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广东高考理科数学前四道解答题限时训练21-30

珠海市第二中学

刘诗彪编

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得分

广东高考理科数学前四道解答题限时训练 21 16. (12 分)已知函数

17. (14 分)甲和乙参加有奖竞猜闯关活动,活动规则 如下:①闯关过程中,若闯关成功则继续答题;若没通 关则被淘汰;②每人最多闯 3 关;③闯过第一关得 10 万奖金,闯过第二关得 20 万奖金,闯过第三关得 30 万 奖金,一关都没过则没有奖金.已知甲每次闯关成功的 概率为

1 f ( x) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ( x ? R) . 2
(I)求函数

f ( x) 的最小值和最小正周期;

(II)设 ?ABC 的内角 A , B , C 的对边分别 a , b , c , 且c ?

3, f (C ) ? 1 ,求 ?ABC 的外接圆面积.

1 1 ,乙每次闯关成功的概率为 . 4 3

(1)设乙的奖金为 ? ,求 ? 的分布列和数学期望; (2)求甲恰好比乙多 30 万元奖金的概率.

1

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18. (14 分)如图,棱柱 ABCD-A B1C1 D1 的所有 1 棱长都等于 2,平面 AA C1C 1

19. (14 分)如图,在

Rt ?PAB 中, ?A 是直角,

? 平面 ABCD ,

PA ? 4, AB ? 3 ,有一个椭圆以 P 为一个焦点,
另一个焦点 Q 在 AB 上,且椭圆经过点 A , B . (1)求椭圆的离心率; (2)若以 PQ 所在直线为 x 轴,线段 PQ 的垂直 平分线为

?ABC ? 600 , ?A1 AC ? 900 , M 是 BB1 的
中点, N 在 BD 上, 3BN

? ND .

(1)证明: MN / / 平面 A1 DC1 ; (2)求二面角 D-AA1-C 的大小. D1

y 轴建立直角坐标系,求椭圆的方程;

( 3) 在 ( 2) 的 条件 下 , 若经 过 点 Q 的 直 线 l 将

Rt ?PAB 的面积分为相等的两部分,求直线 l 的方程.
B

C1 A1 B1 Q

M

D C

P

A

A

N B

2

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 22 16. (12 分)已知 (1)求函数 (2)求

17. (12 分)设函数

f ( x) ? 2 x3 ? 3ax 2 ? 3bx ? 8c 在

f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x ) .

x ? 1 及 x ? 2 时取极值.
(1)求 a , b 的值; (2) 若对于任意的 x ? [0,3] , 都有 求 c 的取值范围.

f ( x) 的最小正周期和最大值;

y ? f ( x) 在 R 上的单调区间.

f ( x) ? c 2 成立,

3

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18. (14 分)如图,在直三棱柱 ABC ?

A1 B1C1 中,

19. (14 分)A、B 两个投资项目的利润率分别为随机变 量 x1 和 x2 . 根据市场分析,

AC ? 3 , BC ? 4 , AB ? 5 , AA1 ? 4 ,点 D 是

x1 和 x2 的分布列分别为:

AB 的中点.
(1)求证: AC

x1
? BC1 ;
P

5% 0.8

10% 0.2

x2
P

2% 0.2

8% 0.5

12% 0.3

(2)求证: AC1 / / 平面 CDB1 ; (3)求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值.

(1)在 A、B 两个项目上各投资 100 万元,

y1 和 y2 分别表示投资项目 A 和 B 所获得的利润,
求方差 Dy1 、 Dy2 ; C1 A1 万元投资 B 项目, f ( x) 表示投资 A 项目所得利润的方 差与投资 B 项目所得利润的方差的和.求 值,并指出 x 为何值时, B D A (注: D(ax ? b) ? a
2

B1 (2)将 x(0 ?

x ? 100) 万元投资 A 项目,100 ? x

f ( x) 的最小

C

f ( x) 取到最小值.
Dx )

4

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 23 16. (12 分)已知向量 a

17. (12 分)四个大小相同的小球分别标有数字 1、1、 2、 把它们放在一个盒子里, 2, 从中任意摸出两个小球, 它们所标有的数字分别为 x , y ,记 ?

x x ? (sin , cos ) , 3 3 ? ? ? x x b ? (cos , 3 cos ) ,函数 f ( x) ? a ? b . 3 3
(1)求函数

?

