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安徽省蚌埠市2014-2015学年高二上学期期末考试数学(文)试卷 Word版含解析


2014-2015 学年安徽省蚌埠市高二(上)期末数学试卷(文科)
一.选择题 1.下列说法中正确的是( ) A. 三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内 D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内 2.已知命题甲:A1、A2 是互斥事件;命题乙:A1、A2 是对立事件,那么甲是乙的( A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3.直线 x+a y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( A. [0, ] B. ( ,π) C. [
2



) )

,π) D. (0,

4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(



A.

B.

C.

D. )

5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为(

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 3 6.有 2 个兴趣小组,甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 可能性相同.则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A. B. C. D.

7.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B. 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D. 若 m∥α,m∥β,则α∥β
2 2



8.过圆 x +y =4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则△ABP 的外接圆方 程是( ) A. (x﹣4) +(y﹣2) =1 B. x +(y﹣2) =4 C. (x+2) +(y+1) =5 D. (x﹣2) 2 2 +(y﹣1) =5 9.设 A(﹣2,2) 、 B(1,1) ,若直线 ax+y+1=0 与线段 AB 有交点, 则 a 的取值范围是( )
2 2 2 2 2 2

A. (﹣∞,﹣ ]∪[2,+∞) B. [﹣ ,2) C. (﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞) D. [﹣ 2, ]

10.已知球的直径 SC=6,A,B,是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S ﹣ABC 的体积为( ) A. B. 4 C. D. 6

二.填空题 11.若命题 p:x∈(A∪B) ,则¬p 是



12.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则该梯形的面积





13.已知集合 A={(x,y)| 则实数 m 的最小值等于 .

},集合 B={(x,y)|3x+2y﹣m=0},若 A∩B≠? ,

14.在集合 M={ , ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,恰满足条件“对? ∈A, 则 ∈A”的集合的概率是 .

15.在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中,AA′⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC 且 AD=AA′=2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于点 E,F,G 分别为 CC′,A′D′的中点 (如图所示)给出以下判断: ①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD; ④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD; ⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 . (将正确的结论的序号全填上)

三.解答题 16.已知 p:1≤x<3;q:x ﹣ax≤x﹣a;若¬p 是¬q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 17.根据所给条件求直线 l 的方程. (1)直线 l 经过圆 x +y +2y=0 的圆心,且与直线 2x+y=0 垂直; (2)直线 l 过点(﹣4,8) ,且到原点的距离为 4.
2 2 2

18. 如图, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90°, BE∥AF, BC∥AD, BC= AD, BE= AF,G、H 分别为 FA、FD 的中点. (1)在证明:四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点是否共面?若共面,请证明,若不共面,请说明理由.

19.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率 是 . (1)求 n 的值; (2) (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取 出的小球标号为 b.记事件 A 表示“a+b=2” ,求事件 A 的概率. 20.如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证:B1C∥平面 A1BD; (Ⅱ)若 AC1⊥平面 A1BD,求证 B1C1⊥平面 ABB1A1; (Ⅲ)在(II)的条件下,设 AB=1,求三棱 B﹣A1C1D 的体积.

21.已知直线 l:kx﹣y﹣2﹣k=0(k∈R) . (1)证明:直线过 l 定点; (2)若直线不经过第二象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴正半轴于 A,交 y 轴负半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并 求此时直线 l 的方程.

2014-2015 学年安徽省蚌埠市高二 (上) 期末数学试卷 (文 科)
参考答案与试题解析

一.选择题 1.下列说法中正确的是( ) A. 三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内 D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内 考点: 平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 根据不共线的三点确定一个平面,可判断 A 是否正确; 根据两条相交直线确定一个平面α, 第三条直线与这两条直线分别相交且交点不重合时, 也 在α内,由此可判断 B 正确; 根据当点在直线上时,不能确定平面来判断 C 是否正确; 根据空间四边形四点不共面来判断 D 是否正确. 解答: 解:对 A,当三点共线时,平面不确定,故 A 错误; 对 B,当两条直线是异面直线时,不能确定一个平面;故 B 错误; 对 C,∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面,∴当三条直线两两相交且共点时,不 一定在同一个平面,如墙角的三条棱;故 C 错误; 对 D,由 C 可知 D 正确. 故选:D. 点评: 本题考查了确定平面的条件以及直线共面的问题. 2.已知命题甲:A1、A2 是互斥事件;命题乙:A1、A2 是对立事件,那么甲是乙的( A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 )

