当前位置:首页 >> 数学 >> 北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案

北京市部分区2017届高三上学期考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案


北京市部分区 2017 届高三上学期考试数学理试题分类汇编 数列
一、选择、填空题 1、 (昌平区 2017 届高三上学期期末)已知正项等比数列 {an } 中, Sn 为其前 n 项和,

a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 12 ,则 S5 ? ________ .
2、 (朝阳区 2017 届高三上学期期末) 已知等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn . 若 a1 ? 2 , S2 ? a3 , 则 a2 = , S10 ?

3、 (朝阳区 2017 届高三上学期期中)各项均为正数的等比数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n .若

a3 ? 2 , S 4 ? 5S 2 ,则 a1 ?

, S4 ?

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)数列 {an } 表示第 n 天午时某种细菌的数量.细菌在理 想条件下第 n 天的日增长率 rn ? 0.6 ( rn ?

an?1 ? an ,n ? N* ).当这种细菌在实际条件 an

下生长时,其日增长率 rn 会发生变化.下图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌 数量 Q 随时间的变化规律.那么,对这种细菌在实际条件下日增长率 rn 的规律描述正 确的是

1

5、 (丰台区 2017 届高三上学期期末)在等比数列 {an } 中, a1 ? 3 , a1 + a2 ? a3 = 9,则

a4 + a5 ? a6 等于
(A)9 (B)72 (C)9 或 72 (D)9 或 ? 72

6、 (海淀区 2017 届高三上学期期中) 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? 3n ? 1 , 则 a2 ? a3 ? _____. 7、 (石景山区 2017 届高三上学期期末)等差数列 {an }学科网 中, a1 ? 2 ,公差不为零, 且 a1 , a3 , a11 恰 好 是 某 等 比 数 列 的 前 三 项 , 那 么 该 等 比 数 列 公 比 的 值 等 于 .

8、 (通州区 2017 届高三上学期期末)设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1 ? 1 ,

S7 ? S5 ? 24 ,则 S6 ? ____.
9、 (西城区 2017 届高三上学期期末) 设等比数列 {an } 的各项均为正数, 其前 n 项和为 Sn . 若

a1 ? 1 , a3 ? 4 ,则 an ? ____; S6 ? ____.
二、解答题 1、 (朝阳区 2017 届高三上学期期末)设 m,n(3 ? m ? n) 是正整数,数列 Am : a1 ,a2 ,L ,am ,

L , n}中互不相同的元素.若数列 Am 满足:只要存在 其中 ai (1? i ? m) 是集合 {1, 2, 3,
2

( 1 ? k ? m) 使 ai ? a j ? n ,总存在 k 有 ai ? a j ? ak ,则称数列 Am 是“好 i, ( j 1 ? i ? j ? m)
数列” . (Ⅰ)当 m ? 6,n ? 100 时, (ⅰ)若数列 A6 :11,78,x, y,97,90 是一个“好数列” ,试写出 x, y 的值,并判断数列:

11,78,90,x,97, y 是否是一个“好数列”?
(ⅱ)若数列 A6 :11, 78,a,b,c,d 是“好数列” ,且 a ? b ? c ? d ,求 a,b,c,d 共有 多少种不同的取值? (Ⅱ)若数列 Am 是“好数列” ,且 m 是偶数,证明:

a1 ? a2 ? L ? am n ? 1 ? . m 2
?

2、 (朝阳区 2017 届高三上学期期中)已知数列 {an}(n ? N ) 是公差不为 0 的等差数列,

a1 ? 1 ,且

1 1 1 , , 成等比数列. a2 a4 a8

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)设数列 {

1 } 的前 n 项和为 Tn ,求证: Tn ? 1. an ? an ?1

3、 (朝阳区 2017 届高三上学期期中)设 a , b 是正奇数,数列 {cn } ( n ? N )定义如下:

?

c1 ? a, c2 ? b ,对任意 n ? 3 , cn 是 cn?1 ? cn?2 的最大奇约数.数列 {cn } 中的所有项构成集
合A. (Ⅰ)若 a ? 9, b ? 15 ,写出集合 A ;

{ c2 k , c2 k? 1 } (max{ ( Ⅱ ) 对 k ? 1 , 令 dk = max 表 示 p, q 中 的 较 大 值 ) ,求证: pq , }
d k ?1 ? d k ;
(Ⅲ)证明集合 A 是有限集,并写出集合 A 中的最小数.

