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全国高中物理竞赛动量守恒专题训练题答案


练习 1 如图所示,质量为 m 的人从长为 l 质量为 M 的铁板一端匀加速跑向另一端,并在 另一端骤然停住。一直铁板与水平面间摩擦系数为 ? ,人与铁板 间的摩擦系数为 ? ? ,且 ? ? ? ? 。试求人使铁板朝其跑动方向移 动的最大距离 L 。 解 设人以不致引起铁板移动的最大加速度奔跑, 此时铁板受 两个方向相反摩擦力作用而平衡,且 f ? ( M ? m) g ? 人的加速度 f a? f M? m ? g? m m 人跑动时间 t? 2lm ( M ? m) g ? 研究整体,有 ft ? mv 人在板上停住后,地面滑动摩擦力反向,而大小不变,故至完全停止所需时间仍为 t , 人与板共同作匀减速直线运动,移动最大距离为 L? 1 f 1 (M ? m )? g 2l m ?t2 ? ? ? 2M? m 2 M ? m ( M? m )? g m l. M ? m 练习 2 将长为 l 的 n 块相同均质砖块逐一叠放,如图所示,问最大突出距离为多少? 解 设想先放最高的砖块,逐一往下叠放,为使第一块不倒下,第二块的右端必须在第一 块砖重心以右,在临界情况下,可使之恰在重心的 x2 正下方。同理,第三块砖的右端必须放在 1、2 两块 x3 砖共同的重心的正下方,如此类推。设第二块砖的 右端与第一块砖的右端距离为 x2 ,第三块砖的右端 与第一块砖的右端距离为 x3 ,等等。利用重心即质 心的性质,则有 … xn x2 ? l 2 l x2 ? ( x2 ? ) 2 ? x ? l ? x ? 1 ?l x3 ? 2 2 2 4 2 2 l 2 x3 ? ( x3 ? ) 2 ? x ? 1 ?l x4 ? 3 3 3 2 ? ? ? l (i ? 2) xi ?1 ? ( xi ?1 ? ) 2 ?x ? 1 l xi ? i ?1 i ?1 i ?1 2 所以 1 l 1 l 1 l ? ? xn ? 2 ? ? ? ? ?? ? ?? n ?1 2 n ? 2 2 n ?1 2 n 1 l l n 1 l n ?1 1 ? ? ? ? ? 2 i ? 2 i ? 1 2 i ?1 i i ?2 i ? 1 2 xn ? xn ?1 ? xn 即为所求的最大突出距离,当 n ?? 时, xn 为发散的。 练习 3 一长方形均匀薄板 AB,可绕通过其重心、垂直于 长度方向的固定水平轴 O (垂直于纸面)自由转动,如图所 示。在板上轴 O 左侧距 O 点为 L 处以轻绳悬挂一质量为 m 的物体。在轴 O 的右侧板上放一质量也是 m 的立方体,立 方体边长以及其左侧面到轴 O 的距离均为 l 。已知起始时板 处于水平位置,挂物与地面相接触,轻绳紧绷,整个系统处 于平衡状态。 现在立方体右侧面中心处施一沿水平方向向右 A O L l m B m 的力 F 去拉它,若用符号 ? 表示立方体与板面间的静摩擦系数,当 F 从零开始逐渐增大至 某一数值时,整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论:可能出现几种平衡状态被破坏的 情况?每种情况出现的条件是什么?要求在以 ? 为纵坐标、 x ( 2L ? 3 )为横坐标的图中, l 画出可能出现这几种情况的区域。 解 起始时 F ? 0 ,一直系统处于静止状态,且绳是绷紧的,用 T 表示绳中张力,由力 矩平衡方程可知 l TL ? mg (l ? ) . 2 因为重物静止在地面上,所以有 (1) T ? mg (2) 由以上两式可得 . O l

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