考点: 互斥事件与对立事件. 专题: 计算题. 分析: 两个事件是互斥事件,这两个事件不一定是互斥事件,当两个事件是对立事件,则 这两个事件一定是互斥事件,命题甲不一定推出命题乙,命题乙一定能推出命题甲,得到结 论. 解答: 解:∵两个事件是互斥事件,这两个事件不一定是互斥事件, 当两个事件是对立事件,则这两个事件一定是互斥事件, ∴命题甲不一定推出命题乙, 命题乙一定能推出命题甲, ∴甲是乙的必要不充分条件, 故选 B.

点评: 本题考查互斥事件和对立事件的关系, 若把互斥事件和对立事件都看做一个集合时, 后者对应的集合是前者对应集合的子集. 3.直线 x+a y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是( A. [0, ] B. ( ,π) C. [
2

) )

,π) D. (0,

考点: 直线的一般式方程. 专题: 直线与圆. 分析: 当 a=0 时,直线的倾斜角为 直线的倾斜角的范围. 解答: 解:当 a =0,即 a=0 时,直线方程为 x=﹣1,直线的倾斜角为 当 a ≠0,即 a≠0 时,直线的斜率为 k= 则直线的倾斜角为钝角,即
2 2 2

;当 a≠0 时,求出直线的斜率,由斜率的范围可得



<0,

α<π. ) .

∴直线 x+a y+1=0(a∈R)的倾斜角的取值范围是(

故选:C. 点评: 本题考查了直线的一般式方程,考查了直线的倾斜角与斜率的关系,是基础题. 4.将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在 面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,得到结果. 解答: 解:左视图从图形的左边向右边看, 看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线, 故选 C. 点评: 本题考查空间图形的三视图,考查左视图的做法,本题是一个基础题,考查的内容 比较简单,可能出现的错误是对角线的方向可能出错. 5.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为( )

A. ﹣1 B. 0 C. 1 D. 3 考点: 条件语句;循环语句. 专题: 算法和程序框图. 分析: 本题主要考查条件语句与循环语句的基本应用,属于容易题. 解答: 解:第一次运行程序时 i=1,s=3; 第二次运行程序时,i=2,s=2; 第三次运行程序时,i=3,s=1; 第四次运行程序时,i=4,s=0, 此时执行 i=i+1 后 i=5,推出循环输出 s=0, 故选 B 点评: 涉及循环语句的问题通常可以采用一次执行循环体的方式解决. 6.有 2 个兴趣小组,甲、乙、丙三位同学各参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的 可能性相同.则这三位同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A. B. C. D.

考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: 本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是 2×2×2=8 种结果,满足条件的事 件是这三位同学参加同一个兴趣小组有 2 种结果,根据古典概型概率公式得到结果. 解答: 解:由题意知本题是一个古典概型,试验发生包含的事件数是 2×2×2=8 种结果, 满足条件的事件是这三位同学参加同一个兴趣小组,由于共有 2 个小组,则有 2 种结果, 根据古典概型概率公式得到 P= = , 故选 A.