4、 (东城区 2017 届高三上学期期末)已知 {an } 是等比数列,满足 a1 ? 3 , a4 ? 24 ,数列

{an ? bn } 是首项为 4 ,公差为 1 的等差数列.
(Ⅰ)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (Ⅱ)求数列 {bn } 的前 n 项和.
3

5 、( 海 淀 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 对 于 无 穷 数 列 {an } , {bn } , 若

bk ? max{a1 , a2 ,?, ak } ? min{a1 , a2 ,?, ak }(k ? 1, 2,3,?) ,则称 {bn } 是 {an } 的“收缩数列”.其
中, max{a1 , a2 ,?, ak } , min{a1 , a2 ,?, ak } 分别表示 a1 , a2 ,?, ak 中的最大数和最小数. 已知 {an } 为无穷数列,其前 n 项和为 Sn ,数列 {bn } 是 {an } 的“收缩数列”. (Ⅰ)若 an ? 2n ? 1 ,求 {bn } 的前 n 项和; (Ⅱ)证明: {bn } 的“收缩数列”仍是 {bn } ; (Ⅲ)若 S1 ? S2 ? ? ? Sn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) a1 ? bn (n ? 1, 2,3,?) ,求所有满足该条件的 {an } . 2 2

6、 (丰台区 2017 届高三上学期期末)已知无穷数列 {cn } 满足 cn?1 ? 1 ? 1 ? 2cn . (Ⅰ)若 c1 ?

1 ,写出数列 {cn } 的前 4 项; 7

(Ⅱ)对于任意 0 ? c1 ? 1 ,是否存在实数 M,使数列 {cn } 中的所有项均不大于 M ?若 存在,求 M 的最小值;若不存在,请说明理由; (Ⅲ)当 c1 为有理数,且 c1 ? 0 时,若数列 {cn } 自某项后是周期数列,写出 c1 的最大值. (直接写出结果,无需证明)

7、 (海淀区 2017 届高三上学期期中)已知数列 {an } 是公差为 2 的等差数列,数列 {bn } 满足
bn?1 ? bn ? an ,且 b2 ? ?18, b3 ? ?24 .

(Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ)求 bn 取得最小值时 n 的值.

8、 (海淀区 2017 届高三上学期期中) 已知数列 {an } 是无穷数列, 满足 lg an?1 ?| lg an ? lg an?1 | ( n ? 2,3, 4,? ). (Ⅰ)若 a1 ? 2, a2 ? 3 ,求 a3 , a4 , a5 的值;

(Ⅱ)求证: “数列 {an } 中存在 ak (k ? N* ) 使得 lg ak ? 0 ”是“数列 {an } 中有无数多项是 1” 的充要条件;
4

(Ⅲ)求证:在数列 {an } 中 ?ak (k ? N* ) ,使得 1 ≤ ak ? 2 . 9、 ( 通 州 区 2017 届 高 三 上 学 期 期 末 ) 已 知 数 列 {an } 对 任 意 的 n ? N * 满 足 :

an +2 + an > 2an+1 ,则称数列 {an } 为“T 数列”.
n (Ⅰ)求证:数列 2 是“T 数列”;

? ?

