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【数学】2010-2011学年同步精品学案(人教A版必修1)第2章基本初等函数Ⅰ21指数函数

§2.1 指数函数
2.1.1 指数与指数幂的运算
1.根式的两条基本性质 (1)性质 1:(n a)n=a (n>1,n∈N*,当 n 为奇数时,a∈R; 当 n 为偶数时,a≥0). 当 n 为奇数时,n a表示 a 的 n 次方根,由 n 次方根的定义,得(n a)n=a; 当 n 为偶数时,n a表示正数 a 的正的 n 次方根或 0 的 n 次方根,由 n 次方根的定义, 得(n a)n=a. 若 a<0,n 为偶数,则n a没有意义.如( -2)2≠-2. (2)性质 2:n an=?????|aa,|,nn为为奇偶数数 (n>1,n∈N*). 当 n 为奇数时,∵an=an, ∴a 是 an 的 n 次方根,即 a=n an; 当 n 为偶数时,(|a|)n=an≥0, ∴|a|是 an 的 n 次方根, 即|a|= n an=?????a-,aa,≥a0<,0. 如4 (-2)4=2. 2.整数指数幂的运算性质对于实数指数幂也同样适用 即对任意实数 r,s,均有 (1)aras=ar+s (a>0,r,s∈R)(指数相加律); (2)(ar)s=ars (a>0,r,s∈R) (指数相乘律); (3)(ab)r=arbr (a>0,b>0,r∈R)(指数分配律) 要注意上述运算性质中,底数大于 0 的要求
.
题型一 有理指数幂的混合运算
计算下列各式:
(1)??253??0+2-2·??214??-12-(0.01)0.5; (2)??-338??-23+(0.002)-12-10( 5-2)-1+( 2- 3)0.

分析 负化正,大化小,根式化为分数指数幂,小数化分数,是简化运算的常用技巧.

解 (1)原式=1+14×??49??12-??1100??12

=1+16-110=1156.

(2)原式=(-1)-23??383??-23+??5100??-12-

10 +1 5-2

=??287??-23+(500)12-10( 5+2)+1
=49+10 5-10 5-20+1=-1967.

点评 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数

为分数进行运算,便于进行乘除、乘方、开方运算,以达到化繁为简的目的.

求值问题

题型二 有理数指数幂的化简

化简:(1)aa21- +bb12-a+ab21--2ba1212·b12;

a2 (2)

(a>0).

a·3 a2



(a12+b21)(a12-b12) (a12-b21)2

(1)原式=

1 1 -1 1

a2+b2

a2-b2

=a12-b12-(a12-b12)=0.

(2)原式=

a2 1

2=a2-12-23=a56= 6

a5.

a2·a3

点评 一般地,进行指数幂运算时,化负指数为正指数,化根式为分数指数幂,化小数

为分数进行运算,便于进行乘、除、乘方、开方运算,可以达到化繁为简的目的.利用乘法 公式解决分数指数幂的化简求值问题,是简化运算的常用方法,熟练掌握 a=(a12)2 (a>0),a =(a13)3 以及 ab-a-b=(ab2+a-b2)(ab2-a-b2)等变形.

题型三 灵活应用——整体代入法

分析

已知 x+y=12,xy=9,且 x<y,求xx1212- +yy2121的值. 一般不宜采用直接求值的方法,要考虑把 x+y 及 xy 整体代入求值.



xx1212- +yy2121=(x21+(xy1212-)(xy1212)-2 y12)=(x+yx)--y2(xy)21.①

∵x+y=12,xy=9,②

∴(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108.

∵x<y,∴x-y=-6 3.③

将式②、③代入式①得

x12-y21 12-2×912 x12+y12= -6 3 =-

3 3.

点评 “整体代入”方法在条件求值中非常重要,也是高中数学的一种重要的解题思

想、解题方法,它反映了我们“把握全局”的能力.解题过程中不宜求出 x、y 后再代入,

而应考虑把 x+y 及 xy 整体代入求值.

化简:(1-a)[(a-1)-2(-a)12]12. 错解 (1-a)[(a-1)-2(-a)12]12 =(1-a)(a-1)-1·(-a)14=-(-a)14. 错因分析 错解的原因在于忽略了题中有(-a)12,即相当于告知-a≥0,故 a≤0,这样, [(a-1)-2]12≠(a-1)-1. 正解 由(-a)12知-a≥0,故 a-1<0, ∴(1-a)[(a-1)-2·(-a)12]12 =(1-a)(1-a)-1(-a)14=(-a)14.

