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江苏省2010届高三数学二轮强化训练(20)三角函数图像与性质

广东省 2010 届高三数学(文科)二轮强化训练 三角函数图象与性质
一、填空题: 1.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2 ? y 2 ? 1 逆时针方向运动 标为 .

2? 弧长到达 Q 点,则 Q 点的坐 3

1) ,则该简谐运动的最小正 2.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( x ? ? )( ? ? ) 的图象经过点 (0,
周期 T 和初相 ? 分别为 3.把函数 y ? sin(3x ? .

π 3

π 2

?
4

) 的图象向右平移

?
8

个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来的 3 倍(纵坐标

不变),则所得的函数解析式子是 4.若函数 y ? Asin(? x ? ? ) ? B( A ? 0,? ? 0,| ? |? 小正周期是

?
2



) 的最大值是 2 2 ,最小值是 ? 2 ,最


2 2? ,图象经过点(0,),则函数的解析式子是 4 3

5.把函数 y= 3 cosx-sinx 的图象向左平移 m(m>0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小 正值是 .

6.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ,如下结论中正确的是__________(写出所有正确 结论的编号 ).①图象 C 关于直线 x ? π 对称;②图象 C 关于点 ( , 0) 对称;③函数 .. 12 3

π 3

11



f ( x) 在区间 (?
到图象 C .

π π 5π , ) 内是增函数;④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 个单位长度可以得 3 12 12
π 3 π 2

7.函数 y ? sin( x ? )sin( x ? ) 的最小正周期 T ?

. . .

x ?? ( A ? 0) 的最小正周期为 3 ? ,则 A= A ? ? 9.已知函数 y ? tan wx 在 (? , ) 内是减函数,则 w 的取值范围是 2 2
8.已知函数 y ? sin

1 2

10.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 [? , ] 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于

? ?

3 4

. 11.若 sin x ? cos x ? 1 ? 0 ,则实数 x 的取值范围 12.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? . .

1 2

1 sin x ? cos x ,则 f ( x) 的值域是 2

13.函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ?? 0,2 ? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是__________.

14.设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积,已知函 ? ? 4? 2 数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N*),y=sin(3x-π )+1 在[ , ] n n 3 3 上的面积为 二、解答题:(6 题) .

π π . 15.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x , x ? [ π , ] 4 4 2
(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值;
π 上恒成立,求实数 的取值范围. (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [ π , m ] 4 2

16.已知函数 f ( x) ? cos2 ( x ?

π 1 ) , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 2

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间.

17.已知 f ( x) ? 2sin( x ?

?
6

) ? 2cos x .

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) ?

? 6 ,求 cos( ? 2x) 的值. 3 5

18.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和ω 的值.

?

3? ,0) 对 4

2

19.已知 b,c 是实数,函数 f(x)= x 2 ? bx ? c 对任意 α,β ? R 有: f (sin ? ) ? 0, 且 f (2 ? cos ? ) ? 0, (1)求 f(1)的值; (2)证明:c ? 3 ; (3)设 f (sin ? ) 的最大值为 10,求 f(x).

20.在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到 10 次测量结果(时间 近似到 0.1 小时),结果如下表所示: 日 期 1月1 日 1 5.6 2月 28 日 59 10.2 3月 21 日 80 12.4 4月 27 日 117 16.4 5月6 日 126 17.3 6月 21 日 172 19.4 8月 13 日 225 16.4 9月 20 日 263 12.4 10 月 25 日 298 8.5 12 月 21 日 355 5.4

日期位置 序号 x 存活时间 y(小时)

(1)试选用一个形如 y ? A sin(? x ? ? ) ? t 的函数来近似描述一年中该细菌一天内存活的时间 y 月日期 位置序号 x 之间的函数关系; (2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于 15.9 小时.