?1? (Ⅱ)若 an ? n ? ? ? ,试判断数列 ?an ? 是否是“T 数列”,并说明理由; ?2? (Ⅲ)若数列 ?an ? 是各项均为正的“T 数列”,
2

n

求证:

a1 + a3 + ? + a2 n + 1 a2 + a4 + ? + a2n

>

n+ 1 . n

10、(西城区 2017 届高三上学期期末)数字1,2,3, ?, n ( n ≥2) 的任意一个
排列记作 (a1 , a2 ,?, an ) ,设 Sn 为所有这样的排列构成的集合. 集合 An ? {(a1 , a2 ,?, an ) ? Sn | 任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n ,都有 ai ? i ≤ a j ? j} ;集合

Bn ? {(a1, a2 ,?, an ) ? Sn | 任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n ,都有 ai ? i ≤ a j ? j} .
(Ⅰ)用列举法表示集合 A3 , B3 ; (Ⅱ)求集合 An ? Bn 的元素个数; (Ⅲ)记集合 Bn 的元素个数为 bn .证明:数列 {bn } 是等比数列.

参考答案 一、选择、填空题 1、62 7、4 2、 4, 110 8、36 9、 2 3、
n ?1

1 15 , 2 2

4、B

5 、D

6、24

; 63

二、解答题 1、解: (Ⅰ) (ⅰ) x ? 89, y ? 100 ,或 x ? 100, y ? 89 ;

5

数列: 11,78,90,x,97, y 也是一个“好数列” . ?????????????3 分 (ⅱ)由(ⅰ)可知,数列必含 89 ,100 两项,
2 若剩下两项从 90,91,L ,99 中任取,则都符合条件,有 C10 ? 45 种;

若剩下两项从 79,80,L ,88 中任取一个,则另一项必对应 90,91,L ,99 中的一个, 有 10 种; 若取 68 ? a ? 77 ,则 79 ?11 ? a ? 88 , 90 ? 22 ? a ? 99 , “好数列”必超过 6 项,不 符合; 若取 a ? 67 ,则 11 ? a ? 78 ? A6 ,另一项可从 90,91,L ,99 中任取一个,有 10 种; 若取 56 ? a ? 67 ,则 67 ?11 ? a ? 78 , 78 ? 22 ? a ? 89 , “好数列”必超过 6 项,不 符合; 若取 a ? 56 ,则 b ? 67 ,符合条件, 若取 a ? 56 ,则易知“好数列”必超过 6 项,不符合; 综上, a,b,c,d 共有 66 种不同的取值. ???????????????7 分 (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)易知,一个“好数列”各项任意排列后,还是一个“好数列” . 又“好数列” a1 ,a2 ,L ,am 各项互不相同,所以,不妨设 a1 ? a2 ? L ? am . 把数列配对: a1 ? am ,a2 ? am?1 ,L ,am ? am ,
2 2 ?1

只要证明每一对和数都不小于 n ? 1 即可. 用反证法,假设存在 1 ? j ?

m 学科网 ,使 a j ? am?1? j ? n , 2

因为数列单调递增,所以 am? j ?1 ? a1 ? am? j ?1 ? a2 ? am? j ?1 ? L ? a j ? am? j ?1 ? n , 又因为“好数列” ,故存在 1 ? k ? m ,使得 ai ? am?1? j ? ak (1 ? i ? j ) ,

?j , 显然 ak > am?1? j , 故 k ?m ? 1 所以 ak 只有 j ? 1 个不同取值, 而 ai ? am?1? j 有 j
个不同取值,矛盾. 所以, a1 ? am ,a2 ? am?1 ,L ,am ? am 每一对和数都不小于 n ? 1 ,
2 2 ?1

故 a1 ? a2 ? L ? am ?

