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2012新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析):第二编_函数与导数


2012 新课标高考数学(文)一轮复习讲义(带详细解析) :第二 编 函数与导数

第二编

函数与导数

§2.1 函数及其表示?

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) -x2-3x+4 1.(2009· 江西改编)函数 y= 的定义域为________________. x ?-x2-3x+4≥0, ? 解析 由题意得? ? ?x≠0, 因此-4≤x≤1 且 x≠0. 答案 [-4,0)∪(0,1] 1 2.(2009· 福建改编)下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是________. x 1 ①f(x)=ln x ②f(x)= x ③f(x)=|x| ④f(x)=ex 1 1 解析 y= 定义域为(0,+∞),f(x)=ln x 定义域为(0,+∞),f(x)= 定义域为{x|x≠0}. x x f(x)=|x|定义域为 R,f(x)=ex 定义域为 R. 答案 ① ?log2x, x>0, ? 1 3.(2010· 广州模拟)已知函数 f(x)=? x 若 f(a)= ,则 a=________. 2 ? ?2 , x≤0. 1 解析 当 a>0 时,log2a= ,∴a= 2, 2 1 -1 a 当 a≤0 时,2 = =2 ,∴a=-1.∴a=-1 或 2. 2 答案 -1 或 2 4.(2008· 陕西理,11)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, 则 f(-3)=________. 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.
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答案 6

?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为__________. 5.(2009· 金华模拟)已知 f? ? ?1+x? 1+x2
2

1-x 1-t 解析 令 t= ,则 x= , 1+x 1+t ?1-t?2 1-? ? ?1+t? 2t 因此 f(t)= = 2, ?1-t?2 1+t 1+? ? ?1+t? 2x 因此 f(x)的解析式为 f(x)= . 1+x2 2x 答案 f(x)= 1+x2 6.(2009· 江苏海安高级中学)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)= ?1 (-1<x≤0) ? ? ,则 f(3)=________. ? ?-1 (0<x≤1) 解析 f(3)=f(2+1)=-f(2) =-f(1+1)=f(1)=-1. 答案 -1 7.(2010· 泉州第一次月考)已知函数 φ(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 1 的反比例函数,且 φ?3?=16,φ(1)=8,则 φ(x)=____________. ? ? 解析 设 f(x)=mx (m 是非零常数), n n g(x)= (n 是非零常数),则 φ(x)=mx+ , x x 1? 由 φ?3?=16,φ(1)=8, ? 1 ? ?m=3 ?16=3m+3n ? 得? ,解得? . ? ?n=5 ? ?8=m+n 5 故 φ(x)=3x+ . x 5 答案 3x+ x 8.(2010· 宿迁模拟)如右图所示,在直角坐标系的第一象限内,△AOB 是边 长为 2 的等边三角形,设直线 x=t (0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线 左方的图形的面积为 f(t), 则函数 y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号).

解析 首先求出该函数的解析式. 当 0≤t≤1 时,如下图甲所示,
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32 t. 2 当 1≤t<2 时,如下图乙所示, 有 f(t)=S△MON=

有 f(t)=S△AOB-S△MNB=-

3 (2-t)2+ 3, 2

? 3 2 (0 ? t ? 1) ? t ? 2 ? f (t ) ? ? . ?? 3 (t ? 2) 2 ? 3 (1 ? t ? 2) ? 2 ?
答案 ④ 9.(2009· 浙江温州十校联考)在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点, 如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数.有下列函 数: 1 ①f(x)=sin 2x;②g(x)=x3;③h(x)=( )x; 3 ④φ(x)=ln x,其中是一阶整点函数的是____________________________________. 解析 对于函数 f(x)=sin 2x,它只通过一个整点(0,0),故它是一阶整点函数;对于函数 g(x)=x3,当 x∈Z 时,一定有 g(x)=x3∈Z,即函数 g(x)=x3 通过无数个整点,它不是一 1 阶整点函数;对于函数 h(x)=( )x,当 x=0,-1,-2,?时,h(x)都是整数,故函数 h(x) 3 通过无数个整点,它不是一阶整点函数;对于函数 φ(x)=ln x,它只通过一个整点(1,0), 故它是一阶整点函数. 答案 ①④ 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 泰州二模)(1)已知 f(x)的定义域是[0,4],求 ①f(x2)的定义域; ②f(x+1)+f(x-1)的定义域. (2)已知 f(x2)的定义域为[0,4],求 f(x)的定义域. 解 (1)∵f(x)的定义域为[0,4], ①f(x2)以 x2 为自变量,∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2, 故 f(x2)的定义域为[-2,2]. ? ?0≤x+1≤4, ②f(x+1)+f(x-1)以 x+1,x-1 为自变量,于是有? ∴1≤x≤3. ?0≤x-1≤4, ? 故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]. (2)∵f(x2)的定义域为[0,4],∴0≤x≤4, ∴0≤x2≤16,故 f(x)的定义域为[0,16]. 11.(16 分)(2010· 徐州模拟)已知 f(x)=x2-2x+1,g(x)是一次函数,且 f[g(x)]=4x2,求 g(x) 的解析式. 解 设 g(x)=ax+b(a≠0), 则 f[g(x)]=(ax+b)2-2(ax+b)+1 =a2x2+(2ab-2a)x+b2-2b+1=4x2.