本节在高考中主要以选择题或填空题的形式考查,往往以考查基本知识为主. 1.(潍坊模拟)若 a>1,b>0,且 ab+a-b=2 2,则 ab-a-b 的值为( )
A. 6 B.2 或-2 C.-2 D.2 解析 ∵(ab+a-b)2=8?a2b+a-2b=6, ∴(ab-a-b)2=a2b+a-2b-2=4. 又 ab>a-b (a>1,b>0),∴ab-a-b=2. 答案 D
2.(全国高考)如果 a3=3,a10=384,a3????aa130??71??n-3=________.

解析 原式=3????3384??71??n-3=3·(12817)n-3=3·2n-3.
答案 3·2n-3

1.当 a>0 时,下列式子中正确的是( )

A.a23+a-23=0 B.a32·a23=a C.a23÷a13=a2 D.(a-12)2=1a 答案 D 2.若(2x-6)x2-5x+6=1,则下列结果正确的是( ) A.x=2 B.x=3 C.x=2 或 x=72 D.非上述答案 答案 C
解析 由 x2-5x+6=0,得(x-2)(x-3)=0.
∴x=2 或 x=3,但 x=3 时,00 无意义.
由 2x-6=1,得 x=72.故 x=2 或 x=72. 3.若 a+a-1=3,则 a2+a-2 的值为( ) A.9 B.6 C.7 D.11 答案 C
解析 a2+a-2=(a+a-1)2-2=32-2=7.

4.根据 n 次方根的意义,下列各式:①(n a)n=a;②n an不一定等于 a;③n 是奇数时,
n an=a;④n 为偶数时,n an=|a|.其中正确的有( ) A.①②③④ B.①③④ C.①②③ D.①②④ 答案 A 解析 按分数指数幂规定①②③④全正确.

5.化简 a3b23 ab2 (a>0,b>0)的结果是(

)

(a14b12)4 3

b a

b A.a

B.ab

C.a2b

a D.b

答案 解析

D (a3·b2·a13·b23)12
原式= a·b2·a-31·b13

=a32+16-1+13·b1+13-2-13=ab.

6.计算:??14??-2+??6 1 2??0-2713=________.

答案 14 解析 原式=(2-2)-2+1-33×13=24+1-3=14.
7.(1)计算:0.027-13-??-16??-2+2560.75+??? 31-1???0-3-1;
(2)若 2x+2-x=3,求 8x+8-x 的值.
解 (1)原式=(0.33)-13-??-116??2+(28)34+1-13
=0.3-1-36+64+1-13 10 1
= 3 -3-36+64+1=32. (2)∵8x+8-x=(2x)3+(2-x)3 =(2x+2-x)[(2x)2-2x·2-x+(2-x)2] =3[(2x+2-x)2-3·2x·2-x] =3×(32-3)= 18
学习目标 1.了解指数函数模型的实际背景,体会引入有理数指数幂的必要性. 2.理解有理数指数幂的含义,知道实数指数幂的意义,掌握幂的运算.
自学导引 1.如果一个数的 n 次方等于 a(n>1,且 n∈N*),那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 2.式子n a叫做根式,这里 n 叫做根指数,a 叫做被开方数. 3.(1)n∈N*时,(n a)n=a. (2)n 为正奇数时,n an=a;n 为正偶数时,n an=|a|. 4.分数指数幂的定义:(1)规定正数的正分数指数幂的意义是:amn =n am(a>0,n、m∈N*, 且 n>1); (2)规定正数的负分数指数幂的意义是:a-mn = 1m(a>0,n、m∈N*,且 n>1);
an (3)0 的正分数指数幂为 0,0 的负分数指数幂没有意义. 5.有理数指数幂的运算性质: (1)aras=ar+s(a>0,r、s∈Q); (2)(ar)s=ars(a>0,r、s∈Q); (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q)
.

一、根式的化简与求值

例 1 求下列各式的值:

5 (1)

(-3)5;(2) 4

(-9)2;

(3) (a-b)2.



5 (1)

(-3)5=-3.

4 (2)

(-9)2= 4

81= 4

34=3.

??a-b (a>b)

? (3) (a-b)2= 0 (a=b)

.

??b-a (a<b)

点评 解决根式的化简问题,首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式,然后运用根式
的性质进行解答. 变式迁移 1 计算下列各式的值:

3 (1)

(-8)3;

(2) (-10)2;

3 (3)

(3-π)3.



3 (1)

(-8)3=-8.

