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江西省南昌市十所省重点中学命制2016届高三第二次模拟突破冲刺数学(理)试题(三)

南昌市十所省重点中学 2016 年二模突破冲刺交流试 卷(03) 高三数学(理)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1. 设复数 z ? A . ?1,1?

2 ,则在复平面内 i ? z 对应的点坐标为 ?1? i B. ?? 1,1? C. ?? 1,?1?

D. ?1,?1?

2 2. 已知两个集合 A ? x y ? ln ? x ? x ? 2 , B ? ? x

?

?

??

? 2e ? 1 ? ? 2? 则 A ? B ? ? e?x ?
D. ?2, e ?

A. ??

3.随机变量 ? ~ N (0,1) ,则 P ?1 ? ? ? 2? = A.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718 ( 参 考 数 据 : P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,

? 1 ? ,2 ? ? 2 ?

B. ? ? 1,? ? 2

? ?

1? ?

C. ?? 1, e?

P(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974 ) 4. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数, 事件 A ? “第一次取到的是奇数” B ? “第 二次取到的是奇数”,则 P?B A? ? 1 3 2 1 A. B. C. D. 5 10 5 2
5.按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是( 开始 输入 x k=0 x=2x+1 k=k+1 否 x>115? 是 ) 结束 输出 k

.

O D A.(20,25] B.(30,57] C.(30,32] D.(28,57] A * p 6.已知数列 {an } 满足: 当 p ? q ? 11 p, q ? N , p ? q 时, a p ? aq ? 2 B ,则 {an } 的前 10

?

?

7. 已知函数 f ? x ? 的图像如图所示,则 f ? x ? 的解析式可能是

项和 S10 ? A. 31

输出 x,k B. 62 C. 170 D. 1023 ( )

1 ? x3 2x ?1 1 C. f ? x ? ? ? x3 2x ?1 A. f ? x ? ?

B. f ? x ? ?

1 ? x3 2x ?1 1 D. f ? x ? ? ? ? x3 2x ?1

y

O

x

8 . 如图 1 ,已知正方体 ABCD - A1B1ClD1 的棱长为 a ,动点 M 、 N 、 Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1上. 当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时, 三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于 A.
D1 Q C1

1 2 a 2

A1 M

B1

N C

D

正视方向
A B

图1

图2

1 2 a 4 2 2 C. a 4 3 2 D. a 4
B.

1 2 2 1 ? ?1 则 ? 的最小值为( ) a b a ?1 b ? 2 A.2 B. 2 C. 2 2 D. 1 10.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 B , C 在圆 O 上,点 B 的坐标为 (?1, 2) ,
9.若正数 a , b 满足: 点 C 位 于 第 一 象 限 , ?AOC ? ? . 若 BC ? 5 , 则

y
B C α

sin

5 x O B. ? 5 2 5 D. 5 2 2 x y 11. 已知 A, B, P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 上的不同三点,且 AB 连线经过坐标原点,若直线 a b 2 PA, PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ? ,则该双曲线的离心率 e ? 3 10 5 15 A. B. C. D. 2 2 2 3 1 2x 12.已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln x ? ,对 ?a ? R, ?b ? ?0,??? ,使得 f ?a ? ? g ?b? ,则 2 b ? a 的最小值为 ln 2 ln 2 A . 1? B. 1 ? C. 2 e ? 1 D. e ? 1 2 2
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。 13.设 1 ? x5 ? a0 ? a1 ( x ?1) ? a2 ( x ?1)2 ? ?? a5 ( x ?1)5 ,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ?
3 14.关于 x 的方程 x ? px ? 2 ? 0 有三个不同实数解,则实数 p 的取值范围为

cos ? 2 2 2 5 A. ? 5 5 C. 5

?

?

3 2 ? = 3 cos ? 2 2

A

. .

??? ? ??? ? ??? ? ? 15.已知△ABC 外接圆的圆心为 O,且 OA ? 3OB ? 2OC ? 0, 则∠AOC= . 16.函数 y ? f ? x? 图象上不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A,kB ,
规定 ? ? A, B ? ?

k A ? kB AB
2

( AB 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B

之间的“弯曲度”,给出以下命题:
3

①函数 y ? x ? x ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ? A, B ? ? 3 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
2 x

③设点 A,B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ; ④设曲线 y ? e (e 是自然对数的底数)上不同两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且x1 ? x2 ? 1, 若 t ?? ? A, B ? ? 1恒成立,则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? .

