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2.3.1离散型随机变量均值和方差(2课时)(选修2-3)


(第一课时)

1

一、复习回顾
1、离散型随机变量的分布列 X

x1

x2

· · · · · ·

xi

· · · · · ·

P

p1

p2

pi

2、离散型随机变量分布列的性质:

(1)pi≥0,i=1,2,…; (2)p1+p2+…+pi+…=1.

对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确 定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中, 有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征。例 如,要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平, 很重要的是看平均分;要了解某班同学数学成绩是否 “两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 我们还常常希望直接通过数字来反映随机变量的某 个方面的特征,最常用的有期望与方差.

引例1:某商场为满足市场需求要将单价分别为 定价为 18+24+36 18元/kg ,24元/kg ,36元/kg 的3种糖果按 3 :2 : 1 ? 26 3 的 比例混合销售,其中混合糖果中每一颗糖果的质 可以吗? 量都相等,如何对混合糖果定价才合理?
假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 糖果所属种类的单价(元 kg ),你能写出X的分布列吗?

假如从这种混合糖果中随机选取一颗,记X为这颗 糖果所属种类的单价(元 kg ),你能写出X的分布列吗?

解:随机变量X 可取值为18, 24和36 1 1 1 而P( X ? 18) ? , P( X ? 24)样本平均值 ? , P( X ? 36) ? 2 3 6

所以X分布列为
x p 18 1/2

24 1/3

权数 36 1/6 加权平均

18×1/2+24×1/3+36×1/6 =23

=18×P(X=18)+24×P(X=24)+36×P(X=36)

1、离散型随机变量均值的定义
一般地,若离散型随机变量X的概率分布为 X P

E X ? x p ? x p ? ? x p ? ? ? 1 1 2 2 i i 则称

x1 p1

x2 … p2 …

xi pi

… …

xn pn

xn pn 为随机变量

X的均值或数学期望,数学期望又简称为期望。
它反映了离散型随机变量取值的平均水平。

归纳求离散型随机变量的均值(期望)的步骤:
①、确定离散型随机变量可能的取值。 ②、写出分布列,并检查分布列的正确与否。

③、求出均值(期望)。

引例2、随机抛掷一个均匀的骰子,求所得骰子 的点数X的均值 解:随机变量X的取值为1,2,3,4,5,6 其分布列为
X P 1 1/6 2 1/6 3 4 5 6 1/6

1/6 你能理解 1/6 3.5 1/6
的含义吗?

所以随机变量X的均值为E(X)=1× 1/6+2× 1/6 +3×1/6+4× 1/6+5× 1/6+6× 1/6=3.5 变式:将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1, 试求Y的均值?

变式:将所得点数的2倍加1作为得分数,即Y=2X+1, 试求Y的均值? 解:随机变量Y的取值为3,5,7,9,11,13 其分布列为
Y 3 5 7 9 11 13

X

1

2

3

4

5

6

P

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

1/6

所以随机变量Y的均值为E(Y) =3×1/6+5×1/6 +7×1/6+9×1/6+11×1/6+13×1/6=8

=2E(X)+1

3.随机变量数学期望的性质: ⑴ EC ? C ,( C 为常数) ⑵ E (aX ? b) ? aEX ? b ,( a , b 为常数)

⑶ E ( X ? Y ) ? EX ? EY
⑷若变量 X , Y 是相互独立的,则 E ( XY ) ? EX ? EY

10

4.几种特殊分布随机变量的数学期望 ⑴若 X 服从两点分布,则 EX ? p 说明: EX ? 0? (1 ? p) ?1? p ? p

⑵若 X ~ B(n, p) ,则 EX ? np ⑶若 X 服从参数为 N , M , n 的超几何分布,
M 则 EX ? n N

11

例 1: 某商家计划在周日进行户外促销活动,若下雨则 亏损 100 元,若不下雨则获利 300 元.据天气预报周日 下雨的概率为 0.4.求此商家在周日活动中获利的数学 期望. 解:用随机变量 X 表示获利.