a ? a ? L ? am n ? 1 m (n ? 1) ,即 1 2 ? .???????13 分 2 m 2

2、解: (Ⅰ)设 {an } 的公差为 d . 因为

1 1 1 1 1 1 , , 成等比数列,所以 ( )2 ? ? . a4 a2 a8 a2 a4 a8

6

即(

1 1 1 )2 ? ? . a1 ? 3d a1 ? d a1 ? 7d
2 2

化简得 (a1 ? 3d ) ? (a1 ? d ) ? (a1 ? 7d ) ,即 d ? a1d . 又 a1 ? 1 ,且 d ? 0 ,解得 d ? 1 . 所以有 an ? a1 ? (n ? 1)d ? n . (Ⅱ)由(Ⅰ)得: 所以 Tn ? 1 ? ???????7 分

1 1 1 1 ? ? ? . an ? an ?1 n ? (n ? 1) n n ? 1

1 1 1 1 1 1 ? ? ??? ? ? 1? ?1 . 2 2 3 n n ?1 n ?1
???????13 分

因此, Tn ? 1. 3、解: (Ⅰ)数列 {cn } 为:9,15,3,9,3,3,3,……. 故集合 A ? {9,15,3} .

?????3 分

(Ⅱ)证明:由题设,对 n ? 3 , cn ? 2 , cn?1 都是奇数,所以 cn?1 ? cn?2 是偶数. 从而 cn?1 ? cn?2 的最大奇约数 cn ?

cn?1 ? cn?2 , 2

cn?1 , cn?2 },当且仅当 cn?1 ? cn?2 时等号成立. 所以 cn ? max{ c2k , c2k ?1} ? dk , 所以,对 k ? 1 有 c2k ?1 ? max{ c2k ?1 , c2k } ? max{ dk , dk } ? dk . 且 c2k ?2 ? max{ c2k ?2 , c2k ?1} ? dk ,当且仅当 c2k ? c2k ?1 时等号成立.???9 分 所以 dk ?1 ? max{ cn?1 , cn?2 }. (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 n ? 3 时,有 cn ? max{
所以对 n ? 3 ,有 cn ? max{c1 , c2 } ? max{a, b} . 又 cn 是正奇数,且不超过 max{a, b} 的正奇数是有限的, 所以数列 {cn } 中的不同项是有限的. 所以集合 A 是有限集. 集合 A 中的最小数是 a , b 的最大公约数. 4、解: (Ⅰ)设等比数列 ?an ? 的公比为 q .
7

?????14 分

由题意,得 q3 ?

a4 ? 8 ,q ? 2. a1
?????3 分

所以 an ? a1qn?1 ? 3 ? 2n?1 (n ? 1, 2,?) . 又数列 {an ? bn } 是首项为 4 ,公差为 1 的等差数列, 所以 an ? bn ? 4 ? (n ?1) ?1 . 从而 bn ? (n ? 3) ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) .

?????6 分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 bn ? (n ? 3) ? 3? 2n?1 (n ? 1, 2,?) 数列 {n ? 3} 的前 n 项和为

n( n ? 7) . 2

?????9 分

数列 {3 ? 2n?1} 的前 n 项和为

3(1 ? 2n ) ? 3 ? 2n ? 3 . 1? 2

?????12 分

所以,数列 {bn } 的前 n 项和为

n( n ? 7) ? 3 ? 2n ? 3 . 2

???13 分

5、解: (Ⅰ)由 an ? 2n ? 1 可得 {an } 为递增数列, 所以 bn ? max{a1 , a2 ,?, an } ? min{a1 , a2 ,?, an } ? an ? a1 ? 2n ? 1 ? 3 ? 2n ? 2 , 故 {bn } 的前 n 项和为

2n ? 2 ? n ? n(n ? 1) .2

(Ⅱ)因为 max{a1 , a2 ,?, an } ? max{a1 , a2 ,?, an?1}(n ? 1, 2,3,?) ,

min{a1 , a2 ,?, an } ? min{a1 , a2 ,?, an ?1}(n ? 1, 2,3,?) ,
所以 max{a1 , a2 ,?, an?1} ? min{a1 , a2 ,?, an?1} ? max{a1 , a2 ,?, an } ? min{a1 , a2 ,?, an } 所以 bn?1 ? bn (n ? 1,2,3,?) . 又因为 b1 ? a1 ? a1 ? 0 , 所以 max{b1 , b2 ,?, bn } ? min{b1 , b2 ,?, bn } ? bn ? b1 ? bn , 所以 {bn } 的“收缩数列”仍是 {bn } . (Ⅲ)由 S1 ? S2 ? ? ? Sn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) a1 ? bn (n ? 1, 2,3,?) 可得 2 2

