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2016


2.5 等比数列的前n项和 自主学习 新知突破 1.理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程. 2.掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用. 3.能够运用错位相减法对数列求和. 等比数列的前n项和公式 1.等比数列前n项和公式推导的方法是什么? 教材中用错位相减法推导出等比数列的前 n项和公式.错 位相减法是数列求和的一种基本方法.它适用于一个等差数列 {an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和. 2.公式的使用情形 (1)当q=1时,等比数列的前n项和不能用以上几种方法推 导,因为此时等比数列是常数列,所以Sn=na1. (2)当q≠1时,等比数列前n项和Sn有两个公式.当已知 a1?1-qn? a1-anq a1,q与n时用 较方便;当已知a1,an与q时用 较 1-q 1-q 好. a1?1-qn? a1?qn-1? (3)公式Sn= 还可写成Sn= .前者更适用于 1-q q-1 当q<1时,而当q>1时用后者更简便. 1 .设 {an}是公比为正数的等比数列,若 a1 =1 , a5 = 16 , 则数列{an}的前6项的和为( A.63 C.127 解析: a1=1,a5=16, a1?1-q6? 1-26 则q=2,S6= = =63. 1-q 1-2 ) B.64 D.128 答案: A 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2= a3-2,则公比q=( ) A.3 C.5 B.4 D.6 解析: 3S3-3S2=3a3=a4-a3?a4=4a3?q=4. 答案: B 1 3.在等比数列{an}中,若a1= 2 ,a4=-4,则公比q= ________;|a1|+|a2|+?+|an|=________. 1 3 解析: ∵a4=2q =-4,∴q=-2, 1 - - ∴an=2×(-2)n 1,∴|an|=2n 2, 1 n ? 1 - 2 ? 2 1 n-1 ∴|a1|+|a2|+?+|an|= =2 -2. 1-2 答案: -2 2 n-1 1 -2 4.在等比数列{an}中,a3-a1=8,a6-a4=216,Sn=40. 求公比q,a1及n. 解析: 显然公比q≠1,由已知可得: ?a1=1, ? 解得?q=3, ?n=4. ? 2 a q ? ? 1 -a1=8, ?a1q5-a1q3=216, ? n ?a1?1-q ? =40, ? 1 - q ? 合作探究 课堂互动 等比数列前n项和的基本运算 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; 7 63 (2)S3=2,S6= 2 ,求an; (3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. [思路点拨] 求解. (1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程组 a1? 1-qn? 列方 n-1 代入已 (3) Sn= ,an=a1q ――→ ―→ 求解 1-q 知量 程组 [边听边记] ? ?a1?1+q?=30, (1)由题意知? 2 ? ?a1?1+q+q ?=155, ? ?a1=5, 解得? ? ?q=5 ? ?a1=180, 或? 5 q=-6, ? ? 1 ? ? 5? ? 080×?1-?-6?n? ? ? ? ? 1 5 n+1 从而Sn=4×5 -4或Sn= 11 . (2)∵S6≠2S3, 7 63 ∴q≠1,又S3=2,S6= 2 , 3 a ? 1 - q ? 7 ? ?

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