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2016_2017学年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和课件新人教A版必修5_图文

2.5 等比数列的前n项和 自主学习 新知突破 1.理解等比数列前n项和公式的推导方法和过程. 2.掌握等比数列前n项和公式及其性质的运用. 3.能够运用错位相减法对数列求和. 等比数列的前n项和公式 1.等比数列前n项和公式推导的方法是什么? 教材中用错位相减法推导出等比数列的前 n项和公式.错 位相减法是数列求和的一种基本方法.它适用于一个等差数列 {an}和一个等比数列{bn}的对应项的积构成的数列{anbn}求和. 2.公式的使用情形 (1)当q=1时,等比数列的前n项和不能用以上几种方法推 导,因为此时等比数列是常数列,所以Sn=na1. (2)当q≠1时,等比数列前n项和Sn有两个公式.当已知 a1?1-qn? a1-anq a1,q与n时用 较方便;当已知a1,an与q时用 较 1-q 1-q 好. a1?1-qn? a1?qn-1? (3)公式Sn= 还可写成Sn= .前者更适用于 1-q q-1 当q<1时,而当q>1时用后者更简便. 1 .设 {an}是公比为正数的等比数列,若 a1 =1 , a5 = 16 , 则数列{an}的前6项的和为( A.63 C.127 解析: a1=1,a5=16, a1?1-q6? 1-26 则q=2,S6= = =63. 1-q 1-2 ) B.64 D.128 答案: A 2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,已知3S3=a4-2,3S2= a3-2,则公比q=( ) A.3 C.5 B.4 D.6 解析: 3S3-3S2=3a3=a4-a3?a4=4a3?q=4. 答案: B 1 3.在等比数列{an}中,若a1= 2 ,a4=-4,则公比q= ________;|a1|+|a2|+?+|an|=________. 1 3 解析: ∵a4=2q =-4,∴q=-2, 1 - - ∴an=2×(-2)n 1,∴|an|=2n 2, 1 n ? 1 - 2 ? 2 1 n-1 ∴|a1|+|a2|+?+|an|= =2 -2. 1-2 答案: -2 2 n-1 1 -2 4.在等比数列{an}中,a3-a1=8,a6-a4=216,Sn=40. 求公比q,a1及n. 解析: 显然公比q≠1,由已知可得: ?a1=1, ? 解得?q=3, ?n=4. ? 2 a q ? ? 1 -a1=8, ?a1q5-a1q3=216, ? n ?a1?1-q ? =40, ? 1 - q ? 合作探究 课堂互动 等比数列前n项和的基本运算 在等比数列{an}中, (1)S2=30,S3=155,求Sn; 7 63 (2)S3=2,S6= 2 ,求an; (3)若Sn=189,q=2,an=96,求a1和n. [思路点拨] 求解. (1)和(2)可利用等比数列的求和公式列方程组 a1? 1-qn? 列方 n-1 代入已 (3) Sn= ,an=a1q ――→ ―→ 求解 1-q 知量 程组 [边听边记] ? ?a1?1+q?=30, (1)由题意知? 2 ? ?a1?1+q+q ?=155, ? ?a1=5, 解得? ? ?q=5 ? ?a1=180, 或? 5 q=-6, ? ? 1 ? ? 5? ? 080×?1-?-6?n? ? ? ? ? 1 5 n+1 从而Sn=4×5 -4或Sn= 11 . (2)∵S6≠2S3, 7 63 ∴q≠1,又S3=2,S6= 2 , 3 a ? 1 - q ? 7 ? ? 1 =2, ? 1-q ∴? 6 a ? 1 - q ? 63 1 ? =2. ? 1 - q ? ① ② ②÷ ①得1+q3=9,∴q=2. 1 将q=2代入①中得a1=2, ∴an=a1q n-1 1 n-1 n-2 =2· 2 =2 ,即an=2n-2. (3)由Sn= a1?1-2n? ? ?189= , 1-2 ? ? 2n -1, ?96=a1· a1?1-qn? 1-q ,an=a1· qn-1以及已知条件得 192 ∴a1· 2 =192,即2 = a , 1 n n ∴189=a1(2 ∴a1=3,2 n ?192 ? -1)=a1? a -1?, ? 1 ? n-1 96 = 3 =32,∴n=6. 在等比数列 {an} 的五个量 a1 , q , an , n , Sn 中, a1 与 q 是最基本的元素,当条件与结论间的联系不明显 时,均可以用a1与q表示an与Sn,从而列方程组求解,在解方程 组时经常用到两式相除达到整体消元的目的.这是方程思想与 整体思想在数列中的具体应用. 1.在等比数列{an}中, 5 (1)若a1+a3=10,a4+a6=4,求a4和S5; (2)若q=2,S4=1,求S8. 解析: (1)设公比为 q,由通项公式及已知条件得 2 2 a a ① ? ? 1+a1q =10, 1?1+q ?=10, ? ? ? 3 即? 3 5 5 5 2 a q +a1q =4, a q ?1+q ?=4. ② ? ? ? 1 ? 1 1 1 ∵a1≠0,1+q ≠0,∴②÷ ①得,q =8,即 q=2,∴a1=8. 2 3 ∴a4=a1q 3 ?1?3 =8×?2? =1, ? ? ? ?1?5? 8×?1-?2? ? ? ? ? ? a1?1-q5? S5= = 1-q 1 1-2 31 =2. (2)方法一:设首项为a1.∵q=2,S4=1, a1?1-24? 1 ∴ =1,即a1=15, 1-2 1 8 ? 1 - 2 ? 8 a1?1-q ? 15 ∴S8= = =17. 1-q 1-2 a1?1-q4? 方法二:∵S4= =1,且q=2, 1-q a1?1-q8? a1?1-q4? ∴S8= = (1+q4) 1-q 1-q =1×(1+24)=17. 等比

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