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高三文科数学三角函数专题测试题(含答案)

高三文科数学三角函数专题测试题(含答案)
a sin A 1.在△ABC 中,已知b=cos B,则 B 的大小为(B)

c +a -b 4+1-3 1 解析:cos B= = = . 2ac 4 2 ∴B=60°. 8.边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是(B)

2

2

2

A.30° B.45° C.60° D .90°
解析:由正弦定理 b a sin A = 得 = , sin A sin B b sin B a

A.90° B.120°

C.135° D.150°

解析:设边长为 7 的边所对的角为 θ ,则由余弦定理得:

sin A sin A ∴ = ,即 sin B=cos B,∴B=45°. sin B cos B
2.在△ABC 中,已知 A=75°,B=45°,b=4,则 c=(B)

cos θ =

5 +8 -7 1 = ,∴θ =60°. 2×5×8 2

2

2

2

∴最大角与最小角的和为 180°-60°=120°. 9.在△ABC 中,b +c -a =-bc,则 A 等于(C)
2 2 2

A. 6 B.2 6 C.4 3
解析:由正弦定理得

D. 2

4 c = ,即 c=2 6. sin 45° sin 60°

A.60° B.135° C.120° D.90°
b +c -a 1 解析:cos A= =- ,∴A=120°. 2bc 2 10.在△ABC 中,∠B=60°,b =ac,则△ABC 一定是(D)
2 2 2 2

3.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B= 45°,BC=3 2,则 AC=(B)

A.4 3 B.2 3 C. 3 D.

3 2

解析:利用正弦定理解三角形. BC·sin B 在△ABC 中, = ,∴AC= = sin B sin A sin A AC BC 3 2× 3 2 4.在△ABC 中,若∠A=30°,∠B=60°,则 a∶b∶c=(A) 2 2

A.锐角三角形 B.钝角三角形
=2 3.
2 2 2 2

C.等腰三角形 D.等边三角形
2 2 2 2

解析:由 b =ac 及余弦定理 b =a +c -2accos B,得 b =a +c -ac,∴(a-c) =0.∴a=c.又 B=60°, ∴△ABC 为等边三角形. 11.三角形的两边分别为 5 和 3,它们夹角的余弦是方程 5x -7x-6=0 的根,则三角 形的另一边长为(B)
2

A.1∶ 3∶2 B.1∶2∶4

C.2∶3∶4 D.1∶ 2∶2

A.52 C.16

B.2 13 D.4

解析:由正弦定理得 a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C=1∶ 3∶2. 5.在△ABC 中,若 s in A>sin B,则 A 与 B 的大小关系为(A)

A.A>B B.A<B

C.A≥B D.A、B 的大小关系不能确定

3 2 解析:设夹角为 α ,所对的边长为 m,则由 5x -7x-6=0,得(5x+3)(x-2)=0,故得 x=- 或 x=2,因 5 3 ? 3? 2 2 2 此 cos α =- ,于是 m =5 +3 -2×5×3×?- ?=52,∴m=2 13. 5 ? 5? 12.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若(a +c -b )tan B= 3ac,则∠B=(B)
2 2 2

解析:sin A>sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B(大角对大边). π 6.在△ABC 中,∠ABC= ,AB= 2,BC=3,则 sin∠BAC=(C) 4 10 A. 10 10 B. 5
2 2 2

3 10 C. 10

5 D. 5

A.

π 6

B. 或
2

π 3

2π 3
2 2

C. 或

π 6

5π 6

D.
2

π 3
2 2

BC AC 解析:由余弦定理得 AC =BA +BC -2BA·BCcos∠ABC=5,∴AC= 5.再由正弦定理 = , sin∠BAC sin∠ABC 3 10 可得 sin∠BAC= . 10 7.在△ABC 中,a=1,b= 3,c=2,则 B 等于(C)

解析:由(a +c -b )tan B= 3ac 得 a +c -b =
2 2 2

3ac ,再由余弦定理得: tan B

cos B=

a +c -b 3 3 3 π 2π = ,即 tan Bcos B= ,即 sin B= ,∴B= 或 . 2ac 2tan B 2 2 3 3

b 2 13.在△ABC 中,asin Asin B+bcos A= 2a,则 =(D) a

A.30° B.45° C.60° D.120°

A.2 3 B.2 2

C. 3 D. 2
2

解析:∵asin Asin B+bcos A= 2a. 由正弦定理可得 sin Asin Asin B+sin Bcos A= 2sin A,
1
2

b sin B 即 sin B= 2sin A,∴ = = 2. a sin A 14.在△ABC 中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=(C)

19.(2013·上海卷)已知△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,若 3a +2ab+3b -3c =0,则 cos C=__________________. 2 a +b -c 1 2 2 2 2 2 2 解析:由 3a +2ab+3b -3c =0 得 a +b -c =- ab,从而 cos C= =- . 3 2ab 3 1 答案:- 3 9 20.在△ABC 中,若 AB= 5,AC=5,且 cos C= ,则 BC=________. 10 解析:由余弦定理得:AB =AC +BC -2AC·BC·cos C,即:5=25+BC -9BC,解得:BC=4 或 5. 答案:4 或 5
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

A.-

2 2 3

B.