其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上) 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加某次招聘会,若甲应聘成功的概率为 均为 (0 ? t ? 3) ,且三人是否应聘成功是相互独立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4 ,乙、丙应聘成功的概率 9

t 3

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 ? 表示甲、乙两人中被聘用的人数,求 ? 的数学期望. 18. (本小题满分 12 分)

16 ,求 t 的值; 81

(sin x ? cos x)2 ? 1 ,方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 上的解按从小到大的 cos 2 x ? sin 2 x 顺序排成数列 ?an ? (n ? N *) .
已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的表达式. (4n ? 1)(3 n ? 2)
2

19. (本小题满分 12 分) 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 面 ACC1 A 1 与 侧 面 CBB 1C1 都 是 菱 形 ,

?ACC1 ? ?CC1B 1? 600 , AC ? 2 . (Ⅰ)求证: AB1 ? CC1 ;
(Ⅱ) 若 AB1 ? 6 , 求二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值.

20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆形: 2 + 上. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q.是 否存在点 P,使得

x2 a

y2 3 =1 (a>b>0) 的离心率为 , 其左顶点 A 在圆 O: x 2+y 2= 16 2 b 2

PQ =3? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. AP

21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ? a , g ( x) ? (a ? a ? 10)e ( a ? R 且 a 为常数) .
x 2 x

(Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,求实数 a 的值;

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 (Ⅱ)判断函数 ? ( x) ? 2 ? ? 1 ? lnx (b ? 1) 在 (0, ??) 上的零点个数, 2 (a ? a ? 10)e x x
并说明理由.

四、选考题(请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题 记分,答题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 ) 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, 直线 AB 经过圆 O 上的点 C, 并且 OA=OB, CA=CB, 圆 O 交直线 OB 于点 E、 D,其中 D 在线段 OB 上.连结 EC,CD. (Ⅰ)证明:直线 AB 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,圆 O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? ?1 ? 2t

( t 为参数) ,以原点为极

点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? (I)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程;

2 1 ? 3 sin 2 ?

(II)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值. 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a (I)若 f ?x ? ? m 的解集为 ?? 1,5? ,求实数 a, m 的值;

(II)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? t ? f ?x ? 2?

参考答案
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符 合题目要求的。 1.设复数 z ? A . ?1,1?

2 ,则在复平面内 i ? z 对应的点坐标为 ?1? i B. ?? 1,1? C. ?? 1,?1?

D D. ?1,?1? B

2 2.已知两个集合 A ? x y ? ln ? x ? x ? 2 , B ? ? x

?

?

??

? 2e ? 1 ? ? 2? 则 A ? B ? ? e?x ?

A. ??

? 3.随机变量 ? ~ N (0,1) ,则 P ?1 ? ? ? 2? =

? 1 ? ,2 ? ? 2 ?

B. ? ? 1,? ? 2

? ?

1?

C. ?? 1, e? B

D. ?2, e ?

A.0.0215 B. 0.1359 C. 0.1574 D. 0.2718 (参考数据: P(? ? ? ? ? ? ? ? ? ) ? 0.6826 , P(? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ) ? 0.9544 ,

P(? ? 3? ? ? ? ? ? 3? ) ? 0.9974 ) 4. 从 1,2,3,4,5,6,7,8,9 中不放回地依次取 2 个数, 事件 A ? “第一次取到的是奇数” B ? “第 二次取到的是奇数”,则 P?B A? ? D 1 3 2 1 A. B. C. D. 5 10 5 2
5.按下图所示的程序框图运算:若输出 k=2,则输入 x 的取值范围是( 开始 输入 x k=0 x=2x+1 k=k+1 否 C.(30,32] x>115? 是 D ) 结束 输出 k

.

A.(20,25]

B.(30,57]

* p 6.已知数列 {an } 满足: 当 p ? q ? 11 p, q ? N , p ? q 时, a p ? aq ? 2 A, B 则 {a } 的前 10 项和 S ? B

?

?