点评: 本题考查古典概型概率公式,是一个基础题,确定试验发生包含的事件数和满足条 件的事件数是关键. 7.已知 m,n 是两条不同直线,α,β,γ是三个不同平面,下列命题中正确的是( A. 若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β B. 若 m⊥α,n⊥α,则 m∥n C. 若 m∥α,n∥α,则 m∥n D. 若 m∥α,m∥β,则α∥β 考点: 空间中直线与平面之间的位置关系. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用空间中线线、线面、面面间的位置关系求解. 解答: 解:若α⊥γ,β⊥γ,则α与β相交或平行,故 A 正确; 若 m⊥α,n⊥α,则由直线与平面垂直的性质得 m∥n,故 B 正确; 若 m∥α,n∥α,则 m 与 n 相交、平行或异面,故 C 错误; 若 m∥α,m∥β,则α与β相交或平行,故 D 错误. 故选:A. 点评: 本题考查命题真假的判断,是中档题,解题时要注意空间思维能力的培养. 8.过圆 x +y =4 外一点 P(4,2)作圆的两条切线,切点分别为 A,B,则△ABP 的外接圆方 程是( ) A. (x﹣4) +(y﹣2) =1 B. x +(y﹣2) =4 C. (x+2) +(y+1) =5 D. (x﹣2) 2 2 +(y﹣1) =5 考点: 直线与圆的位置关系. 专题: 计算题. 分析: 根据已知圆的方程找出圆心坐标,发现圆心为坐标原点,根据题意可知,△ABP 的 外接圆即为四边形 OAPB 的外接圆, 从而得到线段 OP 为外接圆的直径, 其中点为外接圆的圆 心,根据 P 和 O 两点的坐标利用两点间的距离公式求出|OP|的长即为外接圆的直径,除以 2 求出半径,利用中点坐标公式求出线段 OP 的中点即为外接圆的圆心,根据求出的圆心坐标 和半径写出外接圆的方程即可. 解答: 解:由圆 x +y =4,得到圆心 O 坐标为(0,0) , ∴△ABP 的外接圆为四边形 OAPB 的外接圆,又 P(4,2) , ∴外接圆的直径为|OP|= =2 ,半径为 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2





外接圆的圆心为线段 OP 的中点是(
2

) ,即(2,1) ,

则△ABP 的外接圆方程是(x﹣2) +(y﹣1) =5. 故选 D 点评: 此题考查了直线与圆的位置关系,要求学生熟练运用两点间的距离公式及中点坐标 公式.根据题意得到△ABP 的外接圆为四边形 OAPB 的外接圆是本题的突破点. 9.设 A(﹣2,2) 、 B(1,1) ,若直线 ax+y+1=0 与线段 AB 有交点, 则 a 的取值范围是( )

A. (﹣∞,﹣ ]∪[2,+∞) B. [﹣ ,2) C. (﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞) D. [﹣ 2, ]

考点: 两条直线的交点坐标. 专题: 直线与圆. 分析: 直线 ax+y+1=0 与线段 AB 有交点,说明两点的坐标代入 ax+y+1 所得的值异号,或直 线经过其中一点,由此得不等式求得 a 的取值范围. 解答: 解:∵A(﹣2,2) 、B(1,1) , 由直线 ax+y+1=0 与线段 AB 有交点, ∴A,B 在直线 ax+y+1=0 的两侧或直线经过 A,B 中的一点. 可得(﹣2a+2+1) (a+1+1)≤0. 即(2a﹣3) (a+2)≥0, 解得:a≤﹣2 或 a .

∴a 的取值范围是(﹣∞,﹣2]∪[ ,+∞) . 故选:C. 点评: 本题考查了二元一次方程组所表示的平面区域,考查了数学转化思想方法,是基础 题. 10.已知球的直径 SC=6,A,B,是该球球面上的两点,AB=3,∠ASC=∠BSC=45°,则棱锥 S ﹣ABC 的体积为( ) A. B. 4 C. D. 6

考点: 球内接多面体. 专题: 计算题;空间位置关系与距离;球. 分析: 由题意求出 SA=AC=SB=BC=3 ,∠SAC=∠SBC=90°,说明过 O,A,B 的平面与 SC 垂直,求出三角形 OAB 的面积,即可求出棱锥 S﹣ABC 的体积. 解答: 解:如图,由题意△ASC,△BSC 均为等腰直角三角形, 且 SA=AC=SB=BC=3 , 所以∠SOA=∠SOB=90°,所以 SC⊥平面 ABO. 又 AB=3,△ABO 为正三角形,则 S△ABO= 进而可得:V S﹣ABC=V C﹣AOB+V S﹣AOB= × 故选 C. ×3 = ×6=
2

, .