(2) (-10)2=|-10|=10.

3 (3)

(3-π)3=3-π.

二、根式与分数指数幂的互化
例 2 用分数指数幂的形式表示下列各式(式中 a>0): (1)a2· a;(2)a3·3 a2;(3) a a. 分析 先将根式写成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质化简即可. 解 (1)a2· a=a2·a12=a2+12=a52. (2)a3·3 a2=a3·a23=a3+23=a131. (3) a a=(a·a12)12=(a32)12=a34. 点评 此类问题应熟练应用 amn =n am (a>0,m,n∈N*,且 n>1).当所求根式含有多 重根号时,要搞清被开方数,由里向外用分数指数幂写出,然后再用性质进行化简. 变式迁移 2 将下列根式化成分数指数幂的形式:

(1) 1 ; 3 x(5 x2)2

4 (2)(

b-23)-23

(b>0).

解 (1)原式= 1 = 1 = 1

3 x·(x25)2

34 x·x5

39 x5



1 9

1=

13=x-35.

(x5)3 x5

(2)原式=[(b-23)14]-23=b-23×14×??-23??=b19.

三、利用幂的运算性质化简、求值

例 3 计算下列各式:
(1)(0.064)-13-??-78??0+[(-2)3]-43+16-0.75+|-0.01|12;

3 (2)

9 a2

a-3÷

3 a-7·3 a13 (a>0).

解 (1)原式=[(0.4)3]-13-1+(-2)-4+2-3+[(0.1)2]12 =(0.4)-1-1+116+18+0.1=18403.
9 3 1 7 13 1 (2)原式=(a2·a-2)3÷(a-3·a 3 )2 =a13×3-12×2=a0=1.

点评 (1)在进行幂和根式的化简时,一般是先将根式化成幂的形式,并化小数指数幂

为分数指数幂,并尽可能地统一成分数指数幂的形式,再利用幂的运算性质进行化简、求值、

计算,以便于运算,达到化繁为简的目的.

(2)对于根式计算结果,不强求统一的表示形式.一般地用分数指数幂的形式来表示.如

果有特殊要求,则按要求给出结果.但结果中不能同时含有根号和分数指数,也不能既含有

分母又含有负指数,即结果必须化为最简形式. 变式迁移 3 化简:

1.5-13×??-76??0+80.25×4 2+(3 2× 3)6- ??-23??23. 解 原式=?31?1×1+234×214+22×33-??23??23×12
?2?3 =??23??13+2+108-??23??13=110.

1.理解好方根的概念,是进行根式的计算和化简的关键. 2.将根式转化为分数指数幂是化简求值的关键. 3.正整数指数幂的运算性质对于实数指数幂仍然适用,只是底数的范围缩小为 a>0.(想 一想,为什么?)

一、选择题

1.下列运算中,正确的是( ) A.a2·a3=a6 B.(-a2)5=(-a5)2 C.( a-1)0=0 D.(-a2)5=-a10 答案 D
2.化简 (x+3)2-3 (x-3)3得( ) A.6 B.2x C.6 或-2x D.-2x 或 6 或 2x 答案 C
解析 原式=|x+3|-(x-3)

??x+3-(x-3),

x≥-3 ??6, x≥-3

=?

=?

??-x-3-(x-3), x<-3

??-2x, x<-3

3

4

3.( 4 a6)2·( 3 a6)2 等于( )

A.a B.a2 C.a3 D.a4

答案 B

4.把根式-25 (a-b)-2改写成分数指数幂的形式为( )

A.-2(a-b)-25 B.-2(a-b)-52

C.-2(a-25-b-25) D.-2(a-52-b-52)

答案 A

5.化简(a43b12)÷??-13a16b14??2 的结果是( )

A.6a B.-a C.-9a D.9a 答案 D 二、填空题

6.计算:64-23的值是________.

答案

1 16

解析 64-23=(26)-23=2-4=116.

7.化简 -x x3的结果是________.

答案 - -x

-x3 解析 由题意知 x<0,∴ x =-

-x3 x2 =- -x.

8.设 5x=4,5y=2,则 52x-y=________.

答案 8

解析 52x-y=(5x)2·(5y)-1=42·2-1=8.

三、解答题

9.计算:(0.027)-13-??-17??-2+25634-3-1+( 2-1)0.

解 原式=(0.33)-13-(-7-1)-2+(44)34-13+1

=130-49+64-13+1=19.

