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(江苏版)2018年高考数学一轮复习(讲+练+测): 专题5.4 平面向量应用(练)

专题 5.4 平面向量应用 【基础巩固】 一、填空题 1.已知向量 a 与 b 的夹角为 60°,且 a=(-2,-6),|b|= 10,则 a·b=________. 【答案】10 【解析】因为 a=(-2,-6), 所以|a|= ?-2? +?-6? =2 10, 又|b|= 10,向量 a 与 b 的夹角为 60°, 1 所以 a·b=|a|·|b|·cos 60°=2 10× 10× =10. 2 → → → → 2 2. 在△ABC 中, (BC+BA)·AC=|AC| , 则△ABC 的形状一定是________三角形(填“等边”、 “等腰”、“直角”、“等腰直角”). 【答案】直角 2 2 → → 3.(2017·深圳调研)在△ABC 中,AB=AC=2,BC=2 3,则AB·AC=________. 【答案】-2 【解析】由余弦定理得 cos A= AB2+AC2-BC2 22+22-?2 3?2 1 = =- , 2AB·AC 2×2×2 2 → → → → 所以AB·AC=|AB|·|AC|cos A ? 1? =2×2×?- ?=-2. ? 2? → 1→ 1→ 4.(2017·扬州中学质检)设 O 是△ABC 的外心(三角形外接圆的圆心).若AO= AB+ AC, 3 3 则∠BAC 等于________(用角度表示). 【答案】60° → → → → → 【解析】取 BC 的中点 D,连接 AD,则AB+AC=2 AD.由题意得 3AO=2AD,∴AD 为 BC 的中线 且 O 为重心.又 O 为外心,∴△ABC 为正三角形,∴∠BAC=60°. 5.(2017·南京师大附中模拟)在平面内,若 A(1,7),B(5,1),M(2,1),点 P 是直线 OM 上 → → 的一个动点,且PA·PB=-8,则 cos∠APB=________. 4 17 【答案】- 17 6.(2017·苏北四市模拟)已知向量 a=(cos θ ,sin θ ),向量 b=( 3,-1),则|2a- b|的最大值与最小值的和为________. 【答案】4 π? ? 2 【解析】 由题意可得 a·b= 3cos θ -sin θ =2cos?θ + ?, 则|2a-b|= ?2a-b? = 6 ? ? 4|a| +|b| -4a·b= 为 4. 2 2 π? ? 8-8cos?θ + ?∈[0,4],所以|2a-b|的最大值与最小值的和 6? ? ? π π? 7.(2017·苏州调研)已知 m=(cos α ,sin α ),n=(2,1),α ∈?- , ?,若 m·n=1, ? 2 2? 3π ? ? 则 sin?2α + ?=________. 2 ? ? 【答案】- 7 25 2 2 【解析】因为 m·n=2cos α +sin α =1,所以 sin α =1-2cos α ,代入 sin α +cos α ? ? π π ?? 解得 cos α =4或 cos α =0(舍去), 2 =1 中, 整理得 5cos α -4cos α =0?α ∈?- , ??, 5 ? ? 2 2 ?? 3π ? 7 ? 2 故 sin?2α + ?=-cos 2α =1-2cos α =- . 2 ? 25 ? → → 8.(2017·南京、盐城模拟)在△ABC 中,A=120°,AB=4.若点 D 在边 BC 上,用BD=2DC, AD= 2 7 ,则 AC 的长为________. 3 【答案】3 1→ 2→ → → → → 2→ → 2 → → → 2 【解析】由题意可得 AD = AB + BD = AB + BC = AB + ( AC - AB ) = AB + AC ,则 | AD | = 3 3 3 3 4 → 2 28 16 4 → 2→?2 1 → 2 4 → → → ? 1? 4 → 2 ?1AB 即 = + ×4|AC|×?- ?+ |AC| , ?3 +3AC? =9|AB| +9·|AB|·|AC|cos A+9|AC| , 9 9 9 ? ? ? 2? 9 → 2 → → 化简得|AC| -2|AC|-3=0,解得|AC|=3,即 AC 的长为 3. 二、解答题 9.(2017·泰州模拟)在△ABC 中,角 A,B 的对边分别为 a,b,向量 m=(cos A,sin B), n=(cos B,sin A). (1)若 acos A=bcos B,求证:m∥n; (2)若 m⊥n,a>b,求 tan A-B 2 的值. (1)证明 因为 acos A=bcos B, 所以 sin Acos A=sin BcosB,所以 m∥n. (2)解 因为 m⊥n,所以 cos Acos B+sin Asin B=0, 即 cos(A-B)=0, 因为 a>b,所以 A>B, 又 A,B∈(0,π ),所以 A-B∈(0,π ), π A-B π 则 A-B= ,所以 tan =tan =1. 2 2 4 ? ? ? ? 10.(2017·南通调研)已知向量 m=? 3sin ,1?,n=?cos ,cos ?. 4 ? 4 4? ? ? x x 2 x (1)若 m·n=1,求 cos? ?2π -x?的值; ? ? 3 ? (2)记 f(x)=m·n,在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且满足(2a-c)cos B =bcos C,求 f(A)的取值范围. 1 π 2π ∴cos B= ,B= .∴0<A< . 2 3 3 π A π π 1 ?A π ? ∴ < + < , <sin? + ?<1. 6 2 6 2 2 ?2 6 ? ?x π ? 1 又∵f(x)=m·n=sin? + ?+ , ?2 6 ? 2 3 ?A π ? 1 ∴f(A)=sin? + ?+ ,故 1<f(A)< . 2 6

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