当 n ? 1 时, a1 ? a1 ; 当 n ? 2 时, 2a1 ? a2 ? 3a1 ? b2 ,即 b2 ? a2 ? a1 ,所以 a2 ? a1 ;

8

当 n ? 3 时, 3a1 ? 2a2 ? a3 ? 6a1 ? 3b3 ,即 3b3 ? 2(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a1 ) (*) , 若 a1 ? a3 ? a2 ,则 b3 ? a2 ? a1 ,所以由(*)可得 a3 ? a2 ,与 a3 ? a2 矛盾; 若 a3 ? a1 ? a2 ,则 b3 ? a2 ? a3 ,所以由(*)可得 a3 ? a2 ? 3(a1 ? a3 ) , 所以 a3 ? a2与a1 ? a3 同号,这与 a3 ? a1 ? a2 矛盾; 若 a3 ? a2 ,则 b3 ? a3 ? a1 ,由(*)可得 a3 ? a2 . 猜想:满足 S1 ? S2 ? ? ? Sn ?

n(n ? 1) n(n ? 1) a1 ? bn (n ? 1, 2,3,?) 的数列 {an } 是: 2 2

? a , n ? 1, an ? ? 1 a2 ? a1 . ?a2 , n ? 1,
n(n ? 1) a2 , 2 n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) n(n ? 1) 右式= a1 ? bn ? a1 ? (a2 ? a1 ) ? na1 ? a2 . 2 2 2 2 2 下面证明其它数列都不满足(Ⅲ)的题设条件.
经验证,左式= S1 ? S2 ? ? ? Sn ? na1 ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 1)]a2 ? na1 ?

? a , n ? 1, 法 1:由上述 n ? 3 时的情况可知, n ? 3 时, an ? ? 1 a2 ? a1 是成立的. ?a2 , n ? 1, ? a , n ? 1, 假设 ak 是首次不符合 an ? ? 1 a2 ? a1 的项,则 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? ak ?1 ? ak , ?a2 , n ? 1,
由题设条件可得

k2 ? k ? 2 k (k ? 1) k (k ? 1) a2 ? a k ? a1 ? bk (*) , 2 2 2

若 a1 ? ak ? a2 ,则由(*)式化简可得 ak ? a2 与 ak ? a2 矛盾; 若 ak ? a1 ? a2 ,则 bk ? a2 ? ak ,所以由(*)可得 ak ? a2 ? 所以 ak ? a2与a1 ? ak 同号,这与 ak ? a1 ? a2 矛盾; 所以 ak ? a2 ,则 bk ? ak ? a1 ,所以由(*)化简可得 ak ? a2 . 这与假设 ak ? a2 矛盾.

k (k ? 1) (a1 ? ak ) 2

? a , n ? 1, 所以不存在数列不满足 an ? ? 1 a2 ? a1 的 {an } 符合题设条件. ?a2 , n ? 1,
法 2:当 i ? n 时, ai ? a1 ? max{a1 , a2 ,?, ai } ? min{a1 , a2 ,?, ai } ? bi ,

9

所以 ? (ai ? a1 ) ? b1 ? b2 ? ? ? bk , (k ? 1,2,3,?, n)
i ?1

k

即 Sk ? ka1 ? (b1 ? b2 ? ? ? bk ) , (k ? 1,2,3,?, n) 由 bn?1 ? bn (n ? 1,2,3,?) 可得 bk ? bn (k ? 1,2,3,?, n) 又 b1 ? 0 ,所以可得 Sk ? ka1 ? (k ? 1)bn (k ? 1, 2,3,?) , 所以 S1 ? S2 ? ? ? Sn ? (a1 ? 2a1 ? ? ? na1 ) ? [0 ? bn ? bn ? 2bn ? ? ? (n ? 1)bn ] ,