? x? y.

(1)求随机变量 ? 的分布列和数学期望; (2)设“函数

f (x) 的单调递增区间;
2

f ( x) ? x 2 ? ?x ? 1 在区间 (2,3) 上

(2)如果 ?ABC 的三边 a , b , c 满足 b 边 b 所对的角为 x , 试求 x 的范围及函数

? ac ,且
有且只有一个零点” 为事件 A , 求事件 A 发生的概率.

f (x) 的值域.

5

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18.(14 分)已知几何体 A ? BCDE 的三视图如图所示, 其中俯视图和侧视图都是腰长为 4 的等腰直角三角形, 正视图为直角梯形. (1)求此几何体的体积; (2)求异面直线 DE 与 AB 所成角的余弦值; (3)探究在 DE 上是否存在点 Q,使得 AQ ? BQ , 并说明理由.

19. (14 分)某商场以 100 元/件的价格购进一批衬衣, 以高于进价的价格出售,销售期有淡季与旺季之分, 通过市场调查发现: ①销售量 r (x )(件) 与衬衣标价 x (元/件)在销售旺季近似地符合函数关系:

r ( x) ? kx ? b1 ;在销售淡季近似地符合函数关系:
其中 且 r ( x) ? kx ? b2 , k ? 0, b1、b2 ? 0 , k、b1、b2 为常数;②在销售旺季,商场以 140 元/件的价格销售能 获得最大销售利润; ③若称①中 r ( x)

? 0 时的标价 x 为

4 1 4 正视图 E 4 侧视图

衬衣的“临界价格” ,则销售旺季的“临界价格”是销 售淡季的“临界价格”的 1.5 倍.请根据上述信息,完 成下面问题: (1)填出表格中空格的内容; 俯视图 D C B (2)在销售淡季,该商场要获得最大销售利润,衬衣 的标价应定为多少元/件? 销售关系 旺季 数量关系 A 标价(元/件) 销售量 r (x ) (件) 淡季

x

r ( x) ? kx ? b1

x
(含 k 、 b1 或 b2 ) 销售总利润

y (元)

与标价 x (元/件) 的函数关系式

6

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 24 16. (12 分)在 ?ABC 中,角 A , B , C 所对的边分别是

17. (12 分)某公司对工厂 A 的一批产品进行了抽样检 测.右图是根据抽样检测后的产品净重(单位:克)数 据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是: [96,106],样本数据分组为:[96,98) ,[98,100),

??? ???? 8 ? a , b , c ,且 AB ? AC ? S?ABC . 3
(1)求 sin A 的值; (2)若 b ? 2 , S?ABC

? 3 ,求 a 的值.

[100,102),[102,104),[104,106]. (1)求图中 x 的值; (2)若将频率视为 概率,从这批产品中有放回地随机 抽取 3 件, 求至多有 2 件产品的净重在

?96,98 ? 的概率;

(3)经过考察后,该公司决定在 2011 年年初投资到工 厂 A50 万元, 到年底可能获利 32% , 也可能亏损 16% , 且这两种情况发生的概率分别为合格产品和不合格产 品的概率(若产品净重在 98,104 ? 为合格产品,其余 为不合格产品) .设 2011 年底公司的投资总资产为 ? (本金+利润) ,求 ? 的分布列及数学期望. 频率/组距 0.150 0.125 0.100 0.075 x

?

96 98 100 102 104 106



7

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18. (14 分)如图,△ABC 的外接圆 O 的半径为

5,

19. (14 分)已知 (1)求函数
1

f ( x) ? x ln x .

CD ? 圆 O 所在的平面, BE / /CD , CD ? 4 ,

f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值;
a

21 . BC ? 2 ,且 BE ? 1 , cos ?AEB ? 21
(1)求证:平面 ADC

(2)已知 2 x ? x 对任意 x ? (0,1) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:对一切 x ? (0, ??) ,都有 ln x> 成立.