点评: 本题是基础题,考查球的内接三棱锥的体积,考查空间想象能力,计算能力,得出 SC⊥平面 ABO 是本题的解题关键,且用了体积分割法. 二.填空题 11.若命题 p:x∈(A∪B) ,则¬p 是

x? A 且 x? B



考点: 命题的否定. 专题: 简易逻辑. 分析: 根据命题的否定的定义写出即可. 解答: 解:若命题 p:x∈(A∪B) ,则¬p 是:x? A 且 x? B, 故答案为:x? A 且 x? B. 点评: 本题考查了命题的否定,是一道基础题. 12.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且该梯形的面积为 2,则该梯形的面积为

4



考点: 平面图形的直观图. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 把该梯形的直观图还原为原来的梯形,画出图形,结合图形解答问题即可. 解答: 解:把该梯形的直观图还原为原来的梯形,如图所示; 设该梯形的上底为 a,下底为 b,高为 h, 则直观图中等腰梯形的高为 h′= hsin45°; ∵等腰梯形的体积为 (a+b)h′= (a+b) ? ∴ (a+b) ? h= =4 ; hsin45°=2,

∴该梯形的面积为 4 故答案为:4 .



点评: 本题考查了平面图形的直观图的画法与应用问题,解题时应明确直观图与原来图形 的区别和联系,是基础题目.

13.已知集合 A={(x,y)| 则实数 m 的最小值等于 5 .

},集合 B={(x,y)|3x+2y﹣m=0},若 A∩B≠? ,

考点: 简单线性规划;交集及其运算. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域, 利用 A∩B≠? , 建立直线和平面区域的关系求解即可. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: A∩B≠? 说明直线与平面区域有公共点, 由 3x+2y﹣m=0 得 m=3x+2y. 由图象可知在点 A(1,1)处,函数 m=3x+2y 取得最小值, 此时 m=3+2=5. 故答案为:5.

点评: 本题主要考查线性规划的基本应用, 利用 m 的几何意义是解决线性规划问题的关键, 注意利用数形结合来解决. 14.在集合 M={ , ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,恰满足条件“对? ∈A, 则 ∈A”的集合的概率是 .

考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计.

分析: 先根据集合的定义求出在所有非空子集中任取一个集合,共有 2 ﹣1=31 种,再找到 满足对? ∈A,则 ∈A”的集合的种数,利用古典概型的概率公式求出概率即可 解答: 解:M={ , ,1,2,3}的所有非空子集中任取一个集合,共有 2 ﹣1=31 种, 其中满足条件“对? ∈A,则 ∈A”的有{ ,3},{ ,2},{1},{1, ,3},{1, ,2}, { , ,2,3},{ , ,1,2,3}共 7 种, 故恰满足条件“对? ∈A,则 ∈A”的集合的概率是 故答案为: 点评: 本题考查了根据古典概型的概率公式计算随机事件的概率,属于基础题 15.在四棱柱 ABCD﹣A′B′C′D′中,AA′⊥底面 ABCD,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC 且 AD=AA′=2BC.过 A′,C,D 三点的平面与 BB′交于点 E,F,G 分别为 CC′,A′D′的中点 (如图所示)给出以下判断: ①E 为 BB′的中点; ②直线 A′E 和直线 FG 是异面直线; ③直线 FG∥平面 A′CD; ④若 AD⊥CD,则平面 ABF⊥平面 A′CD; ⑤几何体 EBC﹣A′AD 是棱台. 其中正确的结论是 ①③④⑤ . (将正确的结论的序号全填上)
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考点: 空间中直线与直线之间的位置关系;棱柱的结构特征. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: 利用四棱柱的性质,结合线面关系、面面关系定理对选项分别分析解答. 解答: 解:对于①,∵四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,四边形 ABCD 为梯形,AD∥BC, ∴平面 EBC∥平面 A1D1DA, ∴平面 A1CD 与面 EBC、平面 A1D1DA 的交线平行,∴EC∥A1D ∴△EBC∽△A1AD, ∴ ,

