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第三章3.2第2课时含参数的一元二次不等式的解法


第三章

不等式

3.2

一元二次不等式及其解法

第 2 课时 含参数的一元二次不等式 的解法

[学习目标] 1.含参数的一元二次不等式的解法. 2. 了解分类讨论的原则和方法. 3.运用数形结合的方法, 将不等式的解化归为直观、形象的图形关系.

[知识提炼· 梳理] 1.两边同除或同乘含参的式子时,应讨论含参的式 子的符号.
{x|x>a} ; 当 a>0 时,关于 x 不等式 ax>a2 的解是_________ {x|x<a} . 当 a<0 时,关于 x 不等式 ax>a2 的解是_________

2.解含参数的一元二次不等式时,先求相应的二次 方程的根,比较根的大小后,再根据相应二次函数的图象 写出不等式的解集.
x<0 当 a>0 时,关于 x 不等式 x2-ax>0 的解是______ x>a ;当 a<0 时,关于 x 不等式 x2-ax>0 的解是 或______ x<a 或______. x>0 ______

[思考尝试· 夯基] 1.已知不等式 ax2+bx+c<0(a≠0)的解集为?,则 ( ) A.a<0,Δ >0 C.a>0,Δ ≤0 答案:C B.a<0,Δ ≤0 D.a>0,Δ >0

2.已知不等式 x2+px+q<0 的解集是{x|-3<x< 2},则( )

A.p=-1,q=6 B.p=1,q=6 C.p=1,q=-6 D.p=-1,q=-6 解析:由不等式 x2+px+q<0 的解集是{x|-3<x< 2},知-3,2 是方程 x2+px+q=0 的两根,由根与系数 的关系可求出 p=1,q=-6 的值.
答案:C

3.若 a<0,则关于 x 的不等式 x2-4ax-5a2>0 的 解是( ) B.x>-a 或 x<5a D.-a<x<5a

A.x>5a 或 x<-a C.5a<x<-a

解析:由题可得(x-5a)(x+a)>0, 因为 a<0,所以 5a<-a, 所以 x>-a 或 x<5a. 答案:B

4. 若集合 A={x|ax2-ax+1<0}=?, 则实数 a 的取 值范围是( )

A.{a|0<a<4} B.{a|0≤a<4} C.{a|0<a≤4} D.{a|0≤a≤4}

解析:当 a=0 时,满足条件. ? ?a>0, 当 a≠0 时,由题意得? 得 a∈(0,4] ? ?Δ≤0, 综上,a∈[0,4].

答案:D

5.若不等式 x2+mx+1≥0 的解集为 R,则实数 m 的取值范围是( A.m≥2 C.m≤-2 或 m≥2 答案:D ) B.m≤-2 D.-2≤m≤2

类型 1 含参数一元二次不等式的解法 [典例 1] 解关于 x 的不等式:x(x-a-1)≥-a. 解:原不等式化为(x-1)(x-a)≥0, 相应方程的两根为 1,a,故应比较 1 与 a 的大小. ①当 a>1 时,原不等式的解集为{x|x≤1 或 x≥a}.

②当 a=1 时,原不等式的解集为 R. ③当 a<1 时,原不等式的解集为{x|x≤a 或 x≥1}.

归纳升华 解含参数的一元二次不等式时要注意对参数分类讨 论.讨论一般分为三个层次:第一层次是二次项系数为零 和不为零;第二层次是有没有实数根的讨论,即判别式为 Δ>0,Δ=0,Δ<0;第三层次是根的大小的讨论.

[变式训练] 解关于 x 的不等式 x2-ax-2a2<0. 解:方程 x2-ax-2a2=0 的判别式 Δ=a2+8a2=9a2≥0, 得方程两根 x1=2a,x2=-a, (1)若 a>0,则-a<x<2a, 此时不等式的解集为{x|-a<x<2a};

(2)若 a<0,则 2a<x<-a, 此时不等式的解集为{x|2a<x<-a}; (3)若 a=0,则原不等式即为 x2<0, 此时解集为?. 综上所述,原不等式的解集为 当 a>0 时,{x|-a<x<2a};

当 a<0 时,{x|2a<x<-a}; 当 a=0 时,?.

类型 2 二次项含参数的一元二次不等式的 解法 [典例 2] 解关于 x 的不等式:ax2-2(a+1)x+4<0. 解:(1)当 a=0 时,原不等式的解集为:{x|x>2}.
? 2? (2)当 a≠0 时,原不等式化为:a?x-a?(x-2)<0, ? ?