? 平面 BCDE ;

(2)求几何体 A BCDE 的体积; - (3)试问线段 DE 上是否存在点 M ,使得直线

1 2 ? e x ex

AM 与平面 ADC 所成角的正弦值为

2 ?若存在,确 7

定点 M 的位置,若不存在,请说明理由. D

C A

E B

O

8

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 25 16. (12 分) 已知

17. (12 分)有 5 个大小重量相同的球,其中有 3 个红 球 2 个蓝球,现在有放回地每次抽取一球,抽到一个红 球记 1 分,抽到一个蓝球记 ?1 分. (1) ? 表示某人抽取 3 次的得分数,写出 ? 的分布

f ( x) ? sin(? x ? ? )(? ? 0, ? ? ? )

的部分图象如图所示: (1)求 ? , ? 的值; (2)设 g ( x) ? 2 2 f ( ) f (

x 2

x ? ? ) ?1 , 2 8

列,并计算 ? 的期望和方差; (2)若甲乙两人各抽取 3 次,求甲得分数恰好领先 乙 2 分的概率.

? 当 x ? [0, ] 时,求函数 g ( x ) 的值域. 2
y

1

O

? 4

? 2

x

?1

9

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18. 分) (14 在平面直角坐标系中, A(1,0) , (?1,0) , 点 B 已知 CA ? 2

19.(14 分)如图(1) C 是直径 AB ? 2 的圆 O 上一 , 点, AD 为圆 O 的切线, A 为切点, ?ACD 为等边三 角形,连接 DO 交 AC 于 E ,以 AC 为折痕将 ?ACD 翻折到图(2)的 ?ACP 位置. (1)求证异面直线 AC 和 PO 互相垂直;

2 , BC 的垂直平分线 l 交 AC 于 D ,当

点 C 动点时, D 点的轨迹图形设为 E . (1)求 E 的标准方程; (2)点 P 为 E 上一动点,点 O 为坐标原点, 设

PA ? 1 ? ? PO ,求 ? 的最大值.
2 2

(2)若三棱锥 P-ABC 的体积为 D

6 ,求二面角 6
图(1) C

y

C

A-PC-B 的正弦值.

P D B -1 A O 1 x A E O B 图(2) C A

E O B

10

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 26 16.(12 分)已知函数

17.(12 分)某企业生产的一批产品中有一、二、三等 品及次品共四个等级,1 件不同等级产品的利润 (单位:元)如表 1, 等级 一等品 6 二等品 5 三等品 4 次品 -1

f ? x ? ? 2sin x cos x ? cos 2x . f ? x ? 取得最大值,

(1)当 x 取什么值时,函数 并求其最大值; (2)若 ? 为锐角,且 求 tan ? 的值.

利润

?? 2 ? , f ?? ? ? ? 8? 3 ?

从这批产品中随机抽取出 1 件产品,该件产品为不 同等级的概率如表 2. 等级 一等品 二等品 三等品 次品

P

0.6

a

0.1

b

若从这批产品中随机抽取出的 1 件产品的平均利润 (即数学期望)为 4.9 元. (1)求 a, b 的值; (2)从这批产品中随机取出 3 件产品,求这 3 件产 品的总利润不低于 17 元的概率.

11

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18.(14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,侧棱

19.(14 分)已知直线

y ? ?2 上有一个动点 Q ,过

AA1 ? 底面 ABC , AB ? BC , D 为 AC 的中点,

点 Q 作直线 l1 垂直于 x 轴,动点 P 在 l1 上,且满足

A1 A ? AB ? 2 .
(1)求证: AB1 // 平面 BC1 D ; (2)若四棱锥 B ? AA1C1 D 的体积为 3, 求二面角 C ? BC1 ? D 的正切值. A1 A

OP ? OQ ( O 为坐标原点),记点 P 的轨迹为 C .
(1)求曲线 C 的方程; (2)若直线 l 2 是曲线 C 的一条切线,当点 直线 l 2 的距离最短时,求直线 l 2 的方程.