O D.(28,57] D

n

10

7. 已知函数 f ? x ? 的图像如图所示,则 f ? x ? 的解析式可能是 A

A.31

B.62

C.170

D.1023

y 输出 x,k

1 ? x3 2x ?1 1 C. f ? x ? ? ? x3 2x ?1 A. f ? x ? ?

B. f ? x ? ?

1 ? x3 2x ?1 1 D. f ? x ? ? ? ? x3 2x ?1

O

x

8. 如图 1,已知正方体 ABCD-A1B1ClD1 的棱长为 a, D Q 动点 M、N、Q 分别在线段 AD1 , B1C, C1D1 上.
1

C1

当三棱锥 Q-BMN 的俯视图如图 2 所示时, 三棱锥 Q-BMN 的正视图面积等于 B

A1 M

B1

1 2 a A. 2

1 2 a B. 4
D A B

N C

正视方向 图1 图2

C.

2 2 a 4

D.

3 2 a 4

9.若正数 a , b 满足:

1 2 2 1 ? ?1 则 ? 的最小值为( A ) a b a ?1 b ? 2 A、2 B、 2 C、 2 2 D、 1 10.如图,圆 O 与 x 轴的正半轴的交点为 A ,点 B , C 在圆 O 上,点 B 的坐标为 (?1, 2) ,

点 C 位 于 第 一 象 限 , ?A O C? ? . 若 BC ? 5 , 则

sin cos ? 2 2 2 5 A. ? 5 5 C. 5

?

?

2 3c o s? 2

3 = D 2 5 B. ? 5 2 5 D. 5

?

y
B C α O

A

x

x2 y2 ? ? 1 上的不同三点,且 AB 连线经过坐标原点,若直线 a2 b2 2 B PA, PB 的斜率乘积 k PA ? k PB ? ,则该双曲线的离心率 e ? 3 10 5 15 A. B. C. D. 2 2 2 3 1 2x 12.已知函数 f ? x ? ? e , g ? x ? ? ln x ? ,对 ?a ? R, ?b ? ?0,??? ,使得 f ?a ? ? g ?b? ,则 2 b ? a 的最小值为 A ln 2 ln 2 A . 1? B. 1 ? C. 2 e ? 1 D. e ? 1 2 2
11. 已知 A, B, P 是双曲线 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分。
2 13.设 1 ? x5 ? a 0? a 1 ( x?1 )? a 2 (x ?1 ) ?
3

? ? a (5x?1 )

5

,则 a1 ? a2 ? ? ? a5 ?

.31 .p ? 3 . ?

14. 关于 x 的方程 x ? px ? 2 ? 0 有三个不同实数解, 则实数 p 的取值范围为

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 15.已知△ ABC 外接圆的圆心为 O,且 O A? 3 O B ?2 O C ? 0, 则∠AOC=
k A ? kB AB
2

2 3 16.函数 y ? f ? x? 图象上不同两点 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 处的切线的斜率分别是 k A,kB ,
规定 ? ? A, B ? ? ( AB 为线段 AB 的长度)叫做曲线 y ? f ? x ? 在点 A 与点 B 之

间的“弯曲度”,给出以下命题:
3

①函数 y ? x ? x ? 1 图象上两点 A 与 B 的横坐标分别为 1 和 2,则 ? ? A, B ? ? 3 ; ②存在这样的函数,图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数;
2 x

③设点 A,B 是抛物线 y ? x ? 1 上不同的两点,则 ? ? A, B ? ? 2 ; ④设曲线 y ? e (e 是自然对数的底数)上不同两点 A? x1, y1 ? , B ? x2 , y2 ? , 且x1 ? x2 ? 1,若

t ?? ? A, B ? ? 1恒成立,则实数 t 的取值范围是 ? ??,1? .
其中真命题的序号为________.(将所有真命题的序号都填上)

16.答案②③.解:①错: A(1,1), B(2,5),| AB| ? 17,| kA ? kB | ?7,

?? ( A, B) ?

7 ②对:如 y ? 1 ; ? 3; 17 | 2 xA ? 2 xB | 2 ③对; ? ( A, B) ? ? ? 2 ;④错; 2 2 2 2 ( xA ? xB ) ? ( xA ? xB ) 1 ? ( xA ? xB )2
| e x1 ? e x2 | ( x1 ? x2 ) 2 ? (e x1 ? e x2 ) 2 ? | e x1 ? e x2 | 1 ? (e x1 ? e x2 ) 2


? ( A, B) ?

