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第二章 数列 单元测试3答案


第二章 数列 单元测试 3 1.[答案] A 解析] 在等比数列{an}中,a7·a11=a4·a14=6,又 a4+a14=5,∴? 或?
?a4=3 ? ? ?a14=2 ?a4=2 ? ? ?a14=3

2 3 a20 10 2 3 10 10 ,又 a14=a4·q ,∴q = 或 ,∴ =q = 或 . 3 2 a10 3 2

2.[答案] C[解析] 本题考查数列{an}的前 n 项和 Sn 与通项 an 的关系,an= ? n= ?Sn 2 ? ;①中 Sn=an +bn+c,c≠0 时,{an}是从第二项开始的等差数列, ?Sn-Sn-1 n ? 但{an}不是等差数列,故①不对;②中 a100=S100-S99=1385 正确;③中,Sn=pa -p(p≠0, a≠0),则{an}是等比数列,其公比为 2 首项为 1,an=2n-1 故③正确;④中,Sn=1,∴a1= 1,n≥2 时 an=0,∴④错. 3.[答案] C[解析] ∵Sn、Sn+2、Sn+1 成等差数列,∴Sn+2-Sn=Sn+1-Sn+2.∴an+2+an+1=- an+2 1 1 an+2,∴ =- . 又 a1=1,∴a3= . an+1 2 4 4.[答案] B[解析] ∵a1+a3+a5=3a3=105,∴a3=35, a2+a4+a6=3a4=99,∴a4=33,∴d=-2,∴a1=39. ∴an=a1+(n-1)d=-2n+41, n a1+an 2 2 ∴Sn= =-n +40n=-(n-20) +400. 2 故当 n=20 时,Sn 取最大值 100. 5.[答案] A[解析] ∵-1,a1,a2,8 成等差数列,设公差 d, ∴8-(-1)=3d,∴d=3, ∴a1=2,a2=5, 2 ∵-1,b1,b2,b3,-4 成等比数列,b2 =4,
n

a1a2 =-5. b2 6.[答案] B[解析] 设等差数列为{bn},则 b1=a1=1,b2=1+d,b5=1+4d,由题设(1 a2 b2 2 +d) =1×(1+4d),∴d=2 或 d=0(与 q≠1 矛盾舍去),∴b2=3,公比 q= = =3. a1 b1 a1+a16 7.[答案] A[解析] S16= =7×16,7×16-x=7.2×15,∴x=4,又 a1=
又 b2=-1·q <0,∴b2=-2,∴
2

2

1 -8,∴a16=22,d= (a16-a1)=2,∴an=-8+(n-1)·2=4,∴n=7. 15 8.[答案] B[解析] ∵Sn 有最大值,∴a1>0,d<0,∵ ∴a11<0,a10>0,∴a10+a11<0, 又 S19= ∴S20=

a11 <-1, a10 a1+a20
2

=10(a10+a11)<0,

a1+a19
2

=19a10>0,故选 B.

9.[答案] A[解析] 前 9 项和 S9=9a5=18,∴a5=2,前 n 项和 Sn=

n a1+an
2



n a5+an-4

+ =16n=240,∴n=15. 2 2 10.[答案] A[解析] S1=2a1-2=a1,∴a1=2,S2=2a2-2=a1+a2,∴a2=4. 11.[答案] C[解析] 设从去年开始,每年产值构成数列为{an},则 a1=a, an=a(1+10%)n-1(1≤n≤6),从今年起到第 5 年是求该数列 a2 到 a6 的和,应为 S6-a1 6 a - 5 = -a=11×(1.1 -1)a. 1.1-1 12.[答案] B[解析] 由条件 an+2=an+1-an 可得: =