参考答案 一、填空题: 1.点 P 从(1,0)出发,沿单位圆 x2 ? y 2 ? 1 逆时针方向运动

2? 弧长到达 Q 点,则 Q 点的 3

1 3 ). 坐标为 ( ? , 2 2
简析:记 ? ? ?POQ ,由三角函数定义可知 Q 点的坐标 ( x, y ) 满足 x ? r cos ? , y ? r sin ? .三角函数定义是 三角函数理论的基础,理解掌握能起到事半功倍的效果.

1) ,则该简谐运动的最小正 2.已知简谐运动 f ( x) ? 2sin( x ? ? )( ? ? ) 的图象经过点 (0,
周期 T 和初相 ? 分别为 6和 3.把函数 y ? sin(3x ?

?
6

π 3

π 2



?
4

) 的图象向右平移

?
8

个单位,再将图象上各点的横坐标扩大到原来

的 3 倍(纵坐标不变),则所得的函数解析式子是 y ? sin( x ? ) . 4.若函数 y ? Asin(? x ? ? ) ? B( A ? 0,? ? 0,| ? |? 小正周期是

?

?
2

8

) 的最大值是 2 2 ,最小值是 ? 2 ,最

2 3 2 ? 2 2? sin(3x ? ) ? ,图象经过点(0,),则函数的解析式是 y ? . 4 2 6 2 3

5.把函数 y= 3 cosx-sinx 的图象向左平移 m(m>0)个单位,所得的图象关于 y 轴对称,则 m 的最小 正值是

5? . 6

简析:正(余)弦曲线问题是三角函数性质、图象问题中的重点内容,必须熟练掌握.上述问题的解答可 以根据正(余)弦曲线的“五点画法”在草稿纸上作出函数的草图来验证答案或得到答案.再如:函数

π π y ? sin(2 x ? ) 在区间 [? ,π] 的简图是 3 2 y
? ? 3

(填写序号)

y

1
? 6

1
?

? ? 2

O
?1

x

?

? ?? O 3 2

?1


? 6

? x

① 9. y

y
?
? ?1 6

1
? ? 2 ? O ? 6
? 3

x

?

?1

? 2

O
?1

? 3

? x

π ③ ④ __________(写出所有正确 6.函数 f ( x) ? 3sin(2 x ? ) 的图象为 C ,如下结论中正确的是 3
结论的编号 ).①图象 C 关于直线 x ? π 对称;②图象 C 关于点 ( , 0) 对称;③函数 .. 12 3

11



f ( x) 在区间 (?

π π 5π , ) 内是增函数;④由 y ? 3sin 2 x 的图角向右平移 个单位长度可以得 3 12 12

到图象 C .

11 ? 对称;① 3 2 12 π 5π ? ? ? π 5π 正确;同理②正确;③x∈ (? , ) 时, 2 x ? ∈(- , ),∴ 函数 f ( x) 在区间 (? , ) 内 12 12 3 2 2 12 12 2? π 是增函数;③正确;④由 y ? 3sin 2 x 的图象向右平移 个单位长度可以得到 y ? 3sin(2 x ? ) ,得不 3 3 到图象,④错误;∴ 正确的结论有 3 个,①②③。 π π 7.函数 y ? sin( x ? )sin( x ? ) 的最小正周期 T ? ? . 3 2 π π 1 3 1 3 3 cos x)cos x ? sin 2 x ? cos 2 x ? 解析:先化简 y ? sin( x ? )sin( x ? ) ? ( sin x ? ,易知最小正周 3 2 2 2 4 4 4 期为 ?. 点评:此题考查了三角函数的化简,体现了诱导公式和两角和的正弦公式的应用,同时与周期性结合,是 一道综合性的题目。 1 x ?? 3 8.已知函数 y ? sin ( A ? 0) 的最小正周期为 3 ? ,则 A= . 2 A 2
解答:①②③.简析:①图象 C 关于直线 2 x ?

?

? k? ?

?

对称,当 k=1 时,图象 C 关于 x ?

9.已知函数 y ? tan wx 在 (?

, ) 内是减函数,则 w 的取值范围是 [?1,0) . 2 2 评析:有关三角函数的单调性问题是三角函数知识的重点和难点,充分利用函数图像和整体化思想是解决
此类问题的关键,再例如: (1)函数 y=3sin (

? ?