1 ? ( e x1 ? e x2 ) 2 1 1 1 ? ? ? 1 ? 1, 因为 t ? 恒成立,故 t ? 1 . x1 x2 x1 x2 2 ? ( A, B ) |e ?e | (e ? e ) ? ( A, B )
三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 17. (本小题满分 13 分) 甲、乙、丙三人参加某次招聘会,若甲应聘成功的概率为 均为 (0 ? t ? 3) ,且三人是否应聘成功是相互独立的. (Ⅰ)若甲、乙、丙都应聘成功的概率是

4 ,乙、丙应聘成功的概率 9

t 3

16 ,求 t 的值; 81
所以 t ? 2 .

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,设 ? 表示甲、乙两人中被聘用的人数,求 ? 的数学期望. 17 解: (Ⅰ)依题意

4 t t 16 ? ? ? , 9 3 3 81

(Ⅱ)由(Ⅰ)得乙应聘成功的概率均为

2 , ? 的可能取值为 0,1,2 3 4 2 8 4 1 5 2 14 P (? ? 2) ? ? ? , P(? ? 1) ? ? ? ? ? , 9 3 27 9 3 9 3 27 5 1 5 8 14 5 30 10 P (? ? 0) ? ? ? ? 1? ? 0 ? ? ? . ,所以 E? ? 2 ? 9 3 27 27 27 27 27 9

18. (本小题满分 13 分)

(sin x ? cos x)2 ? 1 ,方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 上的解按从小到大的 cos 2 x ? sin 2 x 顺序排成数列 ?an ? (n ? N *) .
已知函数 f ( x) ? (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设 bn ?

3an ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,求 Sn 的表达式. (4n ? 1)(3 n ? 2)
2

(sin x ? cos x)2 ? 1 2sin x cos x sin 2 x ? ? ? tan 2 x , 18. 解: (Ⅰ)f ( x) ? cos 2 x ? sin 2 x cos 2 x cos 2 x
分 由 f ( x) ? 3 及 x ? 0 得 2 x ? k ? ? 分

…………2

?
3

,∴x?

k? ? ? (k ? Z ) 2 6

………4

方程 f ( x) ? 3 在 (0, ??) 的解从小到大依次排列构成首项为 公差为 分

? ? ? (3n ? 2)? 的等差数列∴ an ? ? (n ? 1) ? . 6 2 6 2

? , 6
………………6

1 1 1 3 (3n ? 2)? ? ? ( ? )? , ? ? (4n ? 1)(3n ? 2) 6 2(2n ? 1)(2n ? 1) 4 2n ? 1 2n ? 1 ?? 1 1 1 1 1 ? ? 1 n? . Sn ? ?(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? (1 ? )? 4? 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 ? 4 2n ? 1 4 n ? 2 19 . 如 图 , 在 斜 三 棱 柱 ABC ? A1B1C1 中 , 侧 面 ACC1 A 1 与 侧 面 CBB 1C1 都 是 菱 形 ,
(Ⅱ) bn ?
2

?ACC1 ? ?CC1B1 ? 600 , AC ? 2 . (Ⅰ)求证: AB1 ? CC1 ;
(Ⅱ)若 AB1 ? 6 ,求二面角 C ? AB1 ? A1 的余弦值.

19【答案】 (1)证明详见解析; (2) ?

10 . 5

解析: (Ⅰ)证明:连 AC1,CB1,则△ ACC1 和△ B1CC1 皆为正三角形. 取 CC1 中点 O,连 OA,OB1,则 CC1⊥OA,CC1⊥OB1,则 CC1⊥平面 OAB1,则 CC1⊥AB1. 4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知,OA=OB1= 3 ,又 AB1= 6 , 所以 OA⊥OB1.如图所示,分别以 OB1,OC1,OA 为 正方向建立空间直角坐标系, 则 C(0, -1, 0), B1( 3 , 0,0),A(0,0, 3 ), 设平面 CAB1 的法向量为 m=(x1,y1,z1), 因为

???? ??? ? AB1 ? ( 3,0, ? 3) , AC ? (0, ?1, ? 3) ,
? ? 3 ? x1 ? 0 ? y1 ? 3 ? z1 ? 0 ? ? 0 ? x1 ? 1 ? y1 ? 3 ? z1 ? 0
8分

所以 ?