10.化简:

(1)( a-1)2+ (1-a)2+3 (1-a)3;

3 (2)

7 a2

a-3÷

3 a-8 3 a15÷3

a-3 a-1.

解 (1)原式=a-1+(a-1)+1-a=a-1

3 (2)原式=

a72a-32÷

a-83a135÷3 a-32a-12

=3 a2÷

73 a3÷

a-2

=a23÷(a73)12÷(a-2)13

=a23÷a76÷a-23=a23-76÷a-23

=a-12+23=a16.

2.1.2 指数函数及其性质

1.指数函数的定义 一般地,函数 y=ax (a>0,且 a≠1)叫做指数函数. 理解指数函数的定义,需注意的几个问题: (1)因为 a>0,x 是任意一个实数时,ax 是一个确定的实数,所以函数的定义域为实数集
R. (2)规定底数 a 大于零且不等于 1 的理由:
如果 a=0,?????当当xx≤>00时时,,aax恒x无等意于义0.;
如果 a<0,比如 y=(-4)x,这时对于 x=14,x=12,…,在实数范围内函数值不存在. 如果 a=1,y=1x=1,是一个常量,对它就没有研究的必要. 为了避免上述各种情况,所以规定 a>0,且 a≠1. (3)指数函数解析式的特征:ax 的系数是 1,a 为常量,x 为自变量,有些函数貌似指数 函数,实际上却不是,例如 y=ax+1 (a>0,a≠1);有些函数看起来不像指数函数,实际上却

是,例如 y=a-x (a>0,a≠1),因为这可等价化归为 y=??1a??x ??其中1a>0且1a≠1??.
2.y=ax (a>0,a≠1)的图象

0<a<1

a>1

图象

性 定义域 质 值域
过定点 各区间取值
单调性

(-∞,+∞)

(0,+∞)

a>0 且 a≠1,无论 a 取何值恒过点(0,1)

当 x>0 时,0<y<1

当 x>0 时,y>1

当 x<0 时,y>1

当 x<0 时,0<y<1

定义域上单调递减

定义域上单调递增

3.利用指数函数的单调性可以比较幂的大小和指数值的大小 (1)比较同底数幂大小的方法:选定指数函数——比较指数大小——用指数函数单调性 作出结论.
(2)比较异底数幂的大小一般采用“化成同底数幂”或采用“中间量法”,或采用“作 商法”.
(3)利用指数函数的单调性可求形如 af(x)>ag(x) (a>0,a≠1)不等式中变量 x 的取值范围(即 比较指数大小).其基本思路是由指数函数的单调性得出不等式 f(x)>g(x)或 f(x)<g(x),然后解 不等式得到 x 的取值范围.

题型一 函数的定义域、值域
(1)函数 y= 1-3x的定义域是________;
(2)求函数 y=??13?? x-2的定义域和值域.
(1)解析 由 1-3x≥0,得 3x≤1=30, 因为函数 y=3x 在实数集上是增函数,
所以 x≤0,故函数 y= 1-3x的定义域为(-∞,0]. 答案 (-∞,0] (2)解 由 x-2≥0,得 x≥2, 所以此函数的定义域为[2,+∞). 当 x∈[2,+∞)时, x-2≥0,又 0<13<1, 由指数函数的性质知,
y=??13?? x-2≤??13??0=1,且 y>0,
故此函数的值域为(0,1]. 点评 本题中的函数都不是指数函数,但都与指数函数有关.根据指数函数的定义域为 R,值域为(0,+∞),结合前一章求函数定义域和值域的方法,可以求解一些简单函数的定

义域和值域.在求解中要注意正确运用指数函数的单调性.在求值域问题时,既要考虑指数 函数的单调性,还应注意指数函数的值域为(0,+∞).
题型二 指数函数的图象

如图是指数函数①y=ax,②y=bx,③y=cx,④y=dx 的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小 关系为( )
A.a<b<1<c<d B.b<a<1<d<c C.1<a<b<c<d D.a<b<1<d<c 解析 由图象可知③、④的底数必大于 1,①、②的底数必小于 1,过点(1,0)作直线 x
=1 在第一象限内分别与各曲线相交,可知 1<d<c,b<a<1,从而知 a,b,c,d 与 1 的大小
关系为 b<a<1<d<c. 答案 B 点评 不同底数的指数函数的图象在同一坐标平面内的相对位置关系是:在 y 轴右侧图
象从下到上相应的底数由小到大;在 y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大到小.

题型三 指数函数性质的应用

比较下列各组数的大小:

(1)??

7?-0.1 4?