n

an+6=an+5-an+4=(an+4-an+3)-an+4=-an+3=-(an+2-an+1)=-[(an+1-an)-an+1]=an,于 是可知数列{an}的周期为 6,∴a2009=a5,又 a1=3,a2=6,∴a3=a2-a1=3,a4=a3-a2= -3,a5=a4-a3=-6. n * 13.[答案] 255[解析] ∵an+2-an=1+(-1) (n∈N ),∴n 为奇数时,an+2=an,n 为 偶数时,an+2-an=2,即数列{an}的奇数项为常数列,偶数项构成以 2 为首项,2 为公差的
15×14 故这 30 天入院治疗流感人数共有 15+(15×2+ ×2)=255 人. 2 n-1 n n-1 n-1 14.[答案] an=2×3 [解析] an=Sn-Sn-1=(3 +a)-(3 +a)=2×3 ,∴a1=2.又 a1 =S1=3+a,∴3+a=2,∴a=-1. 15.[答案] 16,4,1 解析] 设三个数为 a,b,c,由题意可知 等差数列.

a+b+c=21 ? ? ?2b=a+ c- ? ?b2=ac
16.[答案] 0

,解之得:b=4,a=1,c=16 或 b=4,a=16,c=1

10×9 20×19 [解析] ∵S10=S20,∴10a1+ d=20a1+ d,∴2a1=-29d. 2 2 10×29 ∴S30=30a1+ d=15×(-29d)+15×29d=0. 2 [点评] 既可以运用一般方法求解,也可以充分利用等比数列的性质求解,设数列{an} 第一个 10 项的和为 b1,第二个 10 项的和为 b2,第三个 10 项的和为 b3,则∵S10=S20,∴b2 =0,由条件知 b1,b2,b3 成等差,∴2b2=b1+b3,∴b3=-b1,∴S30=b1+b2+b3=0,请再 练习下题: 等差数列{an}中,a1<0,S9=S22,该数列前 n 项和 Sn 取最小值时 n=__________. [答案] 15 或 16 [解析] 解法一:∵S9=S22,∴a10+a11+a12+…+a22=0,∴a16=0, ∵a1<0,∴前 16 项或前 15 项的和最小. 解法二:∵a1<0,S9=S22,∴d>0.故(n,Sn)是开口向上的抛物线上的点,对称轴为 n 9+22 * = =15.5,∵n∈N ,∴n=15 或 16 时 Sn 最小. 2 [分析] 本题求数列{bn}的前 n 项和,应首先确定数列{bn}的特性,由题意可得{bn}是 由一个首项为正值,而公差为负的一个等差数列,{an}的各项取绝对值后得到的一个新数 列,因此求{bn}的前 n 项和可转化为求数列{an}的和的问题. 2 18[解析] 由 Sn=10n-n ,可得 an=11-2n,故 bn=|11-2n|. 2 显然 n≤5 时,bn=an=11-2n,Tn=10n-n . n≥6 时,bn=-an=2n-11, Tn=(a1+a2+…+a5)-(a6+a7+…+an) 2 =2S5-Sn=50-10n+n 2 ?10n-n n , ? 故 Tn=? 2 ? n ?50-10n+n 17.[解析] 设首项为 a1,公差为 d,则由题意:

S奇+S偶=354, ? ? ?S奇 27 = . ? ?S偶 32

∴?

? ?S偶=192, ?S奇=162. ?

又 S 偶-S 奇=6d,∴d=5. ?a2+a4=b3 ? 19.[解析] (1)∵? ?b2b4=a3 ?

?2a1+4d=b1q ? ,∴? 2 4 ?b1 q =a1+2d ?

2



?2+4d=q ? ∵a1=b1=1,∴? 4 ?q =1+2d ?

