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数学必修2 第二章 2.3 2.3.1 直线与平面垂直的判定及其性质


知识点一

理解教材新知
知识点二 题型一 题型二

第 1 部 分

第 二 章

2.3 2.3. 1

突破 常考 题型

题型三

跨越高分障碍
随堂即时演练

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2.3.1

直线与平面垂直的判定

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直线与平面的垂直 [提出问题] 鲁班是我国古代一位出色的发明家, 他在做木匠活时,常常遇到有关直角的问题.虽然他手头有 画直角的矩,但用起来很费事.于是,鲁班对矩进行改进,

做成一把叫做曲尺的“L”形木尺.现在木工要检查一根木棒
是否和板面垂直,只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方 向)检查两次,如右图.如果两次检查时,曲尺的两边都分别

与木棒和板面密合,便可以判定木棒与板面垂直.
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问题1:用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂

直吗?
提示:不能. 问题2:上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什 么? 提示:直线垂直于平面内的两条相交直线.

问题3:若直线垂直于平面内的无数条直线,直线与
平面垂直吗? 提示:不一定.
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[导入新知] 1.直线与平面垂直的定义

任意一条直线都 (1)自然语言:如果直线l与平面α内的________
l⊥α 直线l叫 垂直 ,就说直线l与平面α互相垂直,记作______. ______

垂线 ,平面α叫做直线l的_______ 垂面 .直线与平面 做平面α的______ 垂足 . 垂直时,它们唯一的公共点P叫做________

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(2)图形语言:如图. 画直线l与平面α垂直时,通常把直 线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
l⊥ α . (3)符号语言:任意a?α,都有l⊥a?________

2.直线与平面垂直的判定定理

两条相交直线 都 (1)自然语言:一条直线与一个平面内的_____________
垂直,则该直线与此平面垂直. (2)图形语言:如图所示.
a?α,b?α,a∩b=P,l⊥a,l⊥b ?l⊥α. (3)符号语言:______________________________
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[化解疑难] 1.关于直线与平面垂直的定义的理解: (1)定义中的“任何一条直线”这一词语,它与“所有直 线”是同义语,定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.

(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
(3)若直线与平面垂直,则直线和平面内的任何一条直线 都垂直,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条 直线垂直时经常使用的一种重要方法.

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(4)在画线面垂直时,要把直线画成和表示平面的平行四 边形的横边垂直,符号语言表述为l⊥α. 2.判定定理的条件中,“平面内两条相交直线”是关键 性词语,此处强调相交,若两条直线不相交(即平行),即使直 线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直. 3.要判断一条已知直线和一个平面是否垂直,只需要在 该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两 条直线是否与已知直线有交点,这是无关紧要的.
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直线与平面所成的角 [提出问题]

斜拉桥又称斜张桥,是将主梁用许多拉索直接拉在桥塔
上的一种桥梁,是由承压的塔、受拉的索和承弯的梁体组合 起来的一种结构体系.其可看作是拉索代替支墩的多跨弹性 支承连续梁.其可使梁体内弯矩减小,降低建筑高度,减轻 了结构重量,节省了材料。斜拉桥由索塔、主梁、斜拉索组

成.

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问题1:上图中拉索所在直线与桥面都是相交的关系, 其倾斜程度相同吗? 提示:不同.

问题2:能用角来表示直线与平面相交时不同的倾斜程
度吗? 提示:能. 问题3:直线与平面所成的角是空间角,能和异面直线 所成角一样把空间角转化为平面角吗?

提示:能.
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[导入新知]

射影 所成的 (1)定义:平面的一条斜线和它在平面上的______
锐角 ,叫做这条直线和这个平面所成的角. _______ 如图,__________ ∠PAO 就是斜线AP与平面α所成的角.

(2)当直线AP与平面垂直时,它们所成的角是______. 90°
(3)当直线与平面平行或在平面内时,它们所成的角是 0° _____. 0°≤θ≤90° (4)线面角θ的范围:_________________.

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[化解疑难]
关于直线与平面所成的角的认识 (1)把握定义应注意两点:①斜线上不同于斜足的点P 的选取是任意的;②斜线在平面上的射影是过斜足和垂足 的一条直线而不是线段.

(2)其定义反映了求线面角的基本思想——平面化思想,
即把空间角等价转化为平面角,并放在三角形内求解.