∴E 为 BB1 的中点; 故①正确; 对于②,因为 E,F 都是棱的中点,所以 EF∥B'C',又 B'C'∥A'D', 所以 EF∥A'D',所以 A'E,FG 都在平面 EFD'A'中;故②错误;

对于③,由②可得 EF∥A'G,EF=A'G,所以四边形 A'EFG 是平行四边形,所以 FG∥A'E,又 A'E? 平面 A'CD 中,FG? 平面 A'CD,所以直线 FG∥平面 A′CD 正确; 对于④,连接 AD',容易得到 BF∥AD',所以 ABFD'四点共面,因为 AD⊥CD,AD'在底面的射 影为 AD,所以 CD⊥AD',又 AD'⊥BF,所以 BF⊥CD,又 BF⊥CE,所以 BF⊥平面 A'CD, BF? 平面 ABFD',所以平面 ABF⊥平面 A′CD;故④正确; 对于⑤,由④得到,AB 与 D'F,DC 交于一点,所以几何体 EBC﹣A′AD 是棱台.故⑤正确; 故答案为:①③④⑤. 点评: 本题考查了三棱柱的性质的运用以及其中的线面关系和面面关系的判断, 比较综合. 三.解答题 16.已知 p:1≤x<3;q:x ﹣ax≤x﹣a;若¬p 是¬q 的充分条件,求实数 a 的取值范围. 考点: 专题: 分析: 解答:
2 2

必要条件、充分条件与充要条件的判断. 简易逻辑. 分别求出关于 p,q 的 x 的范围,根据 p,q 的关系,从而确定 a 的范围. 解:p:1≤x<3,

q:x ﹣ax≤x﹣a?(x﹣1) (x﹣a)≤0, ∵¬p? ¬q,∴q? p, ∴a≥1, ∴q:1≤x≤a, ∴实数 a 的范围是:[1,3) . 点评: 本题考查了充分必要条件,考查了命题之间的关系,是一道基础题. 17.根据所给条件求直线 l 的方程. (1)直线 l 经过圆 x +y +2y=0 的圆心,且与直线 2x+y=0 垂直; (2)直线 l 过点(﹣4,8) ,且到原点的距离为 4. 考点: 直线与圆的位置关系;点到直线的距离公式. 专题: 综合题;直线与圆. 分析: (1)由已知中圆的方程,我们先确定出圆的圆心的坐标,然后根据与已知直线垂直 的直线的直线系方程,我们设出与直线 2x+y=0 垂直的直线方程(含参数λ) ,将圆心坐标代 入可以构造一个关于λ的方程,解方程求出λ的值,即可得到答案. (2)当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=﹣4,满足条件.当直线的斜率存在时,设直 线的方程为 y﹣8=k(x+4) ,由 =4,解出 k 值,可得直线方程.
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解答: 解: (1)由已知,圆的标准方程为 x +(y+l) =1,圆心坐标为(0,﹣1) 设与直线 2x+y=0 垂直的直线方程是 x﹣2y+λ=0 则 2+λ=0,所以λ=﹣2 故经过圆 x +y +2y=0 的圆心,且与直线 2x+y=0 垂直的直线方程是 x﹣2y﹣2=0; (2)当直线的斜率不存在时,直线方程为 x=﹣4,满足条件. 当直线的斜率存在时,设直线的方程为 y﹣8=k(x+4) ,即 kx﹣y﹣4k﹣8=0, 由条件得 =4,∴k=﹣ ,故直线方程为 3x+4y﹣20=0.
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综上,直线 l 的方程为 x=﹣4 或 3x+4y﹣20=0. 点评: 本题考查的知识点是直线与圆相交的性质,考查点到直线的距离公式的应用,用待 定系数法求直线方程,体现了分类讨论的数学思想.