? 2? ①当 a<0 时,原不等式等价于?x-a?(x-2)>0, ? ? ? ? ? 2 此时原不等式的解集为?x?x<a或x>2?; ? ? ?

2 ②当 0<a<1 时,2<a,
? ? 2? 此时原不等式的解集为?x?2<x<a?; ? ? ?

2 ③当 a>1 时,a>2,
? ?2 ? 此时原不等式的解集为?x?a<x<2?; ? ? ?

④当 a=1 时,原不等式的解集为?.

归纳升华 熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础, 对含有字母系数的不等式, 要注意按字母的取值情况进行 分类讨论,分类时要不重不漏.

一般地:(1)当二次项系数不确定时,要分二次项系 数等于零、大于零、小于零三种情况进行讨论. (2)判别 式大于零时,只需讨论两根大小.(3)判别式不确定时, 要分判别式大于零、等于零、小于零三种情况进行讨论.

[变式训练] 解关于 x 的不等式 ax2-(a+1)x+1>0. 解:当 a=0 时,原不等式可化为-x+1>0,即 x< 1, 当 a<0 时,原不等式可化为(ax-1)(x-1)>0,
? 1? 1 即?x-a?(x-1)<0.所以a<x<1. ? ?

? 1? 当 a>0 时,原不等式可化为?x-a?(x-1)>0, ? ?

1 其解的情况应由 与 1 的大小关系决定,故 a 1 1 ①当a>1,即 0<a<1 时,有 x>a或 x<1; 1 1 ②当a<1,即 a>1 时,有 x>1 或 x<a; 1 ③当a=1,即 a=1 时,有 x≠1.

? ?1 ? 综上所述: 当 a<0 时, 原不等式解集为?x?a<x<1?; ? ? ?

当 a=0 时,原不等式解集为{x|x<1};
? ? 1? 当 0<a<1 时,原不等式解集为?x?x<1或x>a?; ? ? ?

当 a=1 时,原不等式解集为{x|x∈R 且 x≠1};
? ? ? 1 当 a>1 时,原不等式解集为?x?x<a或x>1?. ? ? ?

类型 3 一元二次方程、二次函数、一元二次不 等式间的关系 [ 典 例 3] 若 不 等 式 ax2 + bx + c≥0 的 解 集 是

? ? 1 ? ?x?- ≤x≤2?,求不等式 cx2+bx+a<0 的解集. ? ? 3 ?

解:由 ax

2

? ? 1 ? +bx+c≥0 的解集为?x?-3≤x≤2?知 a< ? ? ?

? 1? c 0,又?-3?×2=a<0,则 c>0. ? ?

1 又- ,2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根, 3 b 5 b 5 所以-a= ,所以a=- . 3 3 c 2 5 2 又 =- ,所以 b=- a,c=- a.所以不等式变为 a 3 3 3
? 2 ? ? 5 ? 2 ?- a?x +?- a?x+a<0, ? 3 ? ? 3 ?

即 2ax2+5ax-3a>0,

又因为 a<0,所以 2x2+5x-3<0.
? ? 1? 所以所求不等式的解集为?x?-3<x<2?. ? ? ?

归纳升华 如果对一元二次不等式解的意义不理解,将不能由 y =ax2+bx+c(a≥0)的解集得出 ax2+bx+c=0 的两根为 1 - 和 2,即使知道,还有同学不能通过解集的形式得出 a 3
? 1? c ? ? <0,又不能通过 -3 ×2=-a得出 c>0,导致错解. ? ?

[变式训练] 已知不等式 x2-2x-3<0 的解集为 A, x2+x-6<0 的解集为 B,x2+ax+b<0 的解集为 C,若 C=A∩B,求 a,b 的值. 解:x2-2x-3<0 的解集 A 为{x|-1<x<3}, x2+x-6<0 的解集 B 为{x|-3<x<2}, 因为 C=A∩B?集合 C 为{x|-1<x<2},

所以-1,2 是方程 x2+ax+b=0 的两根. 所以 a=-1,b=-2.

1.解含参数的不等式是高中数学中的一类较为重要 的题型,解决这类问题的难点在于对参数进行恰当分 类.分类相当于增加了题设条件,便于将问题分而治 之.在解题过程中,经常会出现分类难以入手或者分类 不完备的现象.强化分类意识,选择恰当的解题切入点, 掌握一些基本的分类方法,善于借助直观图形找出分类 的界值,是解决此类问题的关键.

2.分类标准如何确定?看后面的结果不唯一的原因 是什么.一般来讲,先讨论二次项的系数,再对判别式 进行讨论,最后对根的大小进行讨论.


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