则 EX ? 300 ? 0.6 ? (?100) ? 0.4 ? 140 说明:此商家有希望获利 140 元,对于这个活动,商家不 是获利 300 就是亏损 100,但如果重复进行此类活动,从 平均意义上讲,每次获利的数学期望为 140 元.

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练习:
若对于某个数学问题,甲,乙两人都在研究,甲解 2 4 出该题的概率为3,乙解出该题的概率为5,设解出该题的 人数为 X ,求 E(X).

?[分析] 首先确定随机变量X所有可能的取 值,X可取0,1,2,然后分别求出它们对应 的概率,再利用求期望的公式计算.

[解析]

记“甲解出该题”为事件 A, “乙解出该题” B )=

为 事 件 B , X 可 能 取 值 为 0,1,2.P(X = 0) = P( A

? 2? ? 4? 1 P( A )· P( B )=?1-3?×?1-5?= , P(X=1)=P(A B )+P( A B) ? ? ? ? 15 ? 2? 4 2 ? 4? 2 =P(A)P( B )+P( A )P(B)=?1-3?×5+3×?1-5?=5,P(X= ? ? ? ?

2 4 8 2)=P(AB)=P(A)P(B)=3×5=15. 所以 X 的分布列如下表:

X P

0 1 15

1 2 5

2 8 15

1 2 8 22 故 E(X)=0×15+1×5+2×15=15≈1.467.

?[点评] 解此类题的一般步骤是:①明确 随机变量的取值,以及取每个值的试验结 果;②求出随机变量取各个值的概率;③ 列出分布列;④利用期望公式进行计算.

例 2:已知变量 X 的分布列如下: 0 ?1 X 1 p a 1 1 2 3 且设 Y ? 2 X ? 3 ,求 Y 的数学期望. 1 ?1 ?1 a ? 1 ? 解:先求 a , 2 3 6, 1 ? 1? 1 ? ? 1 EX ? ? 1 ? 0.5 ? 0 ? 再求 2 6 3 7 EY ? E (2 X ? 3) ? 2 EX ? 3 ? 则 3

16

练习:
? 已知随机变量X的分布列为 X P 0 0.4 2 m 4 0.3

?求:(1)E(X); ?(2)若Y=5X+4,求E(Y).

?[解析] (1)由随机变量分布列的性质, ?得 0.4+m+0.3=1. ?∴m = 0.3 , ∴ E(X) = 0×0.4 + 2×0.3 + 4×0.3=1.8. ?(2)方法一:∵Y=5X+4, ?∴随机变量Y的分布列为: Y P 4 0.4 14 0.3 24 0.3

?∴E(Y)=4×0.4+14×0.3+24×0.3 ?=1.6+4.2+7.2=13. ?方法二:∵Y=5X+4, ?∴ E(Y) = E(5X + 4) = 5E(X) + 4 = 5×1.8 + 4 =13. ?[点评] (1)求期望关键是求分布列,然后 直接套用期望公式; (2) 对于aX + b 型的随 机变量,利用期望的性质E(aX+b)=aE(X) +b求解较简捷.

例 3: 据天气预报,某地区下月有小洪水的 概率为 0.25 , 有大洪水的概率为 0.01 , 为 保护该地区工地上的一个大型设备,有如 下三种方案:
方案 1:运走设备,需花费 3800 元; 方案 2:建一座保护围墙,需花费 2000 元;但围墙不 能防御大洪水,如遇大洪水,损失费为 60000 元; 方案 3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大 洪水,损失费为 60000 元; 如遇小洪水,损失费为 10000 元; 问:应采取哪种方案较为合理?
20