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线面垂直的定义及判定定理的理解
[例1] 下列说法中正确的个数是( )

①如果直线l与平面α内的两条相交直线都垂直,则l⊥α; ②如果直线l与平面α内的任意一条直线垂直,则l⊥α; ③如果直线l不垂直于α,则α内没有与l垂直的直线; ④如果直线l不垂直于α,则α内也可以有无数条直线与l垂 直. A.0 C.2 B.1 D.3
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[解析] 由直线和平面垂直的定理知①对;由直线与 平面垂直的定义知,②正确;当l与α不垂直时,l可能与α 内的无数条直线垂直,故③不对;④正确. [答案] D

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[类题通法] 1.对于线面垂直的定义要注意“直线垂直于平面内

的所有直线”说法与“直线垂直于平面内无数条直线”不
是一回事,后者说法是不正确的,它可以使直线与平面斜 交. 2.判定定理中要注意必须是平面内两相交直线.

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[活学活用] 1.下列说法中,正确的是( )

A.若直线l与平面α内无数条直线垂直,则l⊥α B.若直线l垂直于平面α,则l与平面α内的直线可能相交, 可能异面,也可能平行 C.若a∥b,a?α,l⊥α,则l⊥b D.若a⊥b,b⊥α,则a∥α
解析:当l与α内的任何一条直线都垂直时,l⊥α,故A错; 当l⊥α时,l与α内的直线相交或异面,但不会平行,故B 错;C显然是正确的;而D中,a可能在α内,所以D错误.

答案:C

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线面垂直的判定
[例2] 如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱AA1

⊥底面ABC,AB=AC=1,AA1=2,∠B1A1C1=90° ,D为 BB1的中点. 求证:AD⊥平面A1DC1.
[证明] ∵AA1⊥底面ABC,

平面A1B1C1∥平面ABC, ∴AA1⊥平面A1B1C1, ∴A1C1⊥AA1.又∠B1A1C1=90° ,
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∴A1C1⊥A1B1.而A1B1∩AA1=A1, ∴A1C1⊥平面AA1B1B.又AD?平面AA1B1B, ∴A1C1⊥AD. 由已知计算得AD= 2,A1D= 2,AA1=2. ∴AD2+A1D2=AA2 1, ∴A1D⊥AD.∵A1C1∩A1D=A1, ∴AD⊥平面A1DC1.

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[类题通法] 1.用线面垂直的判定定理判断一条直线与此平面垂直 时,需在平面内找两条相交直线,证明一条直线同时垂直 于这两条相交直线,这是证明线面垂直的一个常用方法. 2.线线垂直与线面垂直的转化关系. 线面垂直的判定定理 线线垂直 线面垂直. 线面垂直的定义

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3.解决线面垂直的常用方法: (1)利用勾股定理的逆定理. (2)利用等腰三角形底边的中线就是底边的高线. (3)利用线面垂直的定义. (4)利用平行转化,即a∥b,b⊥c,则a⊥c.

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[活学活用] 2. 如图,直角三角形ABC所在平面外有一点S,且SA=SB= SC,点D为斜边AC的中点. (1)求证:SD⊥平面ABC; (2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.

证明:(1)因为SA=SC,D为AC的中点,所以SD⊥AC. 则在Rt△ABC中, 有AD=DC=BD,所以△ADS≌△BDS.

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所以∠BDS=∠ADS=90° ,即SD⊥BD. 又AC∩BD=D,AC,BD?平面ABC,所以SD⊥平面ABC. (2)因为AB=BC,D为AC的中点,所以BD⊥AC. 又由(1)知SD⊥BD,于是BD垂直于平面SAC内的两条相交直 线,所以BD⊥平面SAC.

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直线与平面所成角
[例3] 如图所示,在正方体ABCD-

A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点.求直线 BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值.

[解]

取AA1的中点M,连接EM,BM,

因为E是DD1的中点,四边形ADD1A1为正方形, 所以EM∥AD. 又在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AD⊥平面ABB1A1, 所以EM⊥平面ABB1A1,
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从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影,∠EBM即为 直线BE与平面ABB1A1所成的角. 设正方体的棱长为2,则EM=AD=2,BE= 22+22+12 =3, EM 2 于是在Rt△BEM中,sin∠EBM= BE = , 3 2 即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为 . 3

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[类题通法]
求斜线与平面所成角的步骤 (1)作图:作(或找)出斜线在平面内的射影,作射影要过 斜线上一点作平面的垂线,再过垂足和斜足作直线,注意 斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关, 才能便于计算. (2)证明:证明某平面角就是斜线与平面所成的角.

(3)计算:通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三
角形中计算.
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[活学活用] 3.已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的2倍,求侧棱与底面 所成角的余弦值.
解:如图,设正三棱锥的底面边长为a,则侧棱长为2a.

