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高中数学直线与圆、圆与圆的位置关系

第4讲 一、选择题 直线与圆、圆与圆的位置关系 1.(2016· 全国Ⅱ卷)圆 x2+y2-2x-8y+13=0 的圆心到直线 ax+y-1=0 的距离 为 1,则 a=( 4 A.-3 解析 ) 3 B.-4 C. 3 D.2 由圆的方程 x2+y2-2x-8y+13=0 得圆心坐标为(1,4),由点到直线的 |1×a+4-1| 4 =1,解之得 a=-3. 1+a2 距离公式得 d= 答案 A 2.(2017· 长春模拟)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,则该切 线的方程为( A.2x+y-5=0 C.x-2y-5=0 解析 ) B.2x+y-7=0 D.x-2y-7=0 ∵过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=r2 的切线有且只有一条,∴点(3,1)在圆 1-0 3-1 1 =2, (x-1)2+y2=r2 上,∵圆心与切点连线的斜率 k= ∴切线的斜率为-2, 则圆的切线方程为 y-1=-2(x-3),即 2x+y-7=0.故选 B. 答案 B 3.已知圆 x2+y2+2x-2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是( A.-2 解析 ) B.-4 C.-6 D.-8 将圆的方程化为标准方程为(x+1)2+(y-1)2=2-a,所以圆心为(-1, 2-a,圆心到直线 x+y+2=0 的距离 d= |-1+1+2| 2 = 2,故 1),半径 r= r2-d2=4,即 2-a-2=4,所以 a=-4,故选 B. 答案 B ) 4.圆 x2+2x+y2+4y-3=0 上到直线 x+y+1=0 的距离为 2的点共有( A.1 个 解析 B.2 个 C.3 个 D.4 个 圆的方程化为 (x + 1)2 + (y + 2)2 = 8 ,圆心 ( - 1 ,- 2) 到直线距离 d = = 2,半径是 2 2,结合图形可知有 3 个符合条件的点. |-1-2+1| 2 答案 C 5.(2017· 福州模拟)过点 P(1,-2)作圆 C:(x-1)2+y2=1 的两条切线,切点分 别为 A,B,则 AB 所在直线的方程为( 3 A.y=- 4 解析 1 B.y=-2 ) 3 C.y=- 2 1 D.y=-4 圆 (x - 1)2 + y2 = 1 的 圆 心 为 (1 , 0) , 半 径 为 1 , 以 |PC| = (1-1)2+(-2-0)2=2 为直径的圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=1, 1 将两圆的方程相减得 AB 所在直线的方程为 2y+1=0,即 y=-2. 故选 B. 答案 B 二、填空题 6.(2016· 全国Ⅲ卷) 已知直线 l: x- 3y+6=0 与圆 x2+y2=12 交于 A, B 两点, 过 A,B 分别作 l 的垂线与 x 轴交于 C,D 两点,则|CD|=________. ? ?x- 3y+6=0, 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2),由? 2 2 ? ?x +y =12, 得 y2-3 3y+6=0,解得 y1= 3,y2=2 3, ∴A(-3, 3),B(0,2 3). 过 A,B 作 l 的垂线方程分别为 y- 3=- 3(x+3),y-2 3=- 3x,令 y=0, 得 xC=-2,xD=2,∴|CD|=2-(-2)=4. 答案 4 7.(2017· 兰州月考)点 P 在圆 C1:x2+y2-8x-4y+11=0 上,点 Q 在圆 C2:x2 +y2+4x+2y+1=0 上,则|PQ|的最小值是________. 解析 把圆 C1、圆 C2 的方程都化成标准形式,得 (x-4)2+(y-2)2=9,(x+2)2+(y+1)2=4. 圆 C1 的圆心坐标是(4,2),半径长是 3;圆 C2 的圆心坐标是(-2,-1),半径 是 2. 圆心距 d= (4+2)2+(2+1)2=3 5. 所以,|PQ|的最小值是 3 5-5. 答案 3 5-5 8.(2017· 贵阳一模)由直线 y=x+1 上的一点向圆(x-3)2+y2=1 引切线,则切线 长的最小值为________. 解析 设直线上一点为 P,切点为 Q,圆心为 M,则|PQ|即切线长,MQ 为圆 M 的半径,长度为 1,|PQ|= |PM|2-|MQ|2= |PM|2-1. 要使|PQ|最小,即求|PM|的最小值,此题转化为求直线 y=x+1 上的点到圆心 M 的最小距离. 设圆心到直线 y=x+1 的距离为 d,则 d= =2 2.所以|PM|的最 12+(-1)2 |3-0+1| 小值为 2 2.所以|PQ|= 答案 7 |PM|2-1≥ (2 2)2-1= 7. 三、解答题 9.(2015· 全国Ⅰ卷)已知过点 A(0,1)且斜率为 k 的直线 l 与圆 C:(x-2)2+(y- 3)2=1 交于 M,N 两点. (1)求 k 的取值范围; → → (2)若OM· ON=12,其中 O 为坐标原点,求|MN|. 解 (1)易知圆心坐标为(2,3),半径 r=1, 由题设,可知直线 l 的方程为 y=kx+1, 因为 l 与 C 交于两点,所以 4- 7 4+ 7 < k < 3 3 . |2k-3+1| <1. 1+k2 解得 ?4- 7 4+ 7? 所以 k 的取值范围为? , 3 ?. ? 3 ? (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2). 将 y=kx+1 代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得 (1+k2)x2-4(1+k)x+7=0. 4(1+k) 7 所以 x1+x2= ,x1x2= . 2 1+k 1+k2 → → OM· ON=x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1= 由题设可得 4k(1+k) +8. 1+k2 4k(1+k) +8=12, 1+k2 解得 k=1,所以 l 的方程为 y=x+1. 故圆心

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