方案 1:运走设备,需花费 3800 元; 方案 2:建一座保护围墙,需花费 2000 元;但围墙不能 防御大洪水,如遇大洪水,损失费为 60000 元; 方案 3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水, 损失费为 60000 元; 如遇小洪水,损失费为 10000 元;
分析:⑴如下月没有洪水,那么方案 3 最好 ⑵如下月有小洪水,那么方案 1 需花费 3800 元, 方 案 2 需花费 2000 元, 方案 3 需花费 10000 元,所以 此条件下方案 2 最好. ⑶如下月有大洪水,那么方案 1 可以避免最大损失, 所以此条件下方案 1 最好.
21

方案 1:运走设备,需花费 3800 元; 方案 2:建一座保护围墙,需花费 2000 元;但围墙不能 防御大洪水,如遇大洪水,损失费为 60000 元; 方案 3:不采取任何措施,希望不发生洪水.如遇大洪水, 损失费为 60000 元; 如遇小洪水,损失费为 10000 元; 从分析不难看出:各个方案都有选择的理由。只能比 较各个方案的平均损失了。
方案 1 的平均损失: EX ? 3800 元. EC ? C ,( C 为常数) 方案 2 的平均损失:
EX ? 60000 ? 0.01 ? 0 ? 0.99 ? 600 ,需 600 ? 2000 ? 2600 元

方案 3 的平均损失:
EX ? 60000 ? 0.01 ? 10000 ? 0.25 ? 0? 0.74 ? 3100 元,
22

方案 1 的平均损失: EX ? 3800 元. 方案 2 的平均损失: EX ? 2000 ? 2600 元 方案 3 的平均损失: EX ? 3100 元,
综上不难看出:采取方案 2 平均损失最小,可以选择方案 2 . 值得注意的是:上述结论是通过比较“平均损失”而得出的.我 们可以这样来理解“平均损失” :假设问题中的气象情况多次 发生,那么采用方案 2 将会使损失减到最小.由于洪水是否 发生以及洪水发生的大小都是随机的, 所以对于个别的一次决 策,采用方案 2 也不一定是最好的.

23

例 4:一次单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正 确答案得 5 分, 不作出选择或选错不得分, 满分 100 分 学 生甲选对任一题的概率为 0.9, 学生乙则在测验中对每题都 从 4 个选择中随机地选择一个,求学生甲和乙在这次单元 测验中的成绩的期望
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

解:设甲和乙在这次英语测验中能答对的题数分 别是 X , Y ,则 X ~ B(20, 0.9) , Y ~ B(20, 0.25) ? EX ? 20 ? 0.9 ? 18 , EY ? 20 ? 0.25 ? 5 由于答对每题得 5 分,学生甲和乙在这次英语测 验中的成绩分别是 5 X 和 5Y .所以他们在测验中 的成绩的期望分别 E (5 X ) ? 5E ( X ) ? 5 ?18 ? 90 E(5Y ) ? 5E (Y ) ? 5 ? 5 ? 25

注:乙及格概率为 0.00082.答对 5 道题概率最大
24

练习:
? 某同学参加科普知识竞赛,需回答三个 问题,竞赛规则规定:每题回答正确得 100分,回答不正确得- 100分.假设这名 同学每题回答正确的概率均为0.8,且各题 回答正确与否相互之间没有影响. ?(1) 求这名同学回答这三个问题的总得分 X 的概率分布和均值; ?(2) 求这名同学总得分不为负分 ( 即 X≥0) 的 概率.

?[ 分析 ] (1) 求 X 的可能取值,即是求得分 ,答对0道题得-300分,答对1道题得100 -200=-100分,答对两道题得 2×100- 100=100分,答对3道题得300分; ?(2) 总分不为负分包括:总分为 100 分和总 分为300分两种情况.