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设O为底面中心, 则∠SAO为SA与平面ABC所成的角. 2 3 3 在Rt△SOA中,∵AO= × a= a, 3 2 3 3 a AO 3 3 ∴cos∠SAO= SA = = , 2a 6 3 即侧棱与底面所成角的余弦值为 . 6

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6.证明线面垂直
[典例] 如图,已知P是△ABC所在平面外一点,PA,

PB,PC两两互相垂直,H是△ABC的垂心. 求证:PH⊥平面ABC.

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[解题流程] 要证PH⊥平面ABC,需证PH垂直于平面

ABC内两条相交直线.
PA,PB,PC两两垂直且H是△ABC的垂心,

则△ABC的一个顶点与H连线与对边垂直.
由PC⊥PA且PC⊥PB―→PC⊥平面PAB ―→PC⊥AB―→由H为△ABC垂心,接连 CH,CH⊥AB―→AB⊥平面PHC―→

AB⊥PH―→同理BC⊥PH―→得出结论.
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[名师批注] [规范解答] 如图所示,

①处易漏掉AP∩BP=P,PC∩CH=
C和AB∩BC=B的条件,而直接证 明出线面垂直,虽然结果正确,但 不严密.虽然写清了①的条件,若没 有写清楚②处的条件或漏掉,都是 不全面的,都容易失分. 若漏掉③处而直接由线面垂直得出

线线垂直也是不严谨的.
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∵PC⊥AP,PC⊥BP, AP∩BP=P ,AP?平面 APB,BP?平面 APB , ∴PC⊥平面 APB.?3 分?? ∵AB?平面 APB ,∴PC⊥AB.?5 分??
③ ① ②

连接 CH,∵H 为△ABC 的垂心,∴CH⊥AB.?7 分?? ∵PC∩CH=C ,PC?平面 PHC,CH?平面 PHC ,
① ②

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∴AB⊥平面 PHC.∵PH?平面 PHC , ∴AB⊥PH.(9 分) 同理可证 PH⊥BC.(10 分) ∵AB?平面 ABC,BC? 平面 ABC②且 AB∩BC=B①, ∴PH⊥平面 ABC.(12 分)



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[活学活用] 如图,已知 PA⊥圆 O 所在平面,AB 为圆 O 的直径,C 是圆周上的任意一点,过 A 作 AE⊥PC 于 E. 求证:AE⊥平面 PBC.
证明:∵PA⊥平面 ABC,BC?平面 ABC,∴PA⊥BC. ∵AC⊥BC,AC∩PA=A, ∴BC⊥平面 PAC.∵AE?平面 PAC, ∴BC⊥AE. 又∵PC⊥AE,BC∩PC=C,

PC?平面 PBC,BC?平面 PBC, ∴AE⊥平面 PBC.
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[随堂即时演练] 1.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角 形的第三边的位置关系是( A.平行 C.相交不垂直 ) B.垂直 D.不确定

答案:B

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2.

如图所示,若斜线段 AB 是它在平面 α 上的射影 BO 的 2 倍,则 AB 与平面 α 所成的角是( A.60° C.30° B.45° D.120° )

解析:∠ABO 即是斜线 AB 与平面 α 所成的角, 1 在 Rt△AOB 中,AB=2BO,所以 cos∠ABO= , 2 即∠ABO=60° .

答案:A
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3.

如图所示,三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平 面 ABC,PA=AB,则直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于________.
解析:因为 PA⊥平面 ABC,所以斜线 PB 在平面 ABC 上 的射影为 AB, 所以∠PBA 即为直线 PB 与平面 ABC 所成 的角.在△PAB 中,∠BAP=90° ,PA=AB,所以∠PBA =45° ,即直线 PB 与平面 ABC 所成的角等于 45° .

答案:45°

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4.

已知 PA 垂直于平行四边形 ABCD 所 在的平面,若 PC⊥BD,则平行四边 形一定是________.

解析:连接 AC、BD,则 AC 与 BD 交于点 O. ∵PA⊥平面 ABCD, ∴PA⊥BD,又∵PC⊥BD, PA∩PC=P,PA?平面 PAC,PC?平面 PAC ∴BD⊥平面 PAC,又 AC?平面 PAC, ∴BD⊥AC,又 ABCD 为平行四边形, ∴ABCD 为菱形.

答案:菱形
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5. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形,PA⊥平面 ABCD,AP =AB=2, BC=2 2, E, F 分别是 AD, PC 的中点.证明:PC⊥平面 BEF.
证明:如图,连接 PE,EC,在 Rt△PAE 和 Rt△CDE 中,PA=AB=CD, AE=DE, ∴PE=CE, 即△PEC 是等腰三角形. 又 F 是 PC 的中点,
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∴EF⊥PC. 又 BP= AP2+AB2=2 2=BC, F 是 PC 的中点, ∴BF⊥PC. 又 BF∩EF=F, ∴PC⊥平面 BEF.

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