(n ? 1)n (n ? 1)n a1 ? bn 2 2 (n ? 1)n (n ? 1)n 所以 S1 ? S2 ? ? ? Sn ? a1 ? bn 等号成立的条件是 2 2
即 S1 ? S2 ? ? ? Sn ?

ai ? a1 ? bi ? bn (i ? 1,2,3,?, n) ,
? a , n ? 1, 所以,所有满足该条件的数列 {an } 为 an ? ? 1 a2 ? a1 . ?a2 , n ? 1,
(说明:各题的其他做法,可对着参考答案的评分标准相应给分) 6、解: (Ⅰ)

1 2 4 6 2 , , , , 7 7 7 7 7
(Ⅱ)存在满足题意的实数 M , 且 M 的最小值为 1. 解法一:猜想 0 ? cn ? 1 ,下面用数学归纳法进行证明. (1)当 n ? 1 时, 0 ? c1 ? 1 ,结论成立. (2)假设当 n ? k (k ? N ) 时结论成立,即 0 ? ck ? 1 ,
*

……………….4 分

当 n ? k ? 1 时,

0 ? 2ck ? 2 ,所以 ?1 ? 1 ? 2ck ? 1 ,
即 0 ? 1 ? 2ck ? 1 ,所以 0 ? 1 ? 1 ? 2ck ? 1 , 故 0 ? 1 ? 1 ? 2ck ? 1 . 又因为 ck +1 = 1 ? 1 ? 2ck , 所以 0 ? ck +1 ? 1 , 所以 n ? k ? 1 时结论也成立. 综上,由(1),(2)知, 0 ? cn ? 1 成立
10

所以 M ? 1 ,当 c1 ?

1 时,可得当 n ? 2 时, cn ? 1,此时, M 的最小值为 1 2

故 M 的最小值为 1. 解法二:当 n ? 2 时,若存在 k ? 2,3, 4..., 满足 ck ?1 ? 1 ,且 ck ? 1 . 显然 ck ?1 ? 0,

1 ,1 ,则 2

1 ? ck ?1 ? 1 时, ck ? 2 ? 2ck ?1 ? 1 与 ck ? 1 矛盾; 2 1 0 ? ck ?1 ? 时, ck ? 2ck ?1 ? 1 与 ck ? 1 矛盾; 2
所以 0 ? cn ? 1(n ? 2) 所以 M ? 1 ,当 c1 ? 1. (Ⅲ) 2 7、详细分析: (I)

1 时,可得当 n ? 2 时, cn ? 1,此时, M 的最小值为 1 2 故 M 的最小值为
????????10 分 ??????13 分

(II)

11

8、详细分析:

12

(III)

13

9、解:(Ⅰ)? 2n ? 2n?2 ? 5 ? 2n , 2 ? 2n?1 ? 4 ? 2n
?an?2 ? an ? 2an?1 ? 2n?2 ? 2n ? 2 ? 2n?1 ? 2n ? 0 ?an?2 ? an ? 2an?1 ……………….3 分
1? (Ⅱ) an?2 ? an ? 2an?1 ? (n ? 2)2 ? ? ? ? ?2?
n?2

?1? ?1? ? n2 ? ? ? ?2(n ? 1)2 ? ? ? 2 ?2? ? ?

n

n ?1

2 n 2 ? 1 ? ? n ? 4n ? ? 1 ? (n ? 2) ? ? ? ?[ ? n2 ? (n ? 1)2 ] ? ? ? ? ? ??0 4 ?2? ? 4 ? ?2?