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?a =4, ? ∴?2ab-2a=0, ?b2-2b+1=0. ?

2

解得 a=± 2,b=1.

∴g(x)=2x+1 或 g(x)=-2x+1. 12.(16 分)(2009· 广东三校一模)某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元 时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的 车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解 (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时, 3 600-3 000 未租出的车辆数为 =12, 50 所以这时租出了 88 辆车. (2)设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为 x-3 000 x-3 000? f(x)=?100- (x-150)- ×50, 50 50 ? ? x2 整理得 f(x)=- +162x-21 000 50 1 =- (x-4 050)2+307 050. 50 ∴当 x=4 050 时,f(x)最大, 最大值为 f(4 050)=307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出 88 辆车; (2)当每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307 050 元.

§2.2 函数的单调性及最大(小)值

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 江苏盐城一模)函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是________. 解析 函数 f(x)的定义域是(-1,4), 令 u(x)=-x2+3x+4 3 3 25 =-?x-2?2+ 的减区间为?2,4?, ? ? 4 ? ? 3 ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 3 答案 [ ,4) 2 2.(2009· 湖南改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 ? ?f(x), f(x)≤K, 1 - fK(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为_ 2 ? ?K, f(x)>K. _________________. 1 - 解析 由 f(x)=2 |x|≤ 得-|x|≤-1, 2
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∴|x|≥1.∴x≥1 或 x≤-1. -|x| ?2 ,x≥1或x≤-1, ? ∴fK(x)=?1 ?2,-1<x<1. ? 1 - 当 x∈(1,+∞)时,fK(x)=2 x=?2?x,在(1,+∞)上为减函数. ? ? 当 x∈(-∞,-1)时,fK(x)=2x,在(-∞,-1)上为增函数. 答案 (-∞,-1) 1 3.(2009· 江苏扬州模拟)已知 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f( )>f(1)的 x 的取值范围为 x __________________. 1-x 1 1 解析 由题意 f( )>f(1), <1,即 <0, x x x ∴x>1 或 x<0. 答案 (-∞,0)∪(1,+∞) 3 4.(2010· 徐州调研)若 f(x)在(0,+∞)上是减函数,则 f(a2-a+1)与 f( )的大小关系是 4 ________________. 1 3 3 解析 ∵a2-a+1=(a- )2+ ≥ , 2 4 4 3 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(a2-a+1)≤f( ). 4 3 2 答案 f(a -a+1)≤f( ) 4 a 5.(2010· 山东临沂模拟)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)= 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的 x+1 取值范围是____________________. a 解析 由 f(x)=-x2+2ax 得对称轴为 x=a, 在[1,2]上是减函数, 所以 a≤1, 又由 g(x)= x+1 在[1,2]上是减函数,所以 a>0,综合得 a 的取值范围为(0,1]. 答案 (0,1] 6.(2009· 山东烟台调研)关于下列命题: ①若函数 y=2x 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}; 1 1 ②若函数 y= 的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y≤ }; x 2 2 ③若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}; ④若函数 y=log2x 的值域是{y|y≤3},则它的定义域是{x|0<x≤8}.其中不正确的命题的 序号是________.(注:把你认为不正确的命题的序号都填上) 1 1 解析 ①中, x≤0, x∈(0,1]; y=2 ②中, x>2, ∈(0, ); y= ③中, 2 的值域是{y|0≤y≤4}, y=x x 2 但它的定义域不一定是{x|-2≤x≤2};④中,y=log2x≤3,∴0<x≤8,故①②③错,④ 正确. 答案 ①②③ 7.(2010· 惠州一模)已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的 取值范围是______________. 解析 依题意,原不等式等价于

?-2<m-1<2 ? ?-2<1-2m<2 ?m-1<1-2m ?