?
3

? 2 x) 的单调递减区间是[ ?

?
12

? k? ,

5? ? k? ],(k∈Z); 12

(2)函数 y ?| tan( x ? )| 的单调减区间是 (k? ,

?

?
2

2

? k ? ),( k ? Z );

(3)函数 y=lgsin(

?
6

-2x)的单调递减区间为 (k? ?

?
6

, k? ?

?
12

),(k ? Z) ;

3 ? ? 10.已知函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 [? , ] 上的最小值是 ?2 ,则 ? 的最小值等于 . 3 4 2
简析:函数 f ( x) ? 2sin ? x(? ? 0) 在区间 [? , ] 上的最小值是 ?2 ,则 ωx 的取值范围是 [?

? ?

?? ??
3 , 4

3 4

], ∴

?

??
3

≤?

?
2



??
4



3? 3 ,∴ ? 的最小值等于 , 2 2

11.若 sin x ? cos x ? 1 ? 0 ,则实数 x 的取值范围 2k? ? x ? 2k? ?

?
2

(k ? Z) .

错解:移项得 sin x ? cos x ? 1 ,两边平方得 sin 2 x ? 0, 那么2k? ? 2 x ? 2k? ? ? (k ? Z) , 即 k? ? x ? k? ?

?

分析:忽略了满足不等式的 x 在第一象限,上述解法引进了 sin x ? cos x ? ?1 . 正解: sin x ? cos x ? 1 即 2 sin( x ?

2

(k ? Z) .

?

3? ? (k ? Z) , ∴ 2k? ? x ? 2k? ? (k ? Z) . 4 4 4 2 2 1 1 ]. 12.已知函数 f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ,则 f ( x ) 的值域是 [?1, 2 2 2 2k? ? ? x? ? 2k? ?

?

?

? 2 得 ) ? 1 ,由 sin( x ? ) ? 4 2 4

?cos x(sin x ? cos x) 1 1 简析: f ( x) ? (sin x ? cos x) ? sin x ? cos x ? ? 2 2 ?sin x(sin x ? cos x) 2 ]. 即等价于 f ( x) ? {sin x,cos x}min ,根据图像,故得答案 [?1, 2
13.函数 f ( x) ? sin x ? 2 | sin x |, x ?? 0,2 ? ? 的图象与直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点,则 k 的取值范围 是1 ? k ? 3 .

? ?3sin x, x ? ? 0, ? ? 简析: f ( x) ? ? 从图象可以看出直线 y ? k 有且仅有两个不同的交点时, 1 ? k ? 3 . ? sin x , x ? ? , 2 ? ? ? ? ?
14.设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积,已知函 ? ? 4? 2 数 y=sinnx 在[0, ]上的面积为 (n∈N*),y=sin(3x-π )+1 在[ , ] n n 3 3 上的面积为

简析:由题意得: y ? sin3x在[0,

2? 2 4 ] 上的面积为 ? 2 ? , y ? sin(3x ? ? ) ? 1 在区间 3 3 3 ? 4? 2 [ , ]上 的图象为一个半周期结合图象分析其面积为 ? ? . 3 3 3

2 ?? . 3

点评:本题是一道很好的理性思维信息开放性定义型题,能很好地考查学生分析思维能力. 二、解答题:

π π . 15.已知函数 f ( x) ? 2sin 2 ( ? x) ? 3 cos 2 x , x ? [ π , ] 4 4 2
(I)求 f ( x ) 的最大值和最小值;
π 上恒成立,求实数 的取值范围. (II)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? [ π , m ] 4 2

解答: (Ⅰ)∵ f ( x) ? [1 ? cos( ? 2 x)] ? 3 cos2 x ? 1 ? sin 2 x ? 3 cos2 x

π ? 1 ? 2sin(2 x ? ) . 3 π π π π 2π π 又∵ x ? [ , ] ,∴ ≤ 2 x ? ≤ ,即 2 ≤1 ? 2sin(2x ? )≤3 , 4 2 6 3 3 3
∴ f ( x)max ? 3,f ( x)min ? 2 .
(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? [ , ] ,

π 2

π π 4 2

∴m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,
∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1 , 4) .

