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全国高中物理竞赛动量守恒专题训练题答案

练习 1 如图所示,质量为 m 的人从长为 l 质量为 M 的铁板一端匀加速跑向另一端,并在 另一端骤然停住。一直铁板与水平面间摩擦系数为 ? ,人与铁板 间的摩擦系数为 ? ? ,且 ? ? ? ? 。试求人使铁板朝其跑动方向移 动的最大距离 L 。 解 设人以不致引起铁板移动的最大加速度奔跑, 此时铁板受 两个方向相反摩擦力作用而平衡,且 f ? ( M ? m) g ? 人的加速度 f a? f M? m ? g? m m 人跑动时间 t? 2lm ( M ? m) g ? 研究整体,有 ft ? mv 人在板上停住后,地面滑动摩擦力反向,而大小不变,故至完全停止所需时间仍为 t , 人与板共同作匀减速直线运动,移动最大距离为 L? 1 f 1 (M ? m )? g 2l m ?t2 ? ? ? 2M? m 2 M ? m ( M? m )? g m l. M ? m 练习 2 将长为 l 的 n 块相同均质砖块逐一叠放,如图所示,问最大突出距离为多少? 解 设想先放最高的砖块,逐一往下叠放,为使第一块不倒下,第二块的右端必须在第一 块砖重心以右,在临界情况下,可使之恰在重心的 x2 正下方。同理,第三块砖的右端必须放在 1、2 两块 x3 砖共同的重心的正下方,如此类推。设第二块砖的 右端与第一块砖的右端距离为 x2 ,第三块砖的右端 与第一块砖的右端距离为 x3 ,等等。利用重心即质 心的性质,则有 … xn x2 ? l 2 l x2 ? ( x2 ? ) 2 ? x ? l ? x ? 1 ?l x3 ? 2 2 2 4 2 2 l 2 x3 ? ( x3 ? ) 2 ? x ? 1 ?l x4 ? 3 3 3 2 ? ? ? l (i ? 2) xi ?1 ? ( xi ?1 ? ) 2 ?x ? 1 l xi ? i ?1 i ?1 i ?1 2 所以 1 l 1 l 1 l ? ? xn ? 2 ? ? ? ? ?? ? ?? n ?1 2 n ? 2 2 n ?1 2 n 1 l l n 1 l n ?1 1 ? ? ? ? ? 2 i ? 2 i ? 1 2 i ?1 i i ?2 i ? 1 2 xn ? xn ?1 ? xn 即为所求的最大突出距离,当 n ?? 时, xn 为发散的。 练习 3 一长方形均匀薄板 AB,可绕通过其重心、垂直于 长度方向的固定水平轴 O (垂直于纸面)自由转动,如图所 示。在板上轴 O 左侧距 O 点为 L 处以轻绳悬挂一质量为 m 的物体。在轴 O 的右侧板上放一质量也是 m 的立方体,立 方体边长以及其左侧面到轴 O 的距离均为 l 。已知起始时板 处于水平位置,挂物与地面相接触,轻绳紧绷,整个系统处 于平衡状态。 现在立方体右侧面中心处施一沿水平方向向右 A O L l m B m 的力 F 去拉它,若用符号 ? 表示立方体与板面间的静摩擦系数,当 F 从零开始逐渐增大至 某一数值时,整个系统的平衡状态将开始被破坏。试讨论:可能出现几种平衡状态被破坏的 情况?每种情况出现的条件是什么?要求在以 ? 为纵坐标、 x ( 2L ? 3 )为横坐标的图中, l 画出可能出现这几种情况的区域。 解 起始时 F ? 0 ,一直系统处于静止状态,且绳是绷紧的,用 T 表示绳中张力,由力 矩平衡方程可知 l TL ? mg (l ? ) . 2 因为重物静止在地面上,所以有 (1) T ? mg (2) 由以上两式可得 . O l L T m F l 3 mgL ? mg l , 2 2L x?( ?3 ) ? . 0 即 l 这是 L 和 l 必须满足的条件. 开始破坏原来的平衡有几种可能: 若立方体发生滑动,则要求 m (3) F ?? mg . l l ? mg 2 2 (4) 若立方体不发生滑动而绕右下棱转动,则由转动定律可知,此时应满足的条件为 F 即 F ? mg . (5) 若立方体既不滑动也不转动而板发生偏转,由于此时立方体和板之间无相对运动,可 将立方体和板作为一个整体对待,它们所受的外力有 F 、立方体的重力和绳子的张力,如 果板发生偏转,则左侧的重物将离地,绳中的张力等于 mg 。由转动定律可知,板发生偏转 应满足的条件为 F l 3 ? mg l ? mgL 即 2 2 F ?( 2L ? 3 )m g ? x m. g l (6) F 逐渐增大时究竟发生什么运动,取决于上述(4) 、 (5) 、 (6)式三个条件哪个先被满 足,实际上这取决于 ? 、 l 和 L 的值。 下面就通过比较(4) 、 (5) 、 (6)三个条件,作出判断如下: (1)当 ? ? 1 , ? ? x ,则首先满足的是 F ? ? mg ,故首先发生立方体滑动; ( 2)当 ? ? 1 , x ? 1 ,则 F ? mg 首先被满足, 即首先发生立方体绕其右下棱转动; (3)当 x ? 1 , x ? ? , F ? xmg 首先被满足,即 首先发生板偏转。 由上述各种情况判断,可得图(a). ? 板 偏 转 立方体翻转 立方体滑动 ? ?1 0 x ?1 (a) 2L x? ?3 l x 练习 4 三个质量分别为 3m 、 2 m 、 m 的小球 A、B、C 由两根长度相等的细绳相连,如图所示,放置在光滑水平桌 面上。三个小球正好位于正三角形的三个顶点位置,细绳正 好拉直。 现小球 A 以速度 v0 沿平行于 BC 的方向运动, 求细 绳刚拉紧时小球 C 的速度。 解 方法一:取 x 、 y 方向如图(a)所示,设细绳拉紧 时 AB 和 BC 绳中张力的冲量分别为 I1 、I 2 , 对 A 球来说, 它只受冲量 I1 ( ? y 方向)的作用,故它的动量沿 x 方向 的分量保持不变。设绳拉紧时 A 球的速度为 vA ,可表示 为 C?

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