18. 如图, 四边形 ABEF 和 ABCD 都是直角梯形, ∠BAD=∠FAB=90°, BE∥AF, BC∥AD, BC= AD, BE= AF,G、H 分别为 FA、FD 的中点. (1)在证明:四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C、D、F、E 四点是否共面?若共面,请证明,若不共面,请说明理由.

考点: 直线与平面平行的性质;平面的基本性质及推论. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (1)由已知得 GH∥AD,GH= AD,又 BC∥AD,BC= AD 故 GH∥BC,GH=BC,由此能证 明四边形 BCHG 是平行四边形. (2)由 BE∥AF,BE= AF,G 是 FA 的中点知,BE∥GA,BR=GA,从而得到四边形 BEFG 是平 行四边形,由此能推导出 C,D,F,E 四点共面. 解答: (1)证明:由题意知,FG=GA,FH=HD 所以 GH∥AD,GH= AD,又 BC∥AD,BC= AD 故 GH∥BC,GH=BC, 所以四边形 BCHG 是平行四边形. (2)C,D,F,E 四点共面.理由如下: 由 BE∥AF,BE= AF,G 是 FA 的中点知,BE∥GF,BE=GF, 所以四边形 BEFG 是平行四边形, 所以 EF∥BG 由(1)知 BG∥CH,所以 EF∥CH,故 EC,FH 共面. 又点 D 在直线 FH 上 所以 C,D,F,E 四点共面.

点评: 本题考查了立体几何中四点共面问题和求二面角的问题,考查空间想象能力,几何 逻辑推理能力,以及计算能力. 19.袋子中放有大小和形状相同的小球若干个,其中标号为 0 的小球 1 个,标号为 1 的小球 1 个,标号为 2 的小球 n 个.已知从袋子中随机抽取 1 个小球,取到标号是 2 的小球的概率 是 . (1)求 n 的值; (2) (2)从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球,记第一次取出的小球标号为 a,第二次取 出的小球标号为 b.记事件 A 表示“a+b=2” ,求事件 A 的概率. 考点: 列举法计算基本事件数及事件发生的概率. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由古典概型公式可得关于 n 的方程,解之即可; (2)由条件列举出所有可能的 基本事件,找出符合的有几个,即可的答案. 解答: 解: (1)由题意可知: = ,解得 n=4.

(2)不放回地随机抽取 2 个小球的所有等可能基本事件为: (0,1) , (0,21) , (0,22) , (0,23) , (0,24) , (1,0) , (1,21) , (1,22) , (1,23) , (1,24) , (21,0) , (21,1) , (21,22) , (21,23) , (21,24) , (22,0) , (22,1) , (22,21) , (21,23) , (21,24) , (23,0) , (23,1) , (23,21) , (23,22) , (23,24) , (24,0) , (24,1) , (24,21) , (24,22) , (24,23) , 共 30 个, 事件 A 包含的基本事件为: (0,21) , (0,22) , (0,23) , (0,24) , (21,0) , (22,0) , (23, 0) , (24,0) ,共 8 个. 故事件 A 的概率 P(A)= =

点评: 本题为古典概型的求解,数准基本事件数是解决问题的关键,属基础题. 20.如图所示,在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=BC=BB1,D 为 AC 的中点. (Ⅰ)求证:B1C∥平面 A1BD; (Ⅱ)若 AC1⊥平面 A1BD,求证 B1C1⊥平面 ABB1A1; (Ⅲ)在(II)的条件下,设 AB=1,求三棱 B﹣A1C1D 的体积.