? 0, 2 ? 到

D B1 B

C1

C

12

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 27 16. (12 分)已知函数

17. (12 分)第 26 届世界大学生夏季运动会将于 2011 年 8 月 12 日至 23 日在深圳举行,为了搞好接待 工作,组委会在某学院招募了 12 名男志愿者和 18 名 女志愿者.将这 30 名志愿者的身高编成如下茎叶图

x ? x ? f ( x) ? 2 3 sin( ? ) cos( ? ) ? sin( x ? ? ) . 2 4 2 4
(1)求

f ( x) 的最小正周期; f ( x) 的图象向右平移

(2)若将

? 个单位,得到 6

(单位:cm) ,这 30 名志愿者的身高如下: 男 9 15 16 17 18 19 女 7 1 2 0 7 2 3 1 8 4 4 9 5 5 9 8 6 9

函数 g ( x ) 的图象,求函数 g ( x ) 在区间 [0, ? ] 上的 最大值和最小值. 9 8 7 6 4 5 2 8 0 1 1

若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个 子” 身高在 175cm 以下定义为 , “非高个子” 且只有 , “女 高个子”才能担任“礼仪小姐” . (1)如果用分层抽样的方法从“高个子”和“非高 个子”中抽取 5 人,再从这 5 人中选 2 人,那么至少有 一人是“高个子”的概率是多少? (2)若从所有“高个子”中选 3 名志愿者,用 ? 表 示所选志愿者中能担任“礼仪小姐”的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望.

13

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18. 分) (14 如图,AC 是圆 O 的直径, B 在圆 O 上, 点

19. (14 分)已知点 F 是椭圆

?BAC ? 300 , BM ? AC 交 AC 于点 M ,
EA ? 平面 ABC ,FC / / EA ,AC
FC ? 1 .
(1)证明: EM

x2 ? y 2 ? 1(a ? 0) 1 1 ? a2

的右焦点,点 M (m , 0), N (0, n) 分别是 x 轴、 上的动点,且满足 MN ? NF

y轴

? 4 ,EA ? 3 ,

???? ???? ?

? 0 .若点 P 满足:

? BF ;

???? ? ???? ??? ? OM ? 2ON ? PO .
(1)求点 P 的轨迹 C 的方程; (2)设过点 F 任作一直线与点 P 的轨迹 C 交于

(2)求平面 BEF 与平面 ABC 所成的锐二面角的 余弦值. E

A , B 两点,直线 OA , OB 与直线 x ? ?a 分别交于点
??? ??? ? ? , S , T ( O 为坐标原点) 试判断 FS ? FT 是否为定值?
F O M C B 若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.

A

14

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 28 16. (12分)如图,渔船甲位于岛屿

17. (12分) 某地区对12岁儿童瞬时记忆能力进行调查. 瞬时记忆能力包括听觉记忆能力与视觉记忆能力.某班 学生共有40人,下表为该班学生瞬时记忆能力的调查结 果.例如表中听觉记忆能力为中等,且视觉记忆能力偏 高的学生为3人. 视觉 听觉 偏低 偏低 听觉 中等 记忆 1 2 0 8 3 0 1 0 视觉记忆能力 中等 7 偏高 5 超常 1

A 的南偏西 60? 方

向的 B 处,且与岛屿 A 相距12海里,渔船乙以10海里/ 小时的速度从岛屿 A 出发沿正北方向航行, 若渔船甲同 时从 B 处出发沿北偏东 ? 的方向追赶渔船乙,刚好用2 小时追上. 北 (1)求渔船甲的速度; (2)求 sin ? 的值. C

b
1 1

西

?
B

60?

A



偏高 能力 超常

a
2



由于部分数据丢失,只知道从这 40 位学生中随机 抽取一个,视觉记忆能力恰为中等,且听觉记忆能力为 中等或中等以上的概率为

2 . 5

(1)试确定 a , b 的值; (2)从 40 人中任意抽取 3 人,求其中至少有一位 具有听觉记忆能力或视觉记忆能力超常的学生的概率; (3)从 40 人中任意抽取 3 人,设具有听觉记忆能 力或视觉记忆能力偏高或超常的学生人数为 ? ,求随机 变量 ? 的数学期望 E? .

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18. (14分)一个几何体是由圆柱

ADD1 A1 和三棱锥

19. 14分) ( 已知数列 且 a1

?an ? 的前 n 项和 Sn ? ?

n ? 1? an 2



E ? ABC 组合而成,点 A , B , C 在圆 O 的圆周上,其
正视图、侧视图的面积分别为10和12,如图所示,其中

? 1.