16.已知函数 f ( x) ? cos2 ( x ?

π 1 ) , g ( x) ? 1 ? sin 2 x . 12 2

(I)设 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,求 g ( x0 ) 的值. (II)求函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调递增区间. 解答:(I)由题设知 f ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] . 因为 x ? x0 是函数 y ? f ( x) 图象的一条对称轴,所以 2 x0 ? 即 2 x0 ? kπ ?

1 2

π 6

π ( k ? Z ). 6

π ? kπ , 6

所以 g ( x0 ) ? 1 ? sin 2 x0 ? 1 ? sin(kπ ? ) .

1 π 1 3 ? , 2 6 4 4 1 π 1 5 当 k 为奇数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin ? 1 ? ? . 2 6 4 4 1 π 1 (II) h( x) ? f ( x) ? g ( x) ? [1 ? cos(2 x ? )] ? 1 ? sin 2 x 2 6 2 1 π 3 1 3 1 3 ? [cos(2 x ? ) ? sin 2 x] ? ? ( cos2x ? sin 2 x) ? 2 6 2 2 2 2 2 1 π 3 ? sin(2 x ? ) ? . 2 3 2 π π π 5π π 当 2kπ ? ≤ 2 x ? ≤ 2kπ ? ,即 kπ ? ≤ x ≤ kπ ? ( k ? Z )时, 2 3 2 12 12 1 π 3 函数 h( x) ? sin(2 x ? ) ? 是增函数, 2 3 2 5π π 故函数 h( x) 的单调递增区间是 [kπ ? ,kπ ? ] ( k ? Z ). 12 12
当 k 为偶数时, g ( x0 ) ? 1 ? sin(? ) ? 1 ? 17.已知 f ( x) ? 2sin( x ?

1 2

1 2

π 6

?
6

) ? 2cos x .

(1)求函数 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) ?

? 6 ,求 cos( ? 2x) 的值. 3 5

解答:(1) 2sin( x ? 由 2k? ?

?

) ? 2cos x ? 3sin x ? cos x ? 2sin( x ? ) 6 6

?

?
2

? x?

?
6

? 2k? ? 2? , 3

?
2

(k ? Z) 得

2k? ?

?
3

? x ? 2k? ?

所以函数的单调递增区间为 [2k? ? (2) 2sin( x ? ) ?

?
3

,2k? ?

2? ], k ? Z 3

?

6

6 ? 3 ,?sin( x ? ) ? 5 6 5

? ? ? 18 7 ?cos( ? 2x) ? cos2( ? x) ? cos2( x ? ) ? 1 ? 2sin 2 ( x ? ) ? 1 ? ? 3 6 6 6 25 25
18.已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0,0 ? ? ? ? ) 上 R 上的偶函数,其图象关于点 M ( 称,且在区间 [0, ] 上是单调函数,求 ? 和ω 的值.

?

?

3? ,0) 对 4

2

解答:由 f (x)是偶函数,得 f (-x)= f (x),即 sin(?? x ? ? ) ? sin(? x ? ? ), 所以 ? cos? sin ?x ? cos? sin ?x. 对任意 x 都成立,且 ω>0, 所以得 cosφ=0﹒依题设,0≤ω≤π,所以解得 ? ? 由 f(x)图象关于点 M 对称,得 f (

?