?[ 解析 ] (1)X 的可能取值为- 300 、- 100 、100、300. ?P(X=-300)=0.23=0.008, ?P(X=-100)=3×0.22×0.8=0.096, ?P(X=100)=3×0.2×0.82=0.384, ?P(X=300)=0.83=0.512. ?所以X的概率分布为
X -300 -100 100 300 P 0.008 0.096 0.384 0.512

?E(X) = ( - 300)×0.008 + ( - 100)×0.096 + 100×0.384+300×0.512=180. ?(2) 这 名 同 学 总 得 分 不 为 负 分 的 概 率 为 P(X≥0)=0.384+0.512=0.896.

(第二课时)

29

【复习】
1.数学期望:是离散型随机变量的一个特征数, 它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表 示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所 以又常称为随机变量的平均数、均值.

2.数据的方差的概念: 设一组数据 x1 , x2 , ???xn ,它们的平均值为 x ? x1 ? x2 ? ??? ? xn
n

各数据与它们的平均值的差的平方分别是:
( x1 ? x )2 ,( x2 ? x )2 , ???( xn ? x )2 ,

则: S 2 ? 1 [( x
n

2 2 2 ? x ) ? ( x ? x ) ? ??? ? ( x ? x ) ] 1 2 n

叫做这组数据的方差.
30

数学期望的定义:若离散型随机变量 ξ 的概率分布为:

X
P

x1 p1

x2 p2

? ?

xn pn

? ? 为X

则称 EX ? x1 p1 ? x 2 p 2 ? ? ? xn pn ? ? 的数学期望,简称期望.

随机变量 X 的数学期望的性质: ① EC ? C ,( C 为常数) ② E (aX ? b) ? aEX ? b ,( a , b 为常数) ③若 X ~ B(n,
p) ,则 EX ? np
31

【新课讲解】

二、 离散型随机变量的方差
1. 离散型随机变量方差的定义: 对于离散型随机变量 X ,如果 X 所有可能取的值是 x1 ,

x2 ,?, xn ,?,且取这些值的概率分别是 p1 , p2 ,?,
p n ,?,

那么 , DX ? ( x1 ? EX )2 ? p1 ? (x2 ? EX )2 ? p2 ????? (xn ? EX )2 ? pn ???? 称为随机变量 X 的均方差,简称为方差,式中的 EX 是随机 变量 X 的数学期望. 注:方差是用来衡量 X 与 EX 的平均偏离程度的特征量. DX 越大,表明平均偏离程度越大, X 的取值越分散; DX 越小,表明平均偏离程度越小, X 的取值越集中; DX 和 EX 一样,也是一个实数,由 X 的分布列唯一确定.
32

二、 离散型随机变量的方差
2.离散型随机变量标准差的定义: 规定: DX ? ( x1 ? EX )2 ? p1 ? (x2 ? EX )2 ? p2 ????? (xn ? EX )2 ? pn ???? 称为随机变量 X 的均方差,简称为方差. DX 的算术平方根 DX 叫做随机变量 X 的标准差, 记作 ? X . 3.离散型随机变量方差的性质 2 D ( aX ? b ) ? a DX ⑴
2 2 DX ? EX ? ( EX ) ⑵

(3)若X服从两点分布B(1,p),则D(X)=p(1-p).
(4)若 X ~ B(n,

p) ,则 DX ? np(1 ? p)

33

二、 离散型随机变量的方差

4.离散型随机变量标准差的说明: 规定:方差 DX ? ( x1 ? EX )2 ? p1 ? (x2 ? EX )2 ? p2 ????? (xn ? EX )2 ? pn ??? 标准差 ? X ? DX ⑴随机变量 X 的方差的定义与一组数据的方差的定义 式是相同的; ⑵随机变量 X 的方差 DX 、标准差 ? X 也是随机变量 X 的特征数,它们都反映了随机变量取值的稳定与波 动、集中与离散的程度; ⑶标准差 ? X 与随机变量本身有相同的单位,所以在 实际问题中应用更广泛
王新敞
奎屯 新疆

34

例 1:随机抛掷一枚质地均匀的骰子,求向上一面 的点数的均值、方差和标准差.
答: :抛掷骰子向上一面所得点数 X 的分布列为:
X

1
1 6

2
1 6

3
1 6

4
1 6

5
1 6

6
1 6

p
EX ? 1?