和??

47??-0.2;(2)??34??16和??43??-15;

(3)0.8-2

和??53??-12;(4)a13和

1 a2

(a>0,且 a≠1).

( ) 解

(1)y=??

7?x 4?



-∞,+∞

上是减函数,

又-0.1>-0.2,故?? 47??-0.1<?? 47??-0.2.

(2)??34??16=??43??-16,由 y=??43??x 的单调性可得, ??43??-16>??43??-15,即??34??16>??43??-15.

(3)由 0.8-2>1 而??53??-12<1,可知 0.8-2>??53??-12.

(4)当 a>1 时,a13<a12,当 0<a<1 时,a13>a12.

点评 当两个幂函数底数相同时,要比较这两个数的大小可根据它们的特征构造相应的

指数函数,借助函数的单调性来比较大小.此题中第(3)小题的两个数不能看成某个指数函

数的两个函数值,此时可以借助一些特殊数如 0 或 1 来搭桥间接比较两个数的大小,而第(2)

小题则可以通过指数运算化为底数相同的两个幂,可构造指数函数来比较大小.因此,在利 用指数函数的性质比较大小时,要注意以下几点:
(1)同底数幂比较大小,可直接根据指数函数的单调性比较; (2)同指数幂比较大小,可利用作商和指数函数的性质判定商大于 1 还是小于 1,从而得 出结论; (3)既不同底也不同指数幂比较大小,可找中间媒介(通常是 1 或 0),或用作差法,作商 法来比较大小.
题型四 综合应用
已知函数 f(x)=??2x-1 1+12??·x3.
(1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)求证:f(x)>0. (1)解 由 2x-1≠0,得 x≠0, 所以函数的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
(2)解 f(-x)=???2-x1-1+12???·(-x)3 =-???1-2x2x+12???·x3=???2x-1 1+12???·x3=f(x),
又因为函数 f(x)的定义域关于坐标原点对称,所以 f(x)为偶函数. (3)证明 当 x∈(0,+∞)时,2x>1, 即 2x-1>0,又12>0,x3>0,
所以 f(x)=???2x-1 1+12???·x3>0,
由于 f(x)为偶函数,其图象关于 y 轴对称, 知当 x∈(-∞,0)时,f(x)>0 也成立, 故对于 x∈(-∞,0)∪(0,+∞),都有 f(x)>0. 点评 指数函数是一种具体的初等函数,常与第一章学习的函数单调性、奇偶性等知识 点融合在一起,此时按照原有的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题即可,本例在第 (3)问中,巧妙地应用了偶函数的性质而使问题巧妙地求解.
求函数 y=9x+2·3x-2 的值域. 错解 设 3x=t,则 9x=t2, ∴y=t2+2t-2=(t+1)2-3, ∴ymin=-3,从而 y=9x+2·3x-2 的值域为[-3,+∞). 错因分析 若 y=-3,则 9x+2·3x=-1,显然不成立.错因在于没有注意 t=3x>0 这一

隐含条件,在利用换元法时,一定要注意换元后新变量的取值范围. 正解 设 3x=t (t>0),则 y=t2+2t-2=(t+1)2-3, ∵当 t=0 时,y=-2, ∴y=9x+2·3x-2 的值域为(-2,+∞).

1.指数函数的图象和性质是高考的重要考点之一,常在与其他知识的交汇处考查.

2.本节内容在高考中几乎每年都涉及,多以选择题或填空题的形式出现.

1.(山东高考)已知集合 M={-1,1},N=???x|12<2x+1<4,x∈Z???,则 M∩N 等于(

)

A.{-1,1} B.{-1} C.{0} D.{-1,0}

解析 N=???x|12<2x+1<4,x∈Z???={x|-1<x+1<2,x∈Z}={x|-2<x<1,且 x∈Z}={-

1,0},∴M∩N={-1}.

答案 B 2.(江苏高考)设函数 f(x)定义在实数集上,它的图象关于直线 x=1 对称,且当 x≥1 时, f(x)=3x-1,则有( )
A.f??13??<f??32??<f??23??

B.f??23??<f??32??<f??13??

C.f??23??<f??13??<f??32??

D.f??32??<f??23??<f??13??

解析 当 x≥1 时,函数递增,且以 x=1 为对称轴.

所以自变量与 1 的差值的绝对值越大,函数值越大. 答案 B

1.函数 f(x)=2-|x|的值域是( )

A.(0,1] B.(0,1) C.(0,+∞) D.R 答案 A

解析 ∵-|x|≤0,∴0<2x≤1,即函数的值域为(0,1].

