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对数运算性质1


复习回顾:
对数定义: 一般地,如果 a ( a>0 且a ≠1 ) 的b次幂等于N, 即 a b = N , 那么数 b 叫做以 a 为底 N 的对数。
记作
底数

log a

N

= b

以 a 为底 N 的对数

负数和零没有对数

真数

N>0 .

1、关系:
指数式

底数对底数

指数对以a为底N的对数

ab=N

b = log a N
幂值对真数

对数式

2、特殊对数:1)常用对数 — 以10为底的对数;lg N
2)自然对数— 以 e 为底的对数;ln N 3、对数恒等式:

a

loga N

? N log a a ? b
b

4、重要结论:1)log a a = 1;2)log a 1 = 0

课前练习:
(1)计算

log ?2? 3 ? 2 ? 3

?
x

解:设 x ? log ?2? 3 ? 2 ? 3 则 2? 3

?

?

?

?

?

? 2? 3 ? 2? 3

?

?

?1

,

? x ? ?1
即 log ?2? 3 ? ?2 ? 3 ? ? ?1.

(2)已知x满足等式

log5[log3 (log2 x)] ? 0, 求log16x的值.

1 ? ln e (3)求值: log 2.5 6.25 ? lg 100
(4)已知

loga 2 ? x,loga 3 ? y, 求 a

3x+2y

的值.

小结

指数式与对数式:
底数对底数
指数对以a为底N的对数

指数式

ab=N

b = log a N
幂值对真数

对数式

对数是建立在指数的基础之上,回忆指数 有哪些运算性质呢?

有理数指数幂的运算性质

(1) ar as=ar+s
?

(a>0, r,s

? Q)

(2) (ar)s=ars

(a>0,r,s ? Q)

(3) (ab)r=arbr (a>0,b>0,r ? Q)

对数是指数运算的逆运算,那么对数运算 有哪些性质呢?

对数运算性质

练习: 求下列各式的值
(1)log3(3?9); (2) log33; =3 =1

你能发现什么 规律? (3)log39 =2

(4)log24+log24;(5) log2(4+4); (6)log2(4 4) =4 =3 =4 (7)log39+log327;(8)log3(9+27);(9)log3(9? 27) x =5 =5 3 ? 36

?

x??

问题1:若a>0且a 1,M>0,N>0,试判断 logaM+logaN=loga(M+N)是否成立?
由分析可以确定: logaM+logaN

?

?loga(M+N)

(M>0,N>0) (M>0,N>0)

那么logaM+logaN=?

思考: logaM+logaN=loga(MN)

(M>0,N>0)

上式是否对一切正实数都成立?

证明: 设logaM=P,logaN=q .

则ap=M,aq=N

由指数运算性质:得MN=apaq=ap+q 则loga(MN)=p+q

即loga(MN)=logaM+logaN
这是对数运算性质1,

(M>0,N>0)

大家尝试能否用文字语言叙述一下? 两个正数积的对数等于这两个正数的对数之和

如果真数是三个正数相乘,会有什么结果?
即loga(MNP)=? (M>0,N>0,P>0) loga(MNP)=logaM+logaN+logaP

(a>0且a ? 1,M>0,N>0,P>0)

问题:若a>0且a 当n? N ? 时

?

1,M>0,logaMn=?

loga M ? loga (M ? M ??? M )
? loga M ? loga M ? ? ? loga M
n个 n个

n

? n loga M

如果n ? R 呢?
证明:设 loga M ? p, 由对数的定义可以得: ∴ 即证得

M ?a ,
p

M ?a
n

np

? loga M n ? np

logaMn ? nlog a M(n ? R)
(a>0且a

这是对数运算性质3,

?

1,M>0)

问题: 若 a > 0,a ? 1,M > 0, N > 0

M loga ?? N

思考1 :利用性质1的方法,从定义出发进行证明
证明:设 loga M ? p, loga N ? q, 由对数的定义可以得:M

?a , N ?a
p

q

M ? ∴ N
即证得

a M p ?q ? log a ? p?q q ?a N a
M loga ? loga M ? loga N (2) N

p

两个正数商的对数等于这两个正数的对数之差

对数运算性质
(1)logaM+logaN= logaMN

M (2)logaM-logaN= log a N
(3)logaMn= nlogaM

其中a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0. n ? R

1 ?1 推论: log a ? log M ? ? log a M a M

log a a ? b log a a
b

=b

loga (MN) ? loga M ? loga N (1) M loga ? loga M ? loga N (2) N n loga M ? nloga M(n ? R) (3)
①简易语言表达:“积的对数 = 对数的和”, ②会正,逆向运用公式 ③真数的取值范围必须是 (0,??) ④对公式容易错误记忆,要特别注意:

“商的对数 = 对数的差”

对公式容易错误记忆,要特别注意:

(1).log a ( M ? N ) ? log a M ? log a N log a M M (2).log a ? N log a N (3).log a ( MN ) ? log a M ? log a N (4).log a M ? (log a M )
n n

数学运用
例1.求下列各式的值: 3 5 (1) log2 (2 ? 4 ); (2) log5125. 3 5 解: (1) log2 (2 ? 4 ) ? log2 23 ? log 2 45 ? 3 ? 5log2 4

(2) log5125 ? log5 5 ? 3log5 5
3

? 3 ? 5? 2 ? 13;

课本76页第2,5题

? 3.

数学运用
? 例 2 .求下列各式的值(结果保留4位小数):
(1) lg12; 27 (2) lg . 16

(lg 2 ? 0.3010, lg3 ? 0.4771)
2 ? lg 2 ? lg 3 解: (1) lg12= lg(2 ? 3) ? 2 lg 2 ? lg 3
2

? 2 ? 0.3010 ? 0.4771
? 1.0791;

27 (2) lg ? lg33 ? lg 24 ? 3lg 3 ? 4 lg 2 16

课本76页第3, 4题

? 3 ? 0.4771 ? 4 ? 0.3010 ? 0.2273.

例3 用

loga x, loga y, loga z 表示下列各式:

x2 y xy (1)loga ; (2) loga 3 z z xy 解(1) log a ? log a ( xy ) ? log a z z ? loga x ? loga y ? loga z

解(2) loga

x2 y
3

z

? loga ( x 2 y ) ? loga z
1 2

1 2

1 3

? loga x 2 ? loga y ? loga z

1 3

课本76页第1题

1 1 ? 2 log a x ? log a y ? log a z 2 3

巩固练习 1.计算

(1)log9 3 ? log9 27
1 (3)lg ? 2lg5 4 lg100000 (5) lg100

(2)lg 5 100
(4)log2(4 ? 4)

练习 2. 用lgx,lgy,lgz表示下列各式: (1 ) (2 )

lg( xyz) =lgx+lgy+lgz;

(3)

xy lg z 3 xy lg z

2

=lgx+2lgy-lgz;
1 lgz; =lgx+3lgy- 2

x (4) lg 2 y z

1 ? lg x ? 2 lg y ? lg z 2

课堂小结:1.对数运算性质

M (2)logaM-logaN= log a N
(3)logaMn= nlogaM

(1)logaM+logaN= logaMN

推论:

1 ?1 log a ? log a M ? ? log a M M

log a a ? b log a a
b

=b

要注意公式的逆用

小结2:
本课学习的是对数的性质及运算 法则,要求理解推出这些运算法则的 依据和推导过程,会用语言叙述,要 记住这些公式并能熟练应用。

问题1:若a>0且a

? 1,M>0,N>0,试判断


loga(MN) = ?

loga (MN ) ? loga M ? loga N;
上式是否对一切正实数都成立?


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