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【启慧学案】高中数学必修4苏教版分层演练:3.3 几个三角恒等式


3.3

几个三角恒等式

变换是数学的重要工具,也是数学学习的主要对象之一,三角主 要有以下三个基本的恒等变换: (1)代换; (2)公式的逆向变换和多向 变换;(3)引入辅助角的变换.前面已利用诱导公式进行过简易的恒 等变换, 本节中将综合运用和(差)角公式、 倍角公式进行更加丰富的 三角恒等变换.

基 础 巩 固 1.函数 y=cos2?x-
? ? ? π? π? ?+sin2?x+ ?-1 是( 12? 12? ?

)

A.周期为 2π 的奇函数 B.周期为 2π 的偶函数 C.周期为π 的奇函数 D.周期为π 的偶函数

1+cos?2x- 解析:y=
?

?

2

? π? π? ? 1-cos?2x+ ? 6? 6? ? + -1 2

? ? π? π ?? 1? = ?cos?2x- ?-cos?2x+ ?? 6? 6 ?? 2? ? ?

=-sin 2xsin?-

?

π? 1 ?= sin 2x. ? 6? 2

∴是奇函数且周期 T= 答案:C

2π =π . 2

1 2.为了得到函数 y= 3sin xcos x+ cos 2x 的图象,只需将 2 函数 y=sin 2x 的图象( A.向左平移 B.向右平移 C.向左平移 D.向右平移 )

π 个单位长度 12 π 个单位长度 12 π 个单位长度 6 π 个单位长度 6

1 解析:∵y= 3sin xcos x+ cos 2x 2 =
? π? 3 1 sin 2x+ cos 2x=sin ?2x+ ?, 6? 2 2 ?

π ∴将 y=sin 2x 的图象向左平移 个单位长度可以得到,故选 12 A. 答案:A

?π ? 5 3.已知α ∈? ,π ?,sin α = ,则 tan 2α =__________. 5 ?2 ?

解析:∵sin α =

?π ? 5 ,α ∈? ,π ?, 5 ?2 ?

2 5 ∴cos α =- 1-sin2α =- . 5 sin α 1 ∴tan α = =- , cos α 2 2 tan α -1 4 ∴tan 2α = = =- . 2 1-tan α 1 3 1- 4 答案:- 4 3

4.函数 y=cos?x-
?

?

? π? π? ?cos?x+ ?的值域是________. 4? 4? ?

解析:y=cos?x-
?

?

? π? π? ?cos?x+ ? 4? 4? ?

=sin?x+
?

?

? π? π? ?cos?x+ ? 4? 4? ?

? ? 1 1? π? 1 1 = sin?2x+ ?= cos 2x∈?- , ?. 2? 2 2 ? ? 2 2? ? 1 1? 答案:?- , ? ? 2 2?

5.若 A+B=120°,则 sin A+sin B 的最大值是________.

解析:sin A+sin B=2sin ∴最大值为 3.

A+B
2

cos

A-B
2

= 3cos

A-B
2

≤ 3,

答案: 3

6 . 函 数 f(x) = cos 2x - 2 3 sin xcos x 的 最 小 正 周 期 是 ________.

解析:f(x)=cos 2x- 3sin 2x=2cos?2x+
?

?

π? ?,∴T=π . 3?

答案:π

7.若 tan θ =3,则 sin 2θ -cos 2θ 的值为________.

答案:

7 5

? π? 3 α 8.若 cos α = ,且α ∈?0, ?,则 tan =________. 2? 5 2 ?

答案:

1 2

9.求函数 f(x)=cos4x+sin2x 的最大值和最小值.

解析:f(x)=cos4x+1-cos2x 1 3 =(cos2x- )2+ , 2 4 1 kπ π 当 cos2x= ,即 x= + ,k∈Z 时, 2 2 4

f(x)min= ;
当 cos2x=0 或 1 时,即 x=

3 4


2

,k∈Z 时,

f(x)max=1.

?π ? 10.已知 tan? +θ ?=3,求 sin 2θ -2cos2θ 的值. ?4 ?