1 1 1 1 1 1 ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 5 ? ? 6 ? ? 3.5 ; 6 6 6 6 6 6

DX ? (1 ? 3.5) 2 ?

1 1 1 1 ? (2 ? 3.5) 2 ? ? (3 ? 3.5) 2 ? ? (4 ? 3.5) 2 ? 6 6 6 6 1 1 ? (5 ? 3.5) 2 ? ? (6 ? 3.5) 2 ? ? 2.92 6 6

? X ? DX ? 1.71.
35

例 2:有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如 下信息:
甲单位不同职位月工资
X 1 /元

1200 1400 1600 1800 0.4 0.3 0.2 0.1

获得相应职位的概率 P1

乙单位不同职位月工资
X 2 /元

1000 1400 1800 2200 0.4 0.3 0.2 0.1

获得相应职位的概率 P2

根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位?

36

解答: 根据月工资的分布列,利用计算器可算得
EX1 ? 1200 ? 0.4 ? 1400? 0.3? 1600? 0.2? 1800? 0.1? 1400

DX 1 ? (1200 ? 1400) 2 ? 0.4 ? (1400 ? 1400) 2 ? 0.3 ? (1600 ? 1400) 2 ? 0.2 ? (1800 ? 1400) 2 ? 0.1 ? 40000 EX 2 ? 1000 ? 0.4 ? 1400? 0.3 ? 1800? 0.2 ? 2200? 0.1? 1400 DX 2 ? (1000 ? 1400)2 ? 0.4 ? (1400 ? 1400)2 ? 0.3 ? (1800 ? 1400)2 ? 0.2 ? (2200 ? 1400)2 ? 0.1 ? 160000
分析:因为 EX1 ? EX 2 说明两家单位的工资均值相等;因为 DX1 ? DX 2

说明甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分 如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位.
37

散.这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位;

练习:已知离散型随机变量 X 的概率分布为
X

1
1 7

2
1 7

3
1 7

4
1 7

5
1 7

6
1 7

7
1 7

P

离散型随机变量 Y 的概率分布为
Y P

3.7
1 7

3 .8
1 7

3.9
1 7
王新敞
奎屯 新疆

4
1 7

4.1
1 7

4.2
1 7

4 .3
1 7

求这两个随机变量期望、均方差与标准差

练习答案::

对于 X : EX ? 4 , DX 对于 Y
:

? 4 ,? X ? 2

EY ? 4 ; DY ? 0.04 , ? Y ? 0.2

38

例 3:甲、乙两射手在同一条件下进行射击,分布列如下:射手甲击
中环数 8,9,10 的概率分别为 0.2,0.6,0.2;射手乙击中环数 8,9,10 的概率分别为 0.4,0.2,0.4.用击中环数的期望与方差比较两名射手的射 击水平 解:
王新敞
奎屯 新疆

EX ? 9 , DX ? 0.4, ;
同理有 EY

? 9, DY ? 0.8
1

王新敞
奎屯

新疆

由上可知, E?1 ? E? 2 , D?

? D?2

王新敞
奎屯

新疆

所以,在射击之前,可以预测甲、乙

两名射手所得的平均环数很接近, 均在 9 环左右, 但甲所得环数较

集中,以 9 环居多,而乙得环数较分散,得 8、10 环地次数多些.

39

练习:
A、B 两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次 品的概率如下表所示: A 机床 次品 数 X1 概率
P1

B 机床 2 3 次品 数 X2 概率
P2

0

1

0

1

2

3

0.7 0.2 0.06

0.04

0.8

0.06

0.04

0.10

问:哪一台机床加工质量较好?
由上可知, EX1 ? 0.44 , EX 2 ? 0.44 ,所以 EX1 ? EX 2

DX1 ? 0.6064 , DX 2 ? 0.9264 ,所以 DX1 ? DX 2 .
40

由上面的分布列可知,

EX1 ? 0.44 , EX 2 ? 0.44 ,
DX1 ? 0.6064 , DX 2 ? 0.9264
所以: EX1 ? EX 2 , DX1 ? DX 2 .

