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【优化方案】高中数学 第3章3.3.3函数的最大(小)值与导数课件 新人教A版选修1-1_图文

3.3.3 函数的最大(小)值与导数 学习目标 1.能够区分极值与最值两个不同的概念. 2.会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多 项式函数一般不超过三次). 课前自主学案 3.3.3 课堂互动讲练 知能优化训练 课前自主学案 温故夯基 求函数f(x)的极值 首先解方程f′(x)=0.当f′(x0)=0时, f′(x0)<0 f′(x0)>0,右侧__________, (1)如果在x0附近的左侧_________ 极大值 ; 那么f(x0)是函数的_______ f′(x0)<0,右侧__________, f′(x0)>0 (2)如果在x0附近的左侧_________ 极小值 . 那么f(x0)是函数的_______ 知新益能 函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连 续不断的曲线,则该函数在[a,b]上一定能够取 最大值 和_________ 最小值 ,并且函数的最值必在 得_________ 极值点 或______ 端点 处取得. ________ 问题探究 在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不 断的曲线,想一想,在[a,b]上一定存在最值和 极值吗? 提示:一定有最值,但不一定有极值.如果函数 f(x)在[a,b]上是单调的,此时f(x)在[a,b]上无 极值;如果f(x)在[a,b]上不是单调函数,则f(x) 在[a,b]上有极值. 课堂互动讲练 考点突破 求已知函数的最值 求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步 骤如下:(1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一 个是最小值. 例1 求下列各函数的最值. (1)f(x)=4x3+3x2-36x+5,x∈[-2,2]; (2)f(x)=x3-3x2+6x-2,x∈[-1,1]. 【思路点拨】 利用导数确定极值点,比较极值 与端点值,确定最值. 【解】 (1)f′(x)=12x2+6x-36=6(2x2+x-6), 3 令 f′(x)=0,解得 x1=-2,x2= . 2 又 ?3? 115 ? ? f(-2)=57,f?2?=- ,f(2)=-23, 4 ? ? 115 所以函数 f(x)的最大值为 57,最小值为- . 4 (2)f′(x) = 3x2 - 6x + 6 = 3(x2 - 2x + 2) = 3(x - 1)2 +3, ∵f′(x)在[-1,1]内恒大于 0, ∴f(x)在[-1,1]上为增函数. 故 x=-1 时,f(x)最小值=-12; x=1 时,f(x)最大值=2. 即 f(x)的最小值为-12,最大值为 2. 互动探究1 若把本例(1)中条件改为[-2,+∞), 求函数的最值. 解:f′(x)=12x +6x-36, 3 令 f′(x)=0,得 x1=-2,x2= .列表 2 2 x f′(x) f(x) -2 0 57 3 (-2, ) 2 - 3 3 ( ,+∞) 2 2 + 0 115 - 4 3 由于当 x> 时,f′(x)>0, 2 3 所以 f(x)在( ,+∞)上为增函数. 2 115 因此, 函数 f(x)在[-2, +∞)上只有最小值- , 4 无最大值. 已知函数的最值求参数 已知函数的最大值或最小值,也可利用导数,采 用待定系数法,列出字母系数的方程或方程组, 解出字母系数,从而求出函数的解析式,进而可 以研究函数的其他性质. 例2 若f(x)=ax3-6ax2+b(a>0),x∈[-1,2]的 最大值为3,最小值是-29,求a、b的值. 【思路点拨】 b的值. 可先对f(x)求导,确定f(x)在[- 1,2]上的单调性及最值,再建立方程从而求得a, 【解】 ∴x=0. ∵a>0,∴f(x),f′(x)随x变化情况如下表: f′(x)=3ax2-12ax=3a(x2-4x). 令 f′(x) = 0 ,得 x = 0 , x = 4 ,∵ x ∈ [ - 1,2] , x f′(x) f(x) (-1,0) + 0 0 最大值3 (0,2) - ∴当x=0时,f(x)取最大值,∴b=3. 又f(2)=8a-24a+3=-16a+3, f(-1)=-7a+3>f(2), ∴当x=2时,f(x)取最小值,-16a+3=-29, ∴ a= 2, ∴a=2,b=3. 与最值有关的恒成立问题 不等式恒成立时求参数的取值范围问题是一种常 见的题型,这种题型的解法有多种,其中最常用 的方法就是分离参数,然后转化为求函数的最值 问题,在求函数最值时,可以借助导数求解. 例3 1 2 已知 f(x)=x - x -2x+5,当 x∈[-1,2] 2 3 时,f(x)<m 恒成立,求实数 m 的取值范围. 【思路点拨】 把m>f(x)恒成立,转化为求f(x)在 [-1,2]上的最大值,只要m大于此最大值即可. 【解】 1 2 ∵f(x)=x - x -2x+5, 2 3 ∴f′(x)=3x2-x-2. 令 f′(x)=0,即 3x2-x-2=0,∴x=1,或 x 2 =- . 3 列表: x -1 2 (-1,- ) 3 2 - 3 2 (- ,1) 3 + 0 - 157 27 f′(x) f(x) 11 2 x 1 (1,2) 2 f′(x) 0 + f(x) 7 2 7 ? 2? 2 22 ? ? ∴当 x=- 时,f(x)取得极大值 f?- ?=5+ ; 3? 3 27 ? 7 当 x=1 时,f(x)取得极小值 f(1)= . 2 11 又 f(-1)= ,f(2)=7. 2 ∴f(x)在 x∈[-1,2]上的最大值为 f(2)=7, ∴要使 f(x)<m

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