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2.1.2指数函数及其性质知识点及例题解析


指数函数及其性质知识点及例题解析
要点一、指数函数的概念: x 函数 y=a (a>0 且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,a 为常数,函数定义域为 R. 要点二、指数函数的图象及性质: y=a 0<a<1 时图象
x

a>1 时图象

图象

①定义域 R,值域 (0,+∞) ②a =1, 即 x=0 时,y=1,图象都经过(0,1)点 性质 ③a =a,即 x=1 时,y 等于底数 a ④在定义域上是单调减函数 ⑤x<0 时,a >1 x x>0 时,0<a <1 ⑥ 既不是奇函数,也不是偶函数 要点诠释: (1)当底数大小不定时,必须分“ a ? 1 ”和“ 0 ? a ? 1 ”两种情形讨论。 (2)当 0 ? a ? 1 时, x ? ??, y ? 0 ;当 a ? 1 时 x ? ??, y ? 0 。 当 a ? 1 时, a 的值越大,图象越靠近 y 轴,递增速度越快。 当 0 ? a ? 1 时, a 的值越小,图象越靠近 y 轴,递减的速度越快。
x x 0

④在定义域上是单调增函数 ⑤x<0 时,0<a <1 x x>0 时,a >1
x

?1? (3)指数函数 y ? a 与 y ? ? ? 的图象关于 y 轴对称。 ?a?
x

x

类型一、指数函数的概念 例 1、函数 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,求 a 的值.
2 x

?a 2 ? 3a ? 3 ? 1, ?a ? 1或a ? 2, 【解析】由 y ? (a ? 3a ? 3)a 是指数函数,可得 ? 解得 ? ,所以 a ? 2 . ?a ? 0且a ? 1, ?a ? 0, 且a ? 1,
2 x

关键点:一个函数是指数函数要求系数为 1,底数是大于 0 且不等于 1 的常数,指数必须是自变量 x . 【变式 1】指出下列函数哪些是指数函数?
x 4 x x (1) y ? 4 ;(2) y ? x ;(3) y ? ?4 ;(4) y ? (?4) ;(5) y ? (2a ? 1) (a ?
x

1 且a ? 1) ; 2

(6) y ? 4 .【答案】(1)(5)(6) 类型二、函数的定义域、值域 例2、求下列函数的定义域、值域.(1) y ?

?x

3x 1 x x 2 x ?1 ;(2)y=4 -2 +1;(3) 3 ? ; x 1? 3 9
x

【解析】(1)函数的定义域为 R (∵对一切 x ? R,3 ≠-1).

∵ y? ∴ 0?

(1 ? 3x ) ? 1 1 x x ? 1? ,又∵ 3 >0, 1+3 >1, x x 1? 3 1? 3

1 1 1 ? 1 , ∴ ?1 ? ? ? 0 ,∴ 0 ? 1 ? ? 1 , ∴值域为(0,1). x x 1? 3 1? 3 1 ? 3x 1 2 3 x x 2 x x (2) 定义域为 R, y ? (2 ) ? 2 ? 1 ? (2 ? ) ? ,∵ 2 >0, 2 4 1 3 3 3 x ∴ 2 ? 即 x=-1 时,y 取最小值 ,同时 y 可以取一切大于 的实数,∴ 值域为[ ,?? ). 2 4 4 4 1 2 x ?1 ? ? 0 ,即 32 x ?1 ? 3?2 ,又函数 y ? 3x 是增函数, (3) 要使函数有意义可得到不等式 3 9
所以 2 x ? 1 ? ?2 ,即 x ? ?

1 ? 1 ? ,即 ? ? , ?? ? ,值域是 ?0, ??? . 2 ? 2 ?
3- x

【变式 1】求下列函数的定义域: (1) y ? 2x
2

-1

【答案】 (1)R; (2) ? -?, (3) ?0,+? ? ; (4)a>1 时, ? -?, 3? ; 0? ;0<a<1 时, ?0, +?? 类型三、指数函数的单调性及其应用

(2) y ? 3

(3) y ?

2 x -1

(4) y ? 1- a x (a ? 0, a ? 1)

?1? 例 3、讨论函数 f ( x) ? ? ? ?3?

x2 ? 2 x

的单调性,并求其值域.
x2 ? 2 x

?1? 【思路点拨】对于 x∈R, ? ? ?3?