故 A 机床加工较稳定、质量较好.

41

?例4已知随机变量X的分布列是
X P 0 1 2 3 4 0.2 0.2 0.3 0.2 0.1

?试求D(X)和D(2X-1). ?[ 分析 ] 已知分布列求方差,可先求出均 值,再套用公式计算.

? [解析] E(X)=0×0.2+1×0.2+2×0.3+3×0.2 +4×0.1=1.8. ? ∴D(X) = (0 - 1.8)2×0.2 + (1 - 1.8)2×0.2 + (2 - 1.8)2×0.3 + (3 - 1.8)2×0.2 + (4 - 1.8)2×0.1 = 1.56. ? 对于D(2X-1),可用两种方法求解. ? 方法1:2X-1的分布列如下表:
2X-1 P -1 0.2 1 3 5 7

0.2

0.3

0.2

0.1

? ∴E(2X-1)=2.6. ? ∴D(2X - 1) = ( - 1 - 2.6)2×0.2 + (1 - 2.6)2×0.2 + (3 - 2.6)2×0.3 + (5 - 2.6)2×0.2 + (7 - 2.6)2×0.1=6.24.

?方法2:利用方差的性质 ?D(aX+b)=a2D(X)∵D(X)=1.56. ?∴D(2X-1)=4D(X)=4×1.56=6.24. ?[点评] 求随机变量函数 Y=aX+b的方差 ,一是先求 y 的分布列,再求其均值,最 后 求 方 差 ; 二 是 应 用 公 式 D(aX + b) = a2D(X)求.

? 已知X是一个随机变量,随机变量X+5的分布列 如下表:
X+5 P -2 -1 0.2 0.1 0 0.1 1 0.4 2 0.2

? 试求D(X).

?[解析] ∵X+5的分布列已知, ?∴ E(X + 5) = ( - 2)×0.2 + ( - 1)×0.1 + 0×0.1+1×0.4+2×0.2=0.3, ?∴D(X)=D(X+5)=(-2-0.3)2×0.2+(-1 - 0.3)2×0.1 + (0 - 0.3)2×0.1 + (1 - 0.3)2×0.4+(2-0.3)2×0.2=2.01.

?例5.已知某运动员投篮命中率p=0.6. ?(1)求一次投篮命中次数X的期望与方差; ?(2)求重复5次投篮时,命中次数η的均值与 方差. ?[分析] (1)投篮一次可能投中,也可能不 中,投中次数X服从两点分布. ?(2) 重复五次投篮的投中次数 η 服从二项分 布.

?[解析] (1)投篮一次命中次数X的分布列为
X 0 1 P 0.4 0.6 ?则E(X)=0×0.4+1×0.6=0.6, ?D(X)=(0-0.6)2×0.4+(1-0.6)2×0.6=0.24. ?(2) 由题意,重复 5 次投篮,命中次数 η 服从 二项分布,即η~B(5,0.6). ?由二项分布期望与方差的计算公式,有 ?E(η)=5×0.6=3,D(η)=5×0.6×0.4=1.2.

?[ 点评 ] 求离散型随机变量的期望与方差 的关键环节是以下两点: ?(1)写出离散型随机变量的分布列; ?(2) 正确应用均值与方差的公式进行计算 ( 要熟练掌握两点分布、二项分布的期望与 方差的公式).

练习:

?一次数学测验由25道选择题构成,每个选 择题有4个选项,其中有且仅有一个选项 是正确的,每个答案选择正确得4分,不 作出选择或选错不得分,满分100分.某 学生选对任一题的概率为0.6,求此学生在 这一次测验中的成绩的均值与方差.