2.若指数函数 f(x)=(a-1)x 是 R 上的减函数,则 a 的取值范围是( ) A.a>2 B.a<2 C.0<a<1 D.1<a<2 答案 D

解析 由题意知 0<a-1<1,解得 1<a<2.

3.设 f(x)=??12??|x|,x∈R,那么 f(x)是(

)

A.偶函数且在(0,+∞)上是减函数

B.偶函数且在(0,+∞)上是增函数

C.奇函数且在(0,+∞)上是减函数 D.奇函数且在(0,+∞)上是增函数 答案 A

解析 ∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数.

当 x∈(0,+∞)时,f(x)=??12??|x|=??12??x,

∴f(x)在(0,+∞)上是减函数. 4.函数 y=ax-5+1 (a≠0)的图象必经过点( ) A.(0,1) B.(5,1) C.(5,2) D.(1,5) 答案 C
解析 指数函数的图象必过点(0,1),即 a0=1,

由此变形得 a5-5+1=2,所以所求函数图象必过点(5,2).

5.设 y1=40.9,y2=80.48,y3=??12??-1.5,则(

)

A.y3>y1>y2 C.y1>y2>y3 答案 D

B.y2>y1>y3 D.y1>y3>y2

解析 y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,

y3=??12??-1.5=21.5.

因为函数 y=2x 在实数集上是增函数,

且 1.8>1.5>1.44,所以 y1>y3>y2. 6.已知 1>n>m>0,则指数函数①y=mx,②y=nx 的图象为( )

答案 C 解析 由 0<m<n<1 可知①②应为两条递减曲线,故只可能是选项 C 或 D,进而再判断 ①②与 n 和 m 的对应关系,判断方法很多,不妨选择特殊点,令 x=1,则①②对应的函数
值分别为 m 和 n,由 m<n 知选 C. 7.函数 y= ax-1的定义域是(-∞,0],则 a 的取值范围是________. 答案 (0,1) 解析 由 ax-1≥0,得 ax≥1. 根据指数函数的性质知 a∈(0,1). 8.解不等式 ax+5<a4x-1 (a>0,且 a≠1). 解 当 a>1 时,原不等式可变为 x+5<4x-1.解得 x>2;
当 0<a<1 时,原不等式可变为 x+5>4x-1.解得 x<2. 故当 a>1 时,原不等式的解集为(2,+∞);

当 0<a<1 时,原不等式的解集为(-∞,2). 9.设 a>0,函数 f(x)=3ax+3ax是定义域为实数集 R 的偶函数. (1)求实数 a 的值; (2)证明:f(x)在(0,+∞)上是增函数.
(1)解 ∵f(x)是 R 上的偶函数,

∴f(x)=f(-x),即3ax+3ax=3a-x+3a-x,

即 3x??1a-a??+31x??a-1a??=0, ??3x-31x????1a-a??=0,又根据题意,
可得1a-a=0,又 a>0,所以 a=1. (2)证明 由(1)知 f(x)=3x+31x,

设任意的 x1,x2∈(0,+∞),且 x1<x2,

1

1

则 f(x1)-f(x2)=3x1+3x1-3x2-3x2

=(3x1-3x2)???1-3x11+x2???.

因为 0<x1<x2,所以 3x1<3x2;

又 x1+x2>0,所以 3x1+x2>1,

则 1-

1

3x1+x2-1



>0,

3x1+x2 3x1+x2

所以 f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2). 于是知 f(x)在(0,+∞)上是增函数

学习目标 1.理解指数函数的概念,会判断一个函数是否为指数函数. 2.掌握指数函数的图象和性质.
自学导引 1.指数函数的概念 一般地,形如 y=ax_(a>0,且 a≠1)叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域是 R. 2.指数函数的图象和性质

a>1

0<a<1

图象

性质

定义域 值域 过定点 函数值 的变化 单调性

R

(0,+∞)

过点(0,1)即 x=0 时,y=1

当 x>0 时,y>1;

当 x<0 时,0<y<1.

当 x>0 时,0<y<1; 当 x<0 时,y>1

是 R 上的增函数

是 R 上的减函数

一、指数函数定义的应用

例 1 函数 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,求 a 的值. 分析 由题目可获取以下主要信息:①函数解析式中 ax 的系数为 a2-3a+3;②此函数

为指数函数.解答本题只需紧扣指数函数的定义. 解 由 y=(a2-3a+3)ax 是指数函数,

??a2-3a+3=1

??a=1或a=2

可得?

