 θ 表示 y 的解析式; (3) (理科)应如何设计,才能使折线段 MNP 最长? (文科)求函数 y 的最大值.

考点: 已知三角函数模型的应用问题. 专题: 应用题;综合题. 分析: (1)结合函数的图象,推出周期的故选式,利用图象经过 S,即可求出实数 A 和 ω 的值,求出 M 点的坐 标即可求出 M、P 两点之间的距离; (2)连接 MP,设∠NPM=θ,y=MN+NP,利用正弦定理求出 MN、NP,即可求出用 θ 表示 y 的解析式; (3)通过(2)化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式,结合 θ 的范围,求出折线段 MNP 最大 值, (理)说明设计方案即可. 解答:
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解(1)结合题意和图象,可知



解此方程组,得

,于是



进一步可得点 M 的坐标为



所以,MP=

(km) . .

(2)在△ MNP 中,∠MNP=120°∠NPM=θ,故 又 MP=10, 因此,y= (3) (文)把 (0°<θ<60°) . 所以,当 (理)把 (km) . 进一步化为: (0°<θ<60°) . 进一步化为:

(0°<θ<60°) . 所以,当 (km) .

可以这样设计:连接 MP,分别过点 M、P 在 MP 的同一侧作与 MP 成 30°角的射线,记两射线的交点为 N, 再修建线段 NM 和 NP,就可得到满足要求的最长折线段 MNP 赛道. 点评: 本题是中档题,考查三角函数在解三角形中的应用,涉及正弦定理、三角函数的化简求值,最值的求法以 及函数解析式的求法,关键要提高逻辑推理能力.


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