,取 m = (1 ,-

3 ,1).

设平面 A1AB1 的法向量为 n=(x2,y2,z2), 因为 AB1 ? ( 3,0, ? 3) , AA 1 ? (0, 2,0) ,

????

????

? ? 3 ? x2 ? 0 ? y2 ? 3 ? z2 ? 0 ,取 n=(1,0,1). 10 分 ? ? 0 ? x1 ? 2 ? y1 ? 0 ? z1 ? 0 ?? ? ?? ? m?n 2 10 则 cos ? m, n ?? ?? ? ? ,因为二面角 C-AB1-A1 为钝角, ? 5 | m || n | 5? 2
所以 ? 所以二面角 C-AB1-A1 的余弦值为 ? 20. (本小题满分 12 分)

10 . 5

12 分

已知椭圆形:

3 x2 y 2 (a>b>0) 的离心率为 , 其左顶点 A 在圆 O:x 2+y 2= + 2 =1 16 2 a b 2

上. (Ⅰ)求椭圆 W 的方程; (Ⅱ)若点 P 为椭圆 W 上不同于点 A 的点,直线 AP 与圆 O 的另一个交点为 Q.是否 存在点 P,使得

PQ =3? 若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由. AP

20 . 解: (1) 因为椭圆 W 的左顶点 A 在圆 O : x 2 ? y 2 ? 16上, 令 y ? 0, 得 x ? ?4 , 所以 a ? 4 .
又离心率为
2 2 2 3 c 3 ,所以 e ? ? ,所以 c ? 2 3 ,所以 b ? a ? c ? 4 , 2 a 2

x2 y2 ……………………………………4 分 ? ? 1. 16 4 (2)设点 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y 2 ) ,设直线 AP 的方程为 y ? k ( x ? 4) ,
所以 W 的方程为

? y ? k ( x ? 4) ? , 与椭圆方程联立得 ? x 2 y 2 ? 16 ? 4 ? 1 ? 2 2 2 2 化简得到 (1 ? 4k ) x ? 32k x ? 64k ? 16 ? 0 , 因为 ?4 为方程的一个根, ?32k 2 4 ? 16k 2 x ? 所以 x1 ? ( ?4) ? ,所以 1 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
所以 | AP |?

8 1? k2 . 1 ? 4k 2

………………………………6 分

因为圆心到直线 AP 的距离为 d ?
2 所以 | AQ |? 2 16 ? d ? 2

| 4k | k2 ?1



16 8 ? , …………………………8 分 1? k2 1? k2 | PQ | | AQ | ? | AP | | AQ | ? ? ?1, 因为 | AP | | AP | | AP | 8 2 | PQ | 1 ? 4k 2 3k 2 3 ? 1? k ?1 ? ? 1 ? ? 3? 代入得到 2 2 2 | AP | 8 1 ? k 1? k 1? k 1? k2

1 ? 4k 2
显然 3 ?

| PQ | 3 ? 3 . ……………………12 分 ? 3 ,所以不存在直线 AP ,使得 2 | AP | 1? k
x 2 x

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e (sin x ? cos x) ? a , g ( x) ? (a ? a ? 10)e ( a ? R 且 a 为常数) . (Ⅰ)若曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,求实数 a 的值; (Ⅱ)判断函数 ? ( x) ? 并说明理由.
x x x 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? e (sin x ? cos x) ? e (cos x ? sin x) = 2e cos x ,

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 ? ? 1 ? lnx (b ? 1) 在 (0, ??) 上的零点个数, 2 2 (a ? a ? 10)e x x

又曲线 y ? f ( x) 在 (0, f (0)) 处的切线过点 (1, 2) ,得 f ?(0) ?