,解得?



??a>0且a≠1

??a>0且a≠1

∴a=2.

点评 判断一个函数是否为指数函数:

(1)切入点:利用指数函数的定义来判断;

(2)关键点:一个函数是指数函数要求系数为 1,底数是大于 0 且不等于 1 的常数,指数

必须是自变量 x.

变式迁移 1 指出下列函数哪些是指数函数?

(1)y=4x;

(2)y=x4;

(3)y=-4x; (4)y=(-4)x;

(5)y=πx;(6)y=4x2;(7)y=xx;

(8)y=(2a-1)x (a>12且 a≠1);(9)y=4-x;(10)y=42x.

解 (1)、(5)、(8)、(9)、(10)为指数函数.其中(9)y=4-x=??14??x,(10)y=42x=(42)x=16x

符合指数函数的定义.而(2)中底数 x 不是常数,而 4 不是变数;(3)是-1 与指数函数 4x 的

乘积;(4)中底数-4<0,所以不是指数函数;(6)中指数不是自变量 x,而是 x 的函数;(7)中

底数 x 不是常数.它们都不符合指数函数的定义.

二、求定义域、值域(最值)

例 2 求下列函数的定义域与值域.
(1)y=2x-1 4; (2)y=??23??-|x|.
解 (1)由 x-4≠0,得 x≠4.

∴定义域为{x|x∈R 且 x≠4}.

∵ 1 ≠0,∴2 1 ≠1,

x-4

x-4

∴y=2 1 的值域为{y|y>0 且 y≠1}. x-4

(2)定义域为 R.
∵|x|≥0,∴y=??23??-|x|的值域为{y|y≥1}.
点评 求定义域要根据函数自身的要求,找出关于 x 的不等式,解不等式或不等式组可

得定义域.求值域要根据定义域,根据函数的单调性,解答本题可利用换元思想化成指数函

数. 变式迁移 2 求下列函数的定义域和值域: (1)y=3 x-2;
(2)y= 1-??12??x.
解 (1)定义域为[2,+∞),

∵ x-2≥0,∴y=3 x-2≥1,∴值域为[1,+∞).
(2)∵1-??12??x≥0,∴??12??x≤1,即 x≥0, ∴函数 y= 1-??12??x的定义域为[0,+∞). 令 t=??12??x,∴0<t≤1,

∴0≤1-t<1,∴0≤ 1-t<1,
∴y= 1-??12??x的值域为[0,1).

三、指数函数单调性的应用

例 3 比较下列各题中两个值的大小.

(1)1.72.5,1.73;

(2)0.8-0.1,1.250.2;

(3)1.70.3,0.93.1; (4)4.54.1,3.73.6.

分析 由本题可获得以下主要信息:都是两个指数幂进行大小比较.

解答本题可先将它们化成同底的指数幂的形式,然后,根据指数函数的性质求解.

解 (1)由于底数 1.7>1,

所以指数函数 y=1.7x 在(-∞,+∞)上是增函数,

∵2.5<3,∴1.72.5<1.73.

(2)1.250.2=0.8-0.2,

∵0<0.8<1,
∴指数函数 y=0.8x 在(-∞,+∞)上为减函数,
∴0.8-0.1<1.250.2.
(3)由指数函数的性质得
1.70.3>1.70=1,0.93.1<0.90=1. ∴1.70.3>0.93.1. (4)利用指数函数的单调性知 4.54.1>4.53.6,
又∵4.53.6>0,3.73.6>0,∴43..5733..66=??34..75??3.6, ∵43..57>1,3.6>1,∴??34..75??3.6>1,
从而 4.53.6>3.73.6,∴4.54.1>3.73.6. 点评 两数比较大小问题,一般方法是将其转化为同一函数的两个函数值的大小比较问 题.对于 1.70.3 与 0.93.1,不能直接看成某一个指数函数的两个值,所以(3)题无法用(1)、(2) 两题的方法来进行比较.可在这两个数值之间找到中间量 1,使这两个数值分别与数值 1 进 行比较,进而比较出 1.70.3 与 0.93.1 的大小.(4)题直接比较有困难,可找中间变量 4.53.6.
变式迁移 3 比较??43??13,223,??-23??3,??34??12的大小. 解 将??43??13,223,??-23??3,??34??12分成如下三类: (1)负数??-23??3; (2)大于 0 小于 1 的数??34??12; (3)大于 1 的数??43??13,223. ∵??43??13<413,而 413=223, ∴??-23??3<??34??12<??43??13<223.
例 4 函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a2,求 a 的值.
分析 解答本题可结合函数单调性,对 a 进行分类讨论求值.
解 (1)若 a>1,则 f(x)在[1,2]上递增,
最大值为 a2,最小值为 a. ∴a2-a=a2,即 a=32或 a=0(舍去).
(2)若 0<a<1,则 f(x)在[1,2]上递减,
最大值为 a,最小值为 a2. ∴a-a2=a2,即 a=12或 a=0(舍去), 综上所述,所求 a 的值为12或32.
点评 利用指数函数的单调性,要注意对底数 a 的讨论,否则易失解. 变式迁移 4 函数 f(x)=ax (a>0,a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最小值之和为 6,求 a 的值. 解 ∵f(x)=ax 在[1,2]上是单调函数,