? 1 3 ?- <m< 2 ?? 2 ?m<2 ? 3

-1<m<3 1 2 ?- <m< . 2 3

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1 2 答案 ?-2,3? ? ? 8.(2009· 福建厦门适应性考试)若函数 f(x)=(m-1)x2+mx+3 (x∈R)是偶函数,则 f(x)的单 调减区间是____________________. 解析 ∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴(m-1)x2-mx+3 =(m-1)x2+mx+3,∴m=0. 这时 f(x)=-x2+3, ∴单调减区间为[0,+∞). 答案 [0,+∞) 25 9.(2010· 湛江调研)若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为[- ,-4],则 m 的取 4 值范围是__________________. 3 25 解析 ∵f(x)=x2-3x-4=(x- )2- , 2 4 3 25 ∴f( )=- ,又 f(0)=-4, 2 4 故由二次函数图象可知 3 ≤m, 2 3 解得 ≤m≤3. 2 3 3 m- ≤ -0. 2 2 3 答案 [ ,3] 2 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 无锡模拟)已知 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,试解不等式 f(x)+f(x-8)≤2. 解 根据题意,由 f(3)=1, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 又 f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)], 故 f[x(x-8)]≤f(9). ∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,

? ? ?

?x>0, ? ∴?x-8>0, 解得 8<x≤9. ?x(x-8)≤9, ?
∴原不等式的解集为{x|8<x≤9}. x 11.(16 分)(2010· 镇江模拟)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2, x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 2(x1-x2) = . (x1+2)(x2+2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则
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x1 x2 - x1-a x2-a a(x2-x1) = . (x1-a)(x2-a) ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述,0<a≤1. 12.(16 分)(2010· 无锡调研)函数 f(x)对任意的实数 m、n 有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当 x>0 时 有 f(x)>0. (1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (2)若 f(1)=1,解不等式 f[log2(x2-x-2)]<2. (1)证明 设 x2>x1, 则 x2-x1>0. ∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-f(x1) =f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1), 故 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. (2)解 ∵f(1)=1, ∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 又 f[log2(x2-x-2)]<2, ∴f[log2(x2-x-2)]<f(2). ∴log2(x2-x-2)<2, ?x2-x-2>0, ? 于是? 2 ? ?x -x-2<4. f(x1)-f(x2)=
?x<-1或x>2, ? ∴? ?-2<x<3, ? 即-2<x<-1 或 2<x<3. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1 或 2<x<3}.

§2.3 函数的奇偶性

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1. (2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的偶函数, 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 008)+f(2 009)的值为____. 解析 f(-2 008)+f(2 009)=f(2 008)+f(2 009) =f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1. 答案 1 2.(2010· 江苏南京模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 在 R 上 f(x)的表达式为____________. 解析 设 x<0,则-x>0,由 f(x)为奇函数知 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. ?x2-2x (x≥0), ? ∴f(x)=? 2 ? ?-x -2x (x<0). 即 f(x)=x(|x|-2). 答案 f(x)=x(|x|-2) 3.(2010· 浙江宁波检测)已知函数 f(x)=g(x)+2,x∈[-3,3],且 g(x)满足 g(-x)=-g(x),若
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f(x)的最大值、最小值分别为 M、N,则 M+N=________. 解析 因为 g(x)是奇函数,故 f(x)关于(0,2)对称, 所以 M+N=4. 答案 4 4.(2010· 泰州模拟)f(x)、g(x)都是定义在 R 上的奇函数,且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a) =b,则 F(-a)=____________. 解析 令 G(x)=F(x)-2=3f(x)+5g(x), 故 G(x)是奇函数, ? ?G(a)=F(a)-2, 又? ? ?G(-a)=F(-a)-2, 解得 F(-a)=-b+4. 答案 -b+4 5.(2010· 无锡模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是 ______(填序号). ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x· f(x);④y=f(x)+x. 解析 ∵f(x)的定义域为 R,∴f(|-x|)=f(|x|), ∴y=f(|x|)是偶函数; 令 F(x)=f(-x), 则 F(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数,∴②是奇函数; 令 M(x)=x· f(x), 则 M(-x)=-x· f(-x)=x· f(x)=M(x), ∴M(x)是偶函数; 令 N(x)=f(x)+x, 则 N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x =-[f(x)+x]=-N(x), ∴N(x)是奇函数,故②、④是奇函数. 答案 ②④ 1 6.(2009· 重庆)若 f(x)= x +a 是奇函数,则 a=________________. 2 -1 1 1 解析 ∵f(-x)=-f(x),即 -x +a=- x -a, 2 -1 2 -1 2x+a-a·x -1-a·x+a 2 2 ∴ = , 1-2x 2x-1 ∴(a-1)2x-a=-a·x+(a-1), 2 ? ?a-1=-a, 1 ∴? ∴a= . 2 ? ?-a=a-1, 答案 1 2