? 0 恒成立,因此可以通过作商讨论函数 f ( x) 的单调区间.此函数是

由指数函数及二次函数复合而成的函数,因此可以逐层讨论它的单调性,综合得到结果. 解:∵函数 f ( x ) 的下义域为 R,令 u=x2-2x,则 f (u ) ? ? ? .

?1? ?3?

u

?1? ∵u=x ―2x=(x―1) ―1,在(―∞,1]上是减函数, f (u ) ? ? ? 在其定义域内是减函数,∴函数 f ( x ) 在 ?3?
2 2

u

(-∞,1]内为增函数.

?1? 又 f (u ) ? ? ? 在其定义域内为减函数,而 u=x2―2x=(x―1)2―1 在[1,+∞)上是增函数,∴函数 f ( x ) 在 ?3?
[1,+∞)上是减函数. 【总结升华】研究 y ? a
f ( x)

u

型的复合函数的单调性用复合法,比用定义法要简便些,
f ( x)

一般地有:即当 a>1 时, y ? a

的单调性与 y ? f ( x) 的单调性相同;
f ( x)

当 0<a<1 时, y ? a 【变式 1】求函数 y ? 3? x
2

的单调与 y ? f ( x) 的单调性相反.

?3 x?2

的单调区间及值域.

【答案】 x ? (??, ] 上单增,在 x ? [ , ??) 上单减. (0,34 ] 类型四、指数函数的图象问题 例 4、如图的曲线 C1、C2、C3、C4 是指数函数 y ? a x 的图象,而 a ? ? ,

3 2

3 2

1

? ?1 ? ?2

? 2 ? , 3, ? ? , 2 ? ?

则图象 C1、 C2、 C 3、 C4 对应的函数的底数依次是________、 ________、 ________、 ________. 【答案】

2 2

1 2

?

3

【总结升华】 利用底数与指数函数图象之间的关系可以快速地解答像本题这样的有关问 题,同时还可以解决有关不同底的幂的大小比较的问题,因此我们必须熟练掌握这一性质,这一性质可简 单地记作:在 y 轴的右边“底大图高” ,在 y 轴的左边“底大图低” . 【变式 1】为了得到函数 y ? 9 ? 3x ? 5 的图象,可以把函数 y ? 3x 的图象( A.向左平移 9 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 B.向右平移 9 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 C.向左平移 2 个单位长度,再向上平移 5 个单位长度 D.向右平移 2 个单位长度,再向下平移 5 个单位长度 【解析】注意先将函数 y ? 9 ? 3x ? 5 转化为 y ? 3x?2 ? 5 ,再利用图象的平移规律进行判断. 【总结升华】用函数图象解决问题是中学数学的重要方法,利用其直观性实现数形结合解题,所以要熟悉 基本函数的图象,并掌握图象的变化规律,比如:平移、伸缩、对称等. 类型五、判断下列各数的大小关系 )

1 2.5 ? 1 -2 2.5 0 4 (1)1.8 与 1.8 ; (2) ( ) 3 ,3 ,( ) ; (3)2 ,(2.5) , ( ) ; (4) a 2与a 3 (a ? 0, a ? 1) 2 3 3
a a+1

2

【解析】(1)因为底数 1.8>1,所以函数 y=1.8 为单调增函数,又因为 a<a+1,所以 1.8 <1.8 .

x

a

a+1

1 2 1 -2 4 1 2 1 ?1? ?1? ?1? (2)因为 3 ? ? ? ,又 y ? ? ? 是减函数,所以 ( ) 3 <( )-2 < ? ? ,即 ( ) 3 <( ) <3 . 3 3 3 3 ?3? ?3? ?3?
4

?4

x

-4

(3)因为 2

2.5

?1? ? 1, ? ? ?2?

2.5

1 2.5 0 2.5 所以 ( ) <(2.5) <2 ? 1, 2

(4)当 a>1 时, a

2

当 0<a<1 时, ?a 3, a

2

?a 3 .