考点: 直线与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 专题: 空间位置关系与距离. 分析: (I)连结 AB1 交 A1B 于 E,连 ED.由正方形的性质及三角形中位线定理,结合线面 平行的判定定理可得 B1C∥平面 A1BD; (Ⅱ)由 AC1⊥平面 ABD,结合正方形的性质可证得 A1B⊥平面 AB1C1,进而 A1B⊥B1C1,再由 线面垂直的判定定理可得 B1C1⊥平面 ABB1A1. (III) 由等腰三角形三线合一可得 BD⊥AC. 再由面面垂直的性质定理得到 BD⊥平面 DC1A1. 即 BD 就是三棱锥 B﹣A1C1D 的高.代入棱锥的体积公式,可得答案. 解答: 证明: (I)连结 AB1 交 A1B 于 E,连 ED. ∵ABC﹣A1B1C1 是三棱柱中,且 AB=BB1, ∴侧面 ABB1A 是一正方形. ∴E 是 AB1 的中点,又已知 D 为 AC 的中点. ∴在△AB1C 中,ED 是中位线. ∴B1C∥ED. 又∵B1C? 平面 A1BD,ED? 平面 A1BD ∴B1C∥平面 A1BD.…(4 分) (II)∵AC1⊥平面 ABD,A1B? 平面 ABD, ∴AC1⊥A1B, 又∵侧面 ABB1A 是一正方形, ∴A1B⊥AB1. 又∵AC1∩AB1=A,AC1,AB1? 平面 AB1C1. ∴A1B⊥平面 AB1C1. 又∵B1C1? 平面 AB1C1. ∴A1B⊥B1C1. 又∵ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, ∴BB1⊥B1C1. 又∵A1B∩BB1=B,A1B,BB1? 平面 ABB1A1. ∴B1C1⊥平面 ABB1A1.…(8 分) 解: (III)∵AB=BC,D 为 AC 的中点, ∴BD⊥AC. ∴BD⊥平面 DC1A1. ∴BD 就是三棱锥 B﹣A1C1D 的高. 由(II)知 B1C1⊥平面 ABB1A1,∴BC⊥平面 ABB1A1. ∴BC⊥AB.∴△ABC 是直角等腰三角形.

又∵AB=BC=1 ∴BD= ∴AC=A1C1= ∴三棱锥 B﹣A1C1D 的体积 V= ? BD? = ? A1C1? AA1=K= …(12 分)

点评: 本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定,棱锥的体积, 熟练掌握空间线面平行,线面垂直的判定定理是解答的关键. 21.已知直线 l:kx﹣y﹣2﹣k=0(k∈R) . (1)证明:直线过 l 定点; (2)若直线不经过第二象限,求 k 的取值范围; (3)若直线 l 交 x 轴正半轴于 A,交 y 轴负半轴于 B,△AOB 的面积为 S,求 S 的最小值并 求此时直线 l 的方程. 考点: 直线的一般式方程;恒过定点的直线. 专题: 直线与圆. 分析: (1)直线 l:kx﹣y﹣2﹣k=0(k∈R)化为 k(x﹣1)﹣y﹣2=0,令 解得即可得出; (2)由方程可知:k≠0 时,直线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为: ,﹣2﹣k.由于直线 ,

不经过第二象限,可得

,解得 k.当 k=0 时,直线变为 y=﹣2 满足题意.

(3)由直线 l 的方程可得 A

,B(0,﹣2﹣k) .由题意可得

,解

得 k>0.S=

=

? |﹣2﹣k|=

=

,利用基本

不等式的性质即可得出. 解答: (1)证明:直线 l:kx﹣y﹣2﹣k=0(k∈R)化为 k(x﹣1)﹣y﹣2=0,



,解得 x=1,y=﹣2,

∴直线 l 过定点 P(1,﹣2) . (2)解:由方程可知:k≠0 时,直线在 x 轴与 y 轴上的截距分别为: ∵直线不经过第二象限, ∴ ,解得 k>0.当 k=0 时,直线变为 y=﹣2 满足题意. ,﹣2﹣k.

综上可得:k 的取值范围是[0,+∞) ; (3)解:由直线 l 的方程可得 A ,B(0,﹣2﹣k) .

由题意可得

,解得 k>0.

∴S=

=

? |﹣2﹣

k|=

=

=4.当且仅当 k=2 时取等号.

∴S 的最小值为 4,此时直线 l 的方程为 2x﹣y﹣4=0. 点评: 本题考查了直线系的应用、直线交点的性质、三角形面积计算公式、基本不等式的 性质、直线的截距,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.


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