∴f(x)在 1 或 2 时取得最值. ∴a+a2=6,解得 a=2 或 a=-3,∵a>0,∴a=2.
1.指数函数的定义及图象是本节的关键.通过图象可以求函数的值域及单调区间. 2.利用指数函数的性质可以比较两个指数幂的大小 (1)当两个正数指数幂的底数相同时,直接利用指数函数的单调性比较大小. (2)当两个正数指数幂的底数不同而指数相同时,可利用两个指数函数的图象比较它们 的大小. (3)当两个正数指数幂的底数不同而且指数也不相同时,可考虑能否利用“媒介”数来 比较它们的大小. 3.通过本节的学习,进一步体会分类讨论思想在解题中的应用.
一、选择题
1.若指数函数 f(x)=(a+1)x 是 R 上的减函数,那么 a 的取值范围为( ) A.a<2 B.a>2 C.-1<a<0 D.0<a<1 答案 C 2.下列一定是指数函数的是( ) A.形如 y=ax 的函数 B.y=xa (a>0 且 a≠1) C.y=(|a|+2)-x D.y=(a-2)ax 答案 C
解析 ∵y=(|a|+2)-x=???|a|+1 2???x,|a|+2≥2,
∴0<|a|+1 2≤12,符合指数函数定义. 3.值域为(0,+∞)的函数是( )
A.y=52-1 x B.y=??13??1-x C.y= 1-2x D.y= ??21??x-1
答案 B
解析 ∵B 中定义域为 R,1-x∈R,∴y=??13??1-x>0.
4.已知 a=30.2,b=0.2-3,c=(-3)0.2,则 a,b,c 的大小关系为( ) A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 答案 B 解析 c<0,b=53>3,1<a<3,∴b>a>c. 5.函数 y=2-x 的图象为( )

答案 A 二、填空题

6.指数函数 y=f(x)的图象经过(π,e),则 f(-π)=____.

答案

1 e

解析 设 f(x)=ax,则 aπ=e,

∴f(-π)=a-π=(aπ)-1=e-1=1e.

7.函数 y= 4-2x的定义域是____________. 答案 (-∞,2]

解析 由 4-2x≥0,得 2x≤4,x≤2.

8.若 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a,b,c 的大小关系是______________. 答案 c>a>b

解析 ∵y=0.8x 单调递减,∴1>a>b,

又∵c>1,∴c>a>b.
三、解答题 9.已知函数 f(x)=ax2+3x-4,g(x)=ax2+2x-2 (a>0,a≠1),若 f(x)>g(x),试确定 x 的范围.

解 由 f(x)>g(x)得 ax2+3x-4>ax2+2x-2.

当 a>1 时,x2+3x-4>x2+2x-2,∴x>2;

当 0<a<1 时,x2+3x-4<x2+2x-2,∴x<2.

∴当 a>1 时,x 的范围是(2,+∞);

当 0<a<1 时,x 的范围是(-∞,2). 10.求下列函数的定义域和值域. (1)y=21+2x-x2;(2)y=3-1x-1;(3)y=2x-1 1.

解 (1)函数定义域为 R.

令 u=1+2x-x2=-(x-1)2+2≤2,

所以 y=2u∈(0,4],函数 y=21+2x-x2 的值域为(0,4].

(2)函数的定义域为{x|x≠0}. 令 u=1x,则 u=1x∈(-∞,0)∪(0,+∞).
所以 y=3-u-1=??13??u-1∈(-1,0)∪(0,+∞).
所以函数的值域为(-1,0)∪(0,+∞).

(3)函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).

值域为(-∞,-1)∪(0,+∞).


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