3? 3? ? x) ? ? f ( ? x) , 4 4 3? 3? 3? 取 x=0,得 f ( ) ? ? f ( ) ,所以 f ( ) = 0﹒ 4 4 4 3? 3?? ? 3?? ∵ f ( ) ? sin( ? ) ? cos , 4 4 2 4

2



3?? ? 3?? =0,又 ω>0,得 ? ? k? , k ? 1,2,3, , 4 2 4 2 ∴ ? ? (2k ? 1), k ? 0,1,2, . 3 2 2 ? ? 当 k=0 时, ? ? , f ( x) ? sin( x ? ) 在区间 [0, ] 上是减函数; 3 3 2 2 2 ? ? 当 k=1 时,ω=2, f ( x) ? sin( x ? ) 在区间 [0, ] 上是减函数; 3 2 2 ? 10 ? 当 k≥0 时, ? ? , f ( x) ? sin(? x ? ) 在区间 [0, ] 上不是单调函数; 2 3 2 2 所以综合得 ? ? 或 ω=2﹒ 3
∴ cos 19.已知 b,c 是实数,函数 f(x)= x 2 ? bx ? c 对任意 α,β ? R 有: f (sin ? ) ? 0, 且 f (2 ? cos ? ) ? 0, (1)求 f(1)的值; (2)证明:c ? 3 ; (3)设 f (sin ? ) 的最大值为 10,求 f(x). 解答: (1)令α =

?
2

,得 f (1) ? 0, 令β = ? ,得 f (1) ? 0, 因此 f (1) ? 0, ;

(2)证明:由已知,当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0, 当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 0, 通过数形结合的方法可得: f (3) ? 0, 化简得 c ? 3 ; (3)由上述可知,[-1,1]是 f ( x) 的减区间,那么 f (?1) ? 10, 又 f (1) ? 0, 联立方程组可得 b ? ?5, c ? 4 ,所 以 f ( x) ? x2 ? 5x ? 4 [简要评述]三角复合问题是综合运用知识的一个方面, 复合函数问题的认识是高中数学学习的重点和难点, 这一方面的学习有利于提高综合运用的能力。 20.在自然条件下,对某种细菌在一天内存活的时间进行了一年的统计与测量,得到 10 次测量结果(时间 近似到 0.1 小时),结果如下表所示: 日 期 1月1 日 1 5.6 2月 28 日 59 10.2 3月 21 日 80 12.4 4月 27 日 117 16.4 5月6 日 126 17.3 6月 21 日 172 19.4 8月 13 日 225 16.4 9月 20 日 263 12.4 10 月 25 日 298 8.5 12 月 21 日 355 5.4 (1) 试选用一 个 形 如

日期位置 序号 x 存活时间 y(小时)

y? A s i? n ( ?x ? ?
的函数来 近似描述

)

一年中该细菌一天内存活的时间 y 月日期位置序号 x 之间的函数关系; (2)用(1)中的结果估计该种细菌一年中大约有多少天的存活时间大于 15.9 小时. 解答:(1)细菌存活时间与日期位置序号之间的函数关系式满足 y ? A sin(? x ? ? ) ? t ,由图表可知函数的 最大值为 19.4,最小值为 5.4,所以 19.4-5.4=14,故 A=7,由 19.4+5.4=24.8,故 t=12.4,又因为 T=365,

2? 2? x ? 323? ,当 x=172 时, .故 ? ? ? ,所以 ? ? ? 365 365 2 730 2? 323? y ? 7sin( x? ) ? 12.4(1 ? x ? 365, x ? N? ) . 365 730
所以 ? ?

(2)由 y ? 15.9 得 sin(

2? 323? 1 ? 2? 323? 5? x? ) ? , 所以 ? x? ? , 可得 365 730 2 6 365 730 6

111.2 ? x ? 232.8 .即这种细菌大约有 121 天(或 122 天)中的存活大于 15.9 小时.
点评;对于三角函数的实际应用题数量较少,主要是考查构造三角函数模型,利用三角函数的图象和性质 处理实际问题。对于三角函数图象和性质的创新试题的考查题型主要体现为与新课标中新知识点的综合应 用以及开放性试题。此类题型主要的解题策略:在阅读理解的基础上,紧扣条件,抓住关键的信息,通过

对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”,实现新的信息与已有的三角函数图象和性质实现转
化,提出解决问题的思路,创造性地解决问题,达到灵活解题的目的.


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