n

解得, n ? 4, n ? N * ,故数列 {an } 不是 T 数列.……………….7 分 (Ⅲ)要证

a1 ? a3 ? ? ? a2 n?1 n ? 1 ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n n

只需证 n(a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ) ? (n ? 1)a2 ? a4 ? ? ? a2n ……………….8 分 下面运用数学归纳法证明。 (ⅰ)当 n=1 时, a1 ? a3 ? 2a2 成立…………….9 分 (ⅱ)假设当 n=k 时,不等式成立, 即 k (a1 ? a3 ? ? ? a2k ?1 ) ? (k ? 1)a2 ? a4 ? ? ? a2k 那么当 n=k+1 时,

14

(k ? 1)(a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?3 ) ? (k ? 2)(a2 ? a4 ? ? ? a2 k ? 2 ) ? [k (a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ) ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ) ? (k ? 1)a2 k ?3 ] ?[(k ? 1)(a2 ? a4 ? ? ? a2 k ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 k ) ? (k ? 2)a2 k ? 2 ] ? (k ? 1)a2 k ?3 ? (k ? 2)a2 k ? 2 ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 k ) ? (k ? 1)(a2 k ?3 ? a2 k ? 2 ) ? (a1 ? a3 ? ? ? a2 k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ? ? a2 k ? a2 k ? 2 )

?{an } 是 T

数列,?an?2 ? an ? 2an?1 ,? an?2 ? an?1 ? an?1 ? an
?an?2 ? an?1 ? an?1 ? an ? an ? an?1 ? ? ? a2 ? a1
? (a2 k ?3 ? a2 k ? 2 ) ? (a2 k ? 2 ? a2 k ?1 ) (a2 k ?3 ? a2 k ? 2 ) ? (a2 k ? a2 k ?1 ) 以此类推 ? (a2 k ?3 ? a2 k ? 2 ) ? (a2 ? a1 )

将上述式子相加,得
(k ? 1)(a2k ?3 ? a2k ?2 ) ? (a1 ? a3 ? ?? a2k ?1 ) ? (a2 ? a4 ? ?? a2k ? a2k ?2 ) ? 0 所 以 当

n=k+1 时不等式成立, 根据(ⅰ)和(ⅱ)可知, 对于任意 n ? N * 不等式

a1 ? a3 ? ? ? a2 n?1 n ? 1 均成立. ? a2 ? a4 ? ? ? a2 n n
……………….14 分

10、解: (Ⅰ) A3 ? {(1, 2,3)} , B3 ? {(1, 2,3),(1,3, 2),(2,1,3),(3, 2,1)} .[3 分] (Ⅱ)考虑集合 An 中的元素 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) . 由已知,对任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n ,都有 ai ? i ≤ a j ? j , 所以 (ai ? i) ? i ? (a j ? j ) ? j , 所以 ai ? a j . 由 i , j 的任意性可知, (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 是 1, 2,3,? , n 的单调递增排列, 所以 An ? {(1, 2,3,?, n)} .[5 分] 又因为当 ak ? k (k ? N* , 1≤ k ≤ n ) 时,对任意整数 i, j,1≤ i ? j ≤ n , 都有 ai ? i ≤ a j ? j . 所以 (1, 2,3,?, n) ? Bn ,所以 An ? Bn .[7 分]

15

所以集合 An ? Bn 的元素个数为 1.[8 分] (Ⅲ)由(Ⅱ)知, bn

?0. ?2.