?[ 解析 ] 设该学生在这次数学测验中选择 正确答案的个数为ξ,所得的分数(成绩)为 η,则η=4ξ. ?由题知ξ~B(25,0.6),∴E(ξ)=25×0.6=15 ,D(ξ)=25×0.6×0.4=6, ?E(η) = E(4ξ) = 4E(ξ) = 60 , D(η) = D(4ξ) = 42×D(ξ)=16×6=96. ?该学生在这次测验中的成绩的均值与方差 分别是60与96.

课堂练习
?一、选择题 ?1 . 甲,乙两个运动员射击命中环数 ξ , η 的分布列
如下表.其中射击比较稳定的运动员是( )

8 环数k 0.3 P(ξ=k) 0.2 P(η=k) ?A.甲 B.乙 C.一样

9 10 0.2 0.5 0.4 0.4 D.无法比较

?[答案] B ?[ 解析 ] E(ξ) = 9.2 , E(η) = 9.2 = E(ξ) , D(ξ) =0.76,D(η)=0.56<D(ξ),乙稳定.

?2 .设随机变量 X~ B(n ,p) ,且 E(X) = 1.6 , D(X)=1.28,则( ) ?A.n=8,p=0.2 ?B.n=4,p=0.4 ?C.n=5,p=0.32 ?D.n=7,p=0.45 ?[答案] A

[解析]

因为 X~B(n, p), 所以 E(X)=np, D(X)=np(1 ,

? ?np=1.6 -p),从而有? ? ?np(1-p)=1.28

解之得 n=8,p=0.2.

3.设随机变量 X 服从二项分布 值为( 4 A.3 ) 8 B.3 8 C.9

? 1? B?4,3?,则 ? ?

D(X)的

1 D.9

[答案] C

?二、填空题 ?4 .某射手击中目标的概率为 p ,则他射击 一次击中目标的次数X的均值是________, 方差是________. ?[答案] p 1-p

?5.随机变量X的分布列如下表: X P 0 x 1 y 2 z


?其中x、y、z成等差数列,若E(X)= 则D(X)的值是______.

[解析]

1 E(X)=0×x+1×y+2×z=y+2z= , 3

2 1 又 x+y+z=1,且 2y=x+z,∴x=3,y=3,z=0, 12 2 12 1 12 2 ∴D(X)=(0- ) × +(1- ) × +(2- ) ×0= . 3 3 3 3 3 9

?三、解答题 ?6.设在15个同类型的零件中有2个是次品 ,每次任取1个,取出后不再放回,共取3 次.若以X表示取出次品的个数,求X的均 值和方差. ?[ 分析 ] 首先求出各种情况的概率,写出 概率分布,注意零件取后不放回.

1 2 C3 22 C 12 13 2C13 [解析] P(X=0)= 3 = ,P(X=1)= 3 = , C15 35 C15 35 2 1 C2 C13 1 P(X=2)= C3 =35, 15

故 X 的分布列为: X P 0 22 35 1 12 35 2 1 35

22 12 1 2 则 E(X)=0× +1× +2× = , 35 35 35 5 ? 2?2 22 ? 2?2 12 ? 2?2 1 52 D(X)=?0-5? × +?1-5? × +?2-5? × = . 35 ? 35 ? 35 175 ? ? ? ?

【小结】
一、求离散型随机变量 X 的方差、标准差的步骤:
①理解 X 的意义,写出 X 可能取的全部值; ②求 X 取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 EX ; ④根据方差、标准差的定义求出 DX 若 X ~ B(n,

,? X 。

p) ,则不必写出分布列,直接用公式计算即可.

二. 对于两个随机变量 X 和 Y ,在 EX 和 EY 相等或很接近 时,比较 DX 和 DY ,可以确定哪个随机变量的性质更适合 生产生活实际,适合人们的需要 。
王新敞
奎屯 新疆


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