2 2 3

C.

6 3

D.

6 6 或- 3 3

15 10 解析:由正弦定理得 = , sin 60° sin B 10·sin 60° 3 ∴sin B= = . 15 3 ∵a>b,∴A>B,即 B 为锐角. 6 ? 3?2 1-? ? = . 3 ?3?

∴cos B= 1-sin B= 二.填空题

2

21.在△ABC 中,化 简 b·cos C+c·cos B=________. 解析:由余弦定理得: a +b -c a +c -b 原式=b· +c· 2ab 2ac a +b -c a +c -b = + =a. 2a 2a 答案:a 22.在△ABC 中,a=1,b= 3,A+C=2B,则 sin C=________. 解析:在△ABC 中,A+B+C=π ,又 A+C=2B, π asin B 1 故 B= ,由正弦定理知 sin A= = , 3 b 2 π π 又 a<b,因此 A= ,从而 C= ,即 sin C=1. 6 2 答案:1 a +b -c 23.已知△ABC 的三边 a,b,c,且面积 S= ,则角 C =________. 4 1 a +b -c a +b -c 2 2 2 解析:由 absin C= 得 a +b -c =2a bsin C,再由余弦定理 cos C= 得 sin C=cos C, 2 4 2ab π ∴C= . 4 π 答 案: 4 三、解答题 24.在△ABC 中,a= 3,b= 2,B=45°,解这个三角形. 解析:由正弦定理得 3
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

15.已知△ABC 中,AB=6,A=30°,B=120°,则△ABC 的面积为________. 解析:由正弦定理得 BC = ,解得 BC=6, sin C sin A AB

1 1 3 ∴S△ABC= AB·BC·sin B= ×6×6× =9 3. 2 2 2 答案:9 3 16.在△ABC 中,A=45°,a=2,b= 2,则角 B 的大小为________. 2 2 1 解析:由 = 得 sin B= ,由 a>b 知 A>B,∴B=30°. sin 45° sin B 2 答案:30° 17.在△ABC 中,c+b=12,A=60°,B=30°,则 b=________,c=________. 解析:由正弦定理知 答案:4 8

sin B sin C
b = c

1 ,即 b= c,又 b+c=12,解得 b=4,c=8. 2

π 18.在△ABC 中,若 a=3,b= 3,∠A= ,则∠C 的大小为________. 3 解析:在△ABC 中,由正弦定理知 3× 3 2 1 = . 3 2 b = , sin A sin B a

bsin A 即 sin B= = a π 又∵a>b,∴∠B= . 6

π ∴∠C=π -∠A-∠B= . 2 π 答案: 2

sin A sin 45°



2

,得 sin A=

3 . 2

∵a>b,∴A>B=45°, ∴A=60°或 120°. 当 A=60°时,C=180°-45°-60°=75°,
2

bsin C 6+ 2 c= = . sin B 2 当 A=120°时,C=180°-45°-120°=15°, bsin C 6- 2 c= = . sin B 2 综上可得 A=60°,C=75°,c= 6+ 2 6- 2 或 A=120°,C=15°,c= . 2 2

? 1? 2 2 即 b =(a+c) -2ac-2ac·?- ?, ? 2?
∴ac=3. 1 1 3 3 3 故 S△ABC= acsin B= ×3× = . 2 2 2 4

1 25.设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,已知 a=1,b=2,cos C= . 4 (1)求△ABC 的周长; (2)求 cos(A-C)的值. 1 2 2 2 解析:(1)∵c =a +b -2abcos C=1+4-4× =4,∴c=2.∴△ABC 的周长 为 1+2+2=5. 4 1 15 2 (2)∵cos C= ,∴sin C= 1-cos C= , 4 4

cos A=

b +c -a 2 +2 -1 7 = = . 2bc 2×2×2 8 2 15 ?7? 1-? ? = . 8 ?8?

2

2

2

2

2

2

∴sin A=

7 1 15 15 11 ∴cos(A-C)=cos Acos C+sin Asin C= × + × = . 8 4 8 4 16 26.在△ABC 中,aco s?

?π -A?=bcos?π -B?,判断△ABC 的形状. ? ?2 ? ?2 ? ? ?

?π ? ?π ? 解析:∵acos? -A?=bcos? -B?, ?2 ? ?2 ?
∴asin A=bsin B. a b 由正弦定理可得:a· =b· , 2R 2R ∴a =b .∴a=b. ∴△ABC 为等腰三角形. 27.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 A+C=2B. (1)求 cos B 的值; (2)若 b =ac,求 sin Asin C 的值. 1 解析:(1)由 2B=A+C 和 A+B+C=180°,得 B=60°,∴cos B= . 2 3 2 2 2 (2)由已知 b =ac 及正弦定理得 sin Asin C=sin B=sin 60°= . 4 28.在△ABC 中,B=120°,若 b= 13,a+c=4,求△ABC 的面积. 解析:由余弦定理得:b =a +c -2ac·cos B,
3
2 2 2 2 2 2


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