【总结升华】 (1)注意利用单调性解题的规范书写; (2)不是同底的尽量化为同底数幂进行比较(因为同底才能用单调性); (3)不能化为同底的,借助一个中间量来比较大小(常用的中间量是“0”和“1”). 【变式 1】比较大小:(1)3.5 与 3.2 (2)0.9 【答案】(1)3.5 >3.2 .(2)0.9
3 3 -0.3 3 3; -0.3

与 1.1
0.3

-0.1

;(3)0.9 与 0.7

0.3

0.4

(4) 1.5
1

?0.2

2 4 , ( )3 , ( )3 . 3 3

1

1

>1.1

-0.1

;(3)0.9 >0.7 .(4) ( ) 3 ? 1 ? ( ) 3
0.4

4 3

1

2 3

【变式 2】利用函数的性质比较 2 2 , 33 , 6 6 【答案】 33 ? 2 2 ? 6 6 【变式 3】 比较 1.5
-0.2

1

1

1

1

1

1

, 1.3 , ( ) 3 的大小【答案】 ( ) 3 ? 1.5
0.7

2 3

1

2 3

1 ? 0.2

? 1.30.7

类型六、求解有关指数不等式 例 6 已知 (a2 ? 2a ? 5)3 x ? ( a2 ? 2 a ? 5)1? x ,则 x 的取值范围是___________.
? ∞) 上是增函数, 解:∵ a2 ? 2a ? 5 ? (a ? 1)2 ? 4 ≥ 4 ? 1 ,∴函数 y ? (a2 ? 2a ? 5) x 在 (?∞,

∴ 3 x ? 1 ? x ,解得 x ?

1 ?1 ? ? ∞? . .∴x 的取值范围是 ? , 4 4 ? ?

评注:利用指数函数的单调性解不等式,需将不等式两边都凑成底数相同的指数式,并判断底数与 1 的大 小,对于含有参数的要注意对参数进行讨论. 【变式 1】如果 a
2 x ?1

? a x?5 ( a ? 0 ,且 a ? 1 ),求 x 的取值范围.

【解析】 x 的取值范围是:当 0 ? a ? 1 时, x ? ?6 ;当 a ? 1 时, x ? ?6 . 类型七、换元法求最值问题、求解指数式方程 x+1 x 例 7、已知-1≤x≤2,求函数 f(x)=3+2·3 -9 的最大值和最小值 解:设 t=3 ,因为-1≤x≤2,所以
x

1 ? t ? 9 ,且 f(x)=g(t)=-(t-3)2+12, 3

故当 t=3 即 x=1 时,f(x)取最大值 12;当 t=9 即 x=2 时 f(x)取最小值-24。
, 上有最大值 14,则 a 的值是_______. 例 8、函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1(a ? 0且a ? 1) 在区间 [?11]

分析:令 t ? a x 可将问题转化成二次函数的最值问题,需注意换元后 t 的取值范围. 解:令 t ? a x ,则 t ? 0 ,函数 y ? a2 x ? 2a x ? 1 可化为 y ? (t ? 1)2 ? 2 ,其对称轴为 t ? ?1 .

, 当 a ? 1 时,∵ x ? ? ?11 ? ,∴

1 1 ≤ a x ≤ a ,即 ≤ t ≤ a . a a
解得 a ? 3 或 a ? ?5 (舍去) ;

∴当 t ? a 时, ymax ? (a ? 1)2 ? 2 ? 14 ,

1 1 , 当 0 ? a ? 1 时,∵ x ? ? ?11 ? ,∴ a ≤ a x ≤ ,即 a ≤ t ≤ , a a
∴ t?

1 1 1 ?1 ? 时, ymax ? ? ? 1? ? 2 ? 14 ,解得 a ? 或 a ? ? (舍去) ; a 3 5 a ? ?

2

1 ∴a 的值是 3 或 . 3 评注:利用指数函数的单调性求最值时注意一些方法的运用,比如:换元法,整体代入等.
例 9、解方程 3x ? 2 ? 32? x ? 80 . 解:原方程可化为 9 ? (3x )2 ? 80 ? 3x ? 9 ? 0 ,令 t ? 3x (t ? 0) ,上述方程可化为 9t 2 ? 80t ? 9 ? 0 ,解得 t ? 9 或

1 ,∴ 3 x ? 9 ,∴ x ? 2 ,经检验原方程的解是 x ? 2 . t ? ? (舍去) 9 评注:解指数方程通常是通过换元转化成二次方程求解,要注意验根.


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