2



3 d=- ? ? 8 解之得? 1 q= ? ? 2
2

1 ? ?d=- 2 或? ? ?q=0

(舍去)

∴{an}的前 n 项和 2 n n- ? 3? 19n-3n , Sn=n+ ·?- ?= 2 16 ? 8? 55 ∴S10=- . 8 1 n-1 n-1 (2)由(1)知 bn=b1q =(± ) , 2 1 2n-2 1 n-1 cn=b2n-1=(± ) =( ) , 2 4 令 dn=ncn,则{dn}的前 n 项和为 Mn=c1+2c2+3c3+…+ncn 1 1 2 1 n-1 =1+2× +3×( ) +…+n·( ) 4 4 4 1 1 1 1 1 1 Mn= +2×( )2+3×( )3+…+(n-1)·( )n-1+n·( )n 4 4 4 4 4 4 两式相减得: 3 1 1 1 1 Mn=1+[ +( )2+…+( )n-1]-n·( )n 4 4 4 4 4 1 1 n-1 [1- ] 4 4 1 n =1+ -n·( ) 1 4 1- 4 4 4+3n 1 n-1 = - ·( ) , 3 12 4 16 4+3n 1 n-1 ∴Mn= - ·( ) . 9 9 4 3 20.[解析] (1)由 a3·a5·a7=a5 =512,∴a5=8. 8 2 设公比为 q,则 a3= 2,a7=8q ,

q

8 2 由题设( 2-1)+(8q -9)=10

q

1 2 解得 q =2 或 . 2 ∵{an}是递增数列,∴q =2,∴q= 2. 4 ∵a5=a1q =4a1=8,∴a1=2. 2 n-1 2 n+1 (2)an =[2×( 2) ] =2 , n - n+2 ∴Sn= =2 -4. 2-1 2 21.[解析] 设平均每年需新建住房 xm ,据题意可得: 10 10000×5+10x=10000×(1+1%) ×10
2

1 10 2 解得:x=10000×[(1+1%) - ]≈6046m . 2 22. [解析] (1)解法一:设等差数列{an}的公差为 d, 则依题设 d>0. 由 a2+a7=16,得 2a1+7d=16.① 由 a3·a6=55,得(a1+2d)(a1+5d)=55.② 2 由①得 2a1=16-7d,将其代入②得(16-3d)(16+3d)=220,即 256-9d =220, 2 ∴d =4.又 d>0,∴d=2.代入①得 a1=1. ∴an=1+(n-1)·2=2n-1. 解法二:由等差数列的性质得:a2+a7=a3+a6, ∴?
? ?a3a6=55 ?a3+a6=16 ?


2

由韦达定理知,a3,a6 是方程 x -16x+55=0 的根,解方程得 x=5 或 x=11. a6-a3 设公差为 d,则由 a6=a3+3d,得 d= . 3 11-5 ∵d>0,∴a3=5,a6=11,d= =2, 3 a1=a3-2d=5-4=1. 故 an=2n-1. (2)解法一:当 n=1 时,a1= ,∴b1=2. 2 当 n≥2 时,an= + 2+ 3+…+ n-1+ n, 2 2 2 2 2

b1

b1 b2 b3

bn-1 bn

b1 b2 b3 bn-1 an-1= + 2+ 3+…+ n-1,
2 2 2 2 两式相减得 an-an-1= n,∴bn=2 2

bn

n+ 1



?2 n=1 ? 因此 bn=? n+1 , ?2 n≥2 ? 当 n=1 时,S1=b1=2; 当 n≥2 时,Sn=b1+b2+b3+…+bn b2 -2n-1 n+2 =2+ =2 -6. 1-2 ∵当 n=1 时上式也成立, n+2 ∴当 n 为正整数时都有 Sn=2 -6.

解法二:令 cn= n,则有 an=c1+c2+…+cn,an+1=c1+c2+…+cn+1, 2 两式相减得 an+1-an=cn+1. 由(1)得 a1=1,an+1-an=2. n+1 ∴cn+1=2,cn=2(n≥2),即当 n≥2 时,bn=2 , ?2 n=1 ? 又当 n=1 时,b1=2a1=2,∴bn=? n+1 , ?2 n≥2 ? 3 4 n+1 于是 Sn=b1+b2+b3+…+bn=2+2 +2 +…+2 n+1 - 2 3 4 n+1 n+2 n+2 =2+2 +2 +2 +…+2 -4= -4=2 -6,即 Sn=2 -6. 2-1

bn


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