f (0) ? 2 , 0 ?1

…3

分 即 2 ? 1 ? a ,解得 a ? ?1 分 (Ⅱ)由 ? ( x) ? …………………………………………5

b(1 ? e2 ) g ( x) 1 ? ? 1 ? ln x ? 0 ( x ? 0) 得 2 2 (a ? a ? 10) xe x 2 x b(1 ? e ) e 1 b(1 ? e2 ) e x ? ? 1 ? ln x ? 0 ? 1 ? x ? x ln x , ,化为 ……7 分 xe2 x e2 令 h( x) ? 1 ? x ? x ln x ,则 h?( x) ? ? 2 ? ln x ?2 由 h?( x) ? ? 2 ? ln x ? 0 ,得 x ? e , 1 1 故 h( x ) 在 (0, 2 ) 上递增,在 ( 2 , ?? ) 上递减, e e 1 1 h( x) max ? h( 2 ) ? 1 ? 2 . …………………………………………10 e e
b(1 ? e2 ) e x 1 ? b(1 ? 2 )e x , 2 e e 1 x 因为 b ? 1 ,所以函数 t ( x) ? b(1 ? 2 )e 在 (0, ??) 上递增, e 1 1 1 t ( x) ? t(0) ? b(1 ? 2 )e0 ? b(1 ? 2 ) ? 1 ? 2 . e e e 知 t ( x) ? h( x)max ,由此判断函数 ? ( x) 在 (0, ??) 上没有零点,
再令 t ( x) ? 故 ? ( x) 零点个数为 0. ………………12



分 【选考题】 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分,答 题时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,直线 AB 经过圆 O 上的点 C,并且 OA=OB,CA =CB,圆 O 交直线 OB 于点 E、D,其中 D 在线段 OB 上.连结 EC,CD. (Ⅰ)证明:直线 AB 是圆 O 的切线; (Ⅱ)若 tan∠CED=

1 ,圆 O 的半径为 3,求 OA 的长. 2

22.解析: (1)证明:连结 OC . 因为 OA ? OB ,CA ? CB ,所 以 OC ? AB. 又 OC 是 圆 O 的 半 径 , 所 以 AB 是 圆 O 的 切 线. ………………………5 分 (2)因为直线 AB 是圆 O 的切线,所以 ?BCD ? ?E. 又 ?CBD ? ?EBC , BC BD CD CD 1 所以 △ BCD ∽△BEC . 则有 ,又 tan ?CED ? ? ? ? , BE BC EC EC 2 BD CD 1 故 ? ? . BC EC 2 设 BD ? x ,则 BC ? 2 x ,又 BC 2 ? BD ? BE ,故 (2 x)2 ? x( x ? 6) ,即 3x 2 ? 6 x ? 0 . 解得 x ? 2 ,即 BD ? 2 . 所以 OA ? OB ? OD ? DB ? 3 ? 2 ? 5. ………………………10 分

23. (本题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程选讲 在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 2 ? 2t ? y ? ?1 ? 2t

( t 为参数) ,以原点为极点,

以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为 ? ? (1)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C 2 的直角坐标方程; (2)设点 M ?2,?1? ,曲线 C1 与曲线 C 2 交于 A, B ,求 MA ? MB 的值.

2 1 ? 3 sin 2 ?

x2 ? y 2 ? 1 -----------4 分 4 ? 2 t ?x ? 2 ? ? 2 ( 2 ) 将 ? ?t为参数? 代 人 C2 直 角 坐 标 方 程 ? y ? ?1 ? 2 t ? 2 ? 8 5t 2 ? 12 2t ? 8 ? 0 t1 ? t 2 ? 5
23. (1) y ? ? x ? 1, 24. (本题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ?x? ? x ? a (1)若 f ?x ? ? m 的解集为 ?? 1,5? ,求实数 a, m 的值;



(2)当 a ? 2 且 0 ? t ? 2 时,解关于 x 的不等式 f ?x ? ? t ? f ?x ? 2? 24.(1)因为 x ? a ? m 所以 a ? m ? x ? a ? m 得 ? (2) a ? 2 时等价于 x ? 2 ? t ? x 当 x ? 2, x ? 2 ? t ? x,? 0 ? t ? 2 所以舍去; 当 0 ? x ? 2,2 ? x ? t ? x,? 0 ? x ? 成立 当 x ? 0,2 ? x ? t ? ? x 成立; 所以,原不等式解集是 ? ? ?,

?a ? m ? ?1 ? a ? 2, m ? 3 -------5 分 ?a ? m ? 5
t?2 , 2

? ?

t ? 2? -----------10 分 2 ? ?

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