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数学与思维发展的关系


数学与思维发展的关系
人类的思维是后天形成的,思维受到各 种因素的影响,并表现出多面性。但符合逻 辑的、精密的、深刻的、聪慧的思维是每个 人希望达到的最高境界之一。 数学与数学教育如此受重视,不完全是 因为其广泛的用途,也不能完全从应用的角 度来看待数学。在上一讲中我们说明了数学 能提供观察世界的一般观念和方法外,实际 上数学对人的其他发展,尤其是对人的思维 发展有不可或缺的作用和价值,数学是为人 的更完美发展提供了良好训练。

数学与思维发展的关系
人们常把数学形容为思维的体操。 培根说过,哲理使人深刻,诗歌使人聪 慧,演算使人精密。其实数学不单单使 人精密,数学同样也使人深刻,使人聪 慧! 哲学、诗歌——不要求每人都会 数学——每人必须会

1、归纳与完全归纳
思维的一种形式是归纳。那么归纳性质的表征 是什么呢?所谓归纳,是指通过对有限多个同类 对象的观察分析,猜测一种共性或规律,并证明 这种共性的确是正确的一种思维方法。 当“同类对象”为有限多个时,我们将对象一 一验证就可获得结论(对或错);但当“同类对 象”无法穷举或实际上就是无限多时,我们原有 的思维方法就无法具有说服力了。因此必须寻找 一种处理无限的思维方法.即在数学上所要求的完 全归纳,确保其正确性.

1、归纳与完全归纳
我们熟悉的完全归纳法——数学归纳法。 我们来看一些(非完全归纳)例子。
二项式 f ( x) = x 2 + x + 11 满 足 : f (1) = 1 3, f ( 2 ) = 1 7 , f (3) = 2 3 , f ( 4 ) = 3 1 都是素数,那么是否可以下结语: 对 所 有 的 n, f ( n ) 是 素 数 ? 显 然 不 能 。 实 际 上 f (1 0 ) = 1 2 1 = 1 1 × 1 1就 不 是 素 数 。

1、归纳与完全归纳
有趣的是二项式 f ( x) = x 2 + x + 72491 满 足 : f ( n )当 n < 7 2 4 9 0 时 都 是 素 数 , 那 么 是 否 可以下结语: 对 所 有 的 n, f ( n ) 是 素 数 ? 也 不 能 。 实 际 上 f (7 2 4 9 0 ) = 7 2 4 9 0 2 + 7 2 4 9 0 + 7 2 4 9 1 = 724902 + 2 × 72490 + 1 = 7 2 4 9 12 就不是素数。

1、归纳与完全归纳
在来看关于x ? 1的分解式:
n

x 2 ? 1 = ( x ? 1)( x + 1) x3 ? 1 = ( x ? 1)( x 2 + x + 1) x 4 ? 1 = ( x ? 1)( x + 1)( x 2 + 1) x ? 1 = ( x ? 1)( x + x + x + x + 1)
5 4 3 2

是否可以下结论:x n ? 1的整系数分解式中, x的系数只可能是0,1, ?1呢?回答是否定的。

1、归纳与完全归纳
有一位老兄发现了x -1中有如下的一项: x + x + x ? x ? x ? 2x ? x ?L? 2x ?L+1.
48 47 46 43 42 41 40 7 105

这说明,考察一组对象的性质或规律时, 可能出错。究其原因在于对于“无穷多” 的思维方式不能按照“有限多”方式来处 理,否则容易出现问题。这种方法通常成 为不完全归纳。

1、归纳与完全归纳
数学对归纳的完全性是要求十分严格, 其意义不仅对所有的自然科学是重要的,而 且对人文社会科学也是重要的。借鉴数学思 维的严格性,可以大大提高社会科学学科的 科学性。以例带证的方法属于不完全归纳, 显然不能令人信服。目前许多社会科学学科 还是按照这种方式来解释其命题,科学性显 然要遭到质疑。 社会科学; 实验学科;

2、逻辑思维的代表:演绎
当归纳具有完全性时,其方法可以说属 于逻辑的范畴了。逻辑思维的代表之一是演 绎思维。 演义思维最早来自几何学,其影响之广 泛使得人们特别看重演绎科学的地位。实际 上,一门学科是否为成熟的是以它是否已形 成一套演绎体系(公理体系)为标志的。 数学的这一特点是与它极强的逻辑性和 抽象性紧密联系在一起的。

2、逻辑思维的代表:演绎
抽象:强抽象 弱抽象。
任意四边形 菱形 正方形 凸四边形 矩形 梯形 平行四边形

2、逻辑思维的代表:演绎
例子:函数概念的演变过程。 17世纪:幂函数(多项式)的代名词。 18世纪:表达式(初等函数)。欧拉给出了y=f(x)的表示。 初等函数——非初等函数(级数、积分表示)——解析表 达式(一个式子)——分段函数(伪函数,柯西引入了 “对应”术语,但还是解析式子)——Dirichlet函数:

?0 当x为无理数时 D( x) = ? ?1 当x为无理数时
Dirichlet函数不但从表达式上突破了解析式的限制,而 且还对“凡函数至少在一点连续”提出了挑战。

2、逻辑思维的代表:演绎
但是 D( x) = lim(lim(cos m !π x) 2 n ).
m →∞ n →∞

虽然这个表达式是认为构造的,带有主 观性质,但它却推动了人们对函数本质 的客观认识。这也反映了认识论中的基 本内涵。主观判断主观事物一定要小心, 不要把主观臆相混同于主观构想。科学 需要主观构想的。

2、逻辑思维的代表:演绎 Dirichlet函数——对应规则(何 为对应?)——有序对(x,y) (新概念)——集合函数(泛 函)——广义函数(δ函数)— —...... 上述过程实际上就是演绎思维 弱抽象的例子.

2、逻辑思维的代表:演绎
再以函数为例给出强抽象的例子. 连续性问题解决后,出现了可微性问题.f(x)=|x|是 连续但在0点不可微的例子. 问题:连续函数至少有一个可微点? Weiestrauss构造了一个处处连续但处处不可微的 例子, ∞ 3 n n f ( x) = ∑ b cos(a π x), a是奇数, < b < 1, ab > 1 + π . 0 2 n=0 这个例子让数学家惊叹:直观似乎告诉我们不可能 有这种函数,直观欺骗了我们.

2、逻辑思维的代表:演绎
函数——连续函数——不可微函数——处处 连续处处不可微函数。 强抽象过程。但抽象性依然很强。 数学的抽象方法很多,需要学习和实践 逐步加深了解,在你领会的同时,抽象思维 能力就得到了加强和提高。 需要说明的是,逻辑思维是抽象思维,但抽 象思维不一定是逻辑的。数学的逻辑性特点 使得数学训练直接有利于发展人的逻辑思维, 其作用特别突出。


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