?π ? 1+tan θ 1 解析:由 tan? +θ ?=3, =3,得 tan θ = ,sin 2 1-tan θ 2 ?4 ?

1 2 1 4 2tan θ cos2θ 1 2 θ = = = = , cos θ = = = 2 2 2 2 1+tan θ 1 5 5 sin θ +cos θ tan θ +1 1+ 4 4 2× 1 1 +1 4 4 = , 5 4 4 4 ∴原式= -2× =- . 5 5 5

能 力 升 级 11.已知 3π 1 <α <2π ,且 cos α = , 2 4 1 1 + cos 2α 的值. 2 2



1 1 + 2 2

解析:∵

3π <α <2π , 2

∴原式= = = =

1 1 + 2 2

1 2cos2α -1 + 2 2

1 1 + cos α 2 2 1 1 1 + × 2 2 4 10 . 4

12. 已知 α 的值.

sin?2α +β ? -2cos(α +β )=2, 求 sin2β +2cos 2 sin α

解析:由

sin?2α +β ? -2cos(α +β )=2, sin α

得 sin(2α +β )-2sin α cos(α +β )=2sin α , 1 sin(2α +β )-2× [sin(2α +β )+sin(-β )]=2sin α . 2 ∴sin β =2sin α . ∴sin2β +2cos 2α =4sin2α +2(1-2sin2α )=2.

1 24 13.已知 sin α +sin β = ,tan(α +β )= ,求 cos α + 4 7 cos β .

1 解析:由 sin α +sin β = ,得 4

α +β α -β 1 2sin cos = ,① 2 2 4 设 cos α +cos β =k,则 2cos α +β α -β cos =k,② 2 2

α +β 且 k≠0 若 k=0, 则 cos =0 , 则α +β =2kπ +π , tan(α 2 +β )=0,与题设矛盾. α +β 1 由①②得 tan = , 2 4k ∵tan(α +β )= 24 , 7

α +β 1 2tan 2× 2 4k 8k 24 ∴ = = = , 2 α +β 1 16k -1 7 1-tan2 1- 2 2 16k 1 3 解得 k= 或- . 3 16 1 3 由此可知 cos α +cos β = 或- . 3 16

1 14.已知 sin x-cos x= ,求 sin3x-cos3x 的值. 3

1 解析:由 sin x-cos x= 得, 3 1 4 1-2sin xcos x= ,∴sin xcos x= , 9 9 ∴ sin3x - cos3x = (sin x - cos x)(sin2x + sin xcos x + cos2x) 4? 13 1? = ?1+ ?= . 9? 27 3?

? ? 3x 3 x? x x? 15 .已知向量 a = ?cos ,sin ? , b = ?cos ,-sin ? , x ∈ 2 2? 2 2? ? ? ? π? ?0, ?. 2? ?

(1)求 a·b 及|a+b|; 3 (2)若 f(x)=a· b-2λ |a+b|(λ >0)的最小值是- , 求λ 的值. 2

解析:(1)a·b=cos 2x=2cos2x-1,

?3x x? x? 3x x 3x ? cos +sin ?-sin ?=cos? + ?=cos 2? 2 2 2? ? 2 2?

? 3x 3x? ? x x? a+b=?cos ,sin ?+?cos ,-sin ? ?

2

2?

?

2

2?

? 3x x 3x x? =?cos +cos ,sin -sin ?. 2 2 2 2? ?

∴|a+b|=

? 3x x?2 ? 3x x?2 ?cos +cos ? +?sin -sin ? 2 2? ? 2 2? ?

= 2cos 2x+2=2cos x.
? 2 1? ? π? (2)由(1)得 f(x)=2(cos x-λ )2-2?λ + ?,x∈?0, ?,若 2? 2? ? ?

3 1 0<λ ≤1,[f(x)]min=-1-2λ 2=- ,λ = ; 2 2 3 10 若 λ >1 , [f(x)]min = 2(1 - λ 2) - 1 - 2 λ 2 =- , λ = ,与 2 4 λ >1,矛盾.

1 ∴λ = . 2


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