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转化化归思想在高中数学中的应用情形归纳


转化化归思想在高中数学中的应用情形归纳 【知识要点】 一、数学思想是人对数学知识的本质认识,是从某些具体的数学内容和对数学的认识过程中提炼上升 的数学观点, 它在认识过程中被反复运用, 带有普遍的指导意义.是建立数学和用数学解决问题的指导思想, 而且数学思想是数学学科的精髓,是数学素养的重要内容之一.学生只有领会了数学思想,才能有效地应用 知识,形成能力.在我们解决数学问题进行数学思维时,也总是自觉或不自觉地运用数学思想方法. 高中数学解题常用的数学思想有数形结合思想、分类讨论思想、转化化归思想、函数方程思想等. 二、在解决数学问题时,常遇到一些问题直接求解比较困难,通过观察、分析等思维过程,需将原问题 转化为一个新问题(相对来说,对自己较熟悉的) ,通过对新问题的求解,达到解决原问题的目的 .这一思 想方法我们称之为“转化化归思想”.转化化归思想就是化难为易,化生为熟,化繁为简,化未知为已知. 转化化归思想的情形很多,常见的情形见后面的方法讲评. 三、转化化归要遵循的几个基本原则有:目标简单化原则、和谐统一性原则、熟悉化原则、直观化原 则. 四、本讲讲了转化化归思想情形 情形 1:正难则反的转化化归; 情形 2:数形结合的转化化归; 情形 3:换元建新的转化化归; 情形 4:主元次元的转化化归 . 情形 5:未知已知的转化化归; 情形 6:构造创新的转化化归; 情形 7:否定逆否的转化化归; 情形 8:坐标解析的转化化归. 情形 9:陌生熟悉的转化化归; 情形 10:空间平面的转化化归; 情形 11:抽象具体的转化化归; 情形 12:实际数学的转化化归. 情形 13:线面关系的转化化归; 情形 14:由因导果的转化化归; 情形 15:复杂简单的转化化归; 情形 16:特殊一般的转化化归. 【方法讲评】 正难则反的转化化归 转化化归 一个数学问题从正面考虑比较复杂,可以先考虑问题的反面,求出反面问题的答案,再根据 情形一 正面反面问题的关系得到原数学问题的答案. 2 【例1】已知 m ? R, 设命题 P : | m? 5 |? 3 ;命题 Q :函数 f ( x) ? 3 x ? 2mx ? m ? 4 有两个不同的零 3 点. 求使命题“ P 或 Q ”为真命题的实数 m 的取值范围. 所以可以考虑 P假Q假 . 所以 ? ? m ? 2或m ? 8 ,所以 ?1 ? m ? 2 . ? ?1 ? m ? 4 [2, ??) . 所以实数 m 的取值范围是 (??, ?1) 【点评】 (1) 本题从正面考虑, 命题 “ P 或Q ” 为真命题有三种情况 ( P真Q假或P假Q真或P真Q真 ) , 所以从正面考虑,要分三种情况考虑,情况比较复杂,但是它的反面只有一种情况,就是 P假Q假 , 所以此时我们可以转化为考虑它的反面,求出实数 m 的取值范围, 由于正面和反面的情况下, 实数 m 的取值 范围的并集是 R ,所以我们求出反面情况下 m 的取值范围后,只要再求这个范围在R中的补集即可.(2)在 学习数学的过程中或实际生活中,当我们遇到正面考虑比较复杂的问题时 ,我们可以考虑它的反面.假设 正面解答问题的结果为集合 A ,反面解答问题的结果为集合 B ,则 A B ? U (全集),A=CU B .我们先考 虑它的反面得到集合 B , 再根据集合的关系得到问题的结果为 CU B .在有的资料上这种方法称为 “补集法” . 【反馈检测 1】已知集合 A ? {x | x ? 4mx ? 2m ? 6 ? 0}, B ? {x

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