因为 B2 ? {(1, 2),(2,1)} ,所以 b2

当 n ≥ 3 时,考虑 Bn 中的元素 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) . (1)假设 ak ? n (1 ≤ k ? n) .由已知, ak ? k ≤ ak ?1 ? (k ? 1) , 所以 ak ?1 ≥ ak ? k ? (k ? 1) ? n ? 1 , 又因为 ak ?1 ≤ n ?1 ,所以 ak ?1 ? n ? 1 . 依此类推,若 ak ? n ,则 ak ?1 ? n ? 1, ak ?2 ? n ? 2 ,?, an ? k . ① 若 k ? 1 ,则满足条件的 1, 2,3,? , n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 1 个. ② 若 k ? 2 ,则 a2 ? n , a3 ? n ?1 , a4 ? n ? 2 ,?, an ? 2 . 所以 a1 ? 1 . 此时满足条件的 1, 2,3,? , n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 1 个. ③ 若2 ? k ? n, 只 要 (a1 , a2 , a3? , a k?
1

是 1, 2,3,?, k ? 1 的 满 足 条 件 的 一 个 排 列 , 就 可 以 相 应 得 到 )

1, 2,3,? , n 的一个满足条件的排列.
此时,满足条件的 1, 2,3,? , n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 bk ?1 个.[10 分] (2)假设 an ? n ,只需 (a1 , a2 , a3 ,? an?1 ) 是 1, 2,3,?, n ? 1 的满足条件的排列,此时满足 条件的 1, 2,3,? , n 的排列 (a1 , a2 , a3 ,?, an ) 有 bn ?1 个. 综上 bn 因为 b3

? 1 ? 1 ? b2 ? b3 ? ?? bn?1 , n ≥ 3 .

? 1 ? 1 ? b2 ? 4 ? 2b2 , ? (1 ? 1 ? b2 ? b3 ? ?? bn?2 ) ? bn?1 ? 2bn?1 ,[12 分]
bn ? 2. bn?1

且当 n ≥ 4 时, bn

所以对任意 n ? N* , n ≥ 3 ,都有

16

所以 {bn } 成等比数列.[13 分]

17


赞助商链接
更多相关文档:

...最新考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案

江西省各地2017届高三最新考试数学理试题分类汇编:数列 Word版含答案 - 江西省各地 2017 届高三最新考试数学理试题分类汇编 数列 一、选择、填空题 1 、(九江市...

...2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 数列 Wo...

上海市16区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 数列 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。上海市各区县 2017 届高三上学期期末考试数学试题分类汇编 数列...

...最新考试数学文试题分类汇编:数列 Word版含答案

湖北省各地2017届高三最新考试数学试题分类汇编:数列 Word版含答案_数学_高中...北京市部分区2017届高三... 暂无评价 10页 1下载券 湖北省各地2017届高三最...

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WO...

江苏省苏州市2017届高三上学期期中调研考试数学试题(WORD版,含答案)_高三数学_...取值范围; (3)将数列 {an },{bn } 的项按照“当 n 为奇数时,an 放在...

2018年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列 Word版含答案

2018年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列 Word版含答案_高中教育_教育专区。2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4:数列 一、选择题 1 .(2013 年高考上海卷(...

山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编5:数列_Wo...

山东省各地市2013届高三理科数学试题分类汇编5:数列_Word版含答案_数学_高中教育...?11 , 2 () 选 8 . (山东省潍坊市 2013 届高三上学期期末考试数学理 A...

2016年高考数学理真题分类汇编:数列 Word版含解析

2016年高考数学理真题分类汇编:数列 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2016 年高考数学理试题分类汇编 数列一、选择题 1、 (2016 年上海高考)已知...

2015年高考数学理真题分类汇编:专题六 数列 Word版含解析

2015年高考数学理真题分类汇编:专题六 数列 Word版含解析_高三数学_数学_高中...0 【答案】B. 【名师点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式,等比数列的...

...上学期期中基础性检测考试卷+数学+Word版含答案

江苏省无锡市普通高中2018届高三上学期期中基础性检测考试卷+数学+Word版含答案 无锡市普通高中 2017 年秋季学期高三期中基础性检测考试数学试题一、填空题:(本...

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列 Word版含答案

2013年全国高考理科数学试题分类汇编4:数列 Word版含答案_高考_高中教育_教育专区。2013年全国高考理科数学试题分类汇编 2013 年全国高考理科数学试题分类汇编 4:数列...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com