(1)求数列

EA ? 平面ABC ,AB ? AC ,AB ? AC ,AE ? 2 .
(1)求证: AC ? BD ; (2)求二面角 A ? BD ? C 的平面角的大小. E E (2) bn 令

?an ? 的通项公式;

, ? ln an ,是否存在 k ( k ? 2, k ? N ? )

使得 bk 、 bk ?1 、 bk ? 2 成等比数列.若存在,求出所有 符合条件的 k 值;若不存在,请说明理由.

A1

O

A

A

D1

D 正视图 E 侧视图

C A11 O B D1
1

A

D

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 29 16. (12 分)已知函数

17. (12 分)某商场为吸引顾客消费推出一项优惠 活动.活动规则如下:消费额每满 100 元可转动如图 所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假定指针 等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元;

f ( x) ? Asin(? x ? ? )
) 的图象的一部分如下图所示.

( A ? 0, ? ? 0, ? ?
(1)求函数

?
2

f ( x) 的解析式;
2 3

(2)求函数 y ? f ( x) ? f ( x ? 2) 在区间 [?6, ? ] 上 的最大值与最小值及相应的 x 的值.

停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券.例如:消 费 218 元,可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次 金额之和.

y
2

(1)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率;

1

(2)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则参与了
-1 O 1 -1 -2 2 3 4 5

x

活动, 他获得返券的金额记为 X (元) 求随机变量 X , 的分布列和数学期望.

A
C
60?

B

17

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18. (14 分)已知
2

?an ? 是公差为正数的等差数列,且

19. (14 分)已知梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC= ∠BAD=

a2 , a5 是方程 x ? 12 x ? 27 ? 0 的两根,数列 ?bn ? 的
前 n 项和为 Tn ,且 Tn (1)求数列 (2)记 cn

? ,AB=BC=2AD=4,E、F 2

分别是 AB、CD

1 ? 1 ? bn (n ? N ?) . 2

上的点,EF∥BC,AE=x,G 是 BC 的中点.沿 EF 将 梯形 ABCD 翻折, 使平面 AEFD⊥平面 EBCF (如图) . (1)当 x=2 时,求证:BD⊥EG; (2)若以 F、B、C、D 为顶点的三棱锥的体积记为

?an ? , ?bn ? 的通项公式;

? anbn ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 S n .

f ( x) ,求 f ( x) 的最大值;
(3)当 的余弦值. A D

f ( x) 取得最大值时,求二面角 D-BF-C

E

F

B A D

C

E F

B

G

C

18

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广东高考理科数学前四道解答题限时训练 30 16. (12 分)已知 (1)求

17. (13分)为了解甲、乙两厂的产品质量,采用分层 抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和 5件,测量产品中微量元素x,y的含量(单位:毫克) .

1 ? f ( x) ? 2sin( x ? ) , x ? R . 3 6

f(

5? ) 的值; 4

10 (2)设 ? , ? ? [0, ] , f (3? ? ) ? , 2 2 13 6 f (3? ? 2? ) ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. 5

?

?

下表是乙厂的5件产品的测量数据: 编号 x y 1 169 75 2 178 80 3 166 77 4 175 70 5 180 81

(1)已知甲厂生产的产品共98件,求乙厂生产的产 品数量; (2)当产品中的微量元素x,y满足 x ? 175 且 y ? 75 时,该产品为优等品,用上述样本数据估计乙厂生产的 优等品的数量; (3) 从乙厂抽出的上述 5 件产品中, 随即抽取 2 件, 求抽取的 2 件产品中优等品数 ? 的分布列及其均值.

19

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18. (13 分) 如图 5, 在椎体 P ? ABCD 中 , ABCD 是 边长为 1 的棱形,且 ?DAB ? 60 , PB ? 2 ,
0

19. (14 分)设圆 C 与两圆 ( x ? 5) 2 ? y 2 ? 4 和

( x ? 5)2 ? y 2 ? 4 中 的一个内切,另一个外切.
(1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程;

PA ? PD ? 2 , E , F 分别是 BC , PC 的中点.
(1)证明: AD ? 平面 DEF ; (2)求二面角 P ? AD ? B 的余弦值. P (2)已知点 M (

3 5 4 5 , ) , F ( 5 , 0) ,且 P 为 L 5 5

上动点,求 F

MP ? FP 的最大值及此时点 P 的坐标.

D E A 图5 B

C

20


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