2? x 7. (2010· 江苏如东模拟)定义两种运算: b= a2-b2, a? a?b= (a-b)2, 则函数 f(x)= (x?2)-2 的奇偶性为________________. 4-x2 4-x2 解析 由题意知:f(x)= = , (x-2)2-2 |x-2|-2 定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 ∴f(x)= ,x∈[-2,0)∪(0,2]. -x

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4-x2 =-f(x). x ∴函数 f(x)为奇函数. 答案 奇函数 8. (2009· 四川改编)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 5?? 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f?f?2??的值是________. ?? 解析 由 xf(x+1)=(1+x)f(x)可得 3 ?5? 5 ?3? 1 ?3? 3 ?1? f = f , f = f , 2 ?2? 2 ?2? 2 ?2? 2 ?2? 1 1 1 1 1 1 - f?2?= f?-2?.又∵f?2?=f?-2?, ? ? 2? ? ? ? ? ? 2 1 3 5 ∴f?2?=0,f?2?=0,f?2?=0. ? ? ? ? ? ? 又∵-1· f(-1+1)=(1-1)f(-1), ∴-f(0)=0f(-1)=0. ∴f(0)=0, 5 ∴f?f?2??=f(0)=0. ? ? ?? 答案 0 9.(2009· 连云港模拟)函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上单调递增,则 f(-1),f(0), f(2)的大小关系是________. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴其图象关于 y 轴对称, 又∵y=f(x-2)的图象是由 y=f(x)向右平移 2 个单位得到的, y=f(x-2)在[0,2]上单调递 而 增, ∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减, ∴f(-1)=f(1)且 f(0)>f(1)>f(2), ∴其大小关系为 f(0)>f(-1)>f(2). 答案 f(0)>f(-1)>f(2) 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 江苏金陵中学三模)已知 f(x)是实数集 R 上的函数,且对任意 x∈R,f(x)= f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)已知 f(3)=2,求 f(2 004). (1)证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1) ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). ∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=-f[(x+1)-1] =-f(x). ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x). ∴f(x)是周期函数且 6 是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2. 11.(16 分)(2009· 广东东莞模拟)已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; 1 1 (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 2 2 解 (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时,f(x)为非奇非偶函数. 又∵f(-x)=
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1 3 (2)当 x≤a 时,f(x)=x2-x+a+1=?x-2?2+a+ , ? ? 4 1 ∵a≤ ,故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减, 2 从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1. 1 3 当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=?x+2?2-a+ , ? ? 4 1 ∵a≥- ,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a) 2 2 =a +1. 1 1 综上得,当- ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a2+1. 2 2 12.(16 分)(2009· 东北三省联考)设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x) =f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. ? ? ?f(2-x)=f(2+x) ?f(x)=f(4-x) 解 (1)由? ?? ? ? ?f(7-x)=f(7+x) ?f(x)=f(14-x) ?f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期为 T=10. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)≠0,故 f(-3)≠0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数. (2)由(1)知 y=f(x)的周期为 10.又 f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 005]上有 402 个解, 在[-2 005,0]上有 400 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 005,2 005]上有 802 个解.

§2.4 指数与指数函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) - 1.(2010· 镇江模拟)若 0<x<1,则 2x,2 x,0.2x 的大小关系是________. 1 1 1 2 1 解析 取 x= ,则 2 = 2,2- = ,0.2 = 0.2, 2 2 2 2 2 2 - ∴ 2> > 0.2,即 2x>2 x>0.2x. 2 - 答案 2x>2 x>0.2x 5-1 2.(2009· 江苏,10)已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的 2 大小关系为________. 5-1 解析 ∵0<a= <1, 2 x ∴函数 f(x)=a 在 R 上是减函数. 又∵f(m)>f(n), ∴m<n. 答案 m<n - 3.(2009· 山东烟台模拟)函数 y=2 |x|的单调增区间是______________.
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解析 画出函数 y=2

-|x|

?2 ? =? x ? ?2

-x

x≥0 x<0

的图象,如图.

答案

(-∞,0]

?2x, ? 4.(2010· 泰州月考)设函数 f(x)=? ? ?g(x),

x<0, x>0

若 f(x)是奇函数,则 g(2)=________.

1 - 解析 ∵f(-2)=2 2= =-f(2) 4 1 ∴f(2)=- , 4 又∵f(2)=g(2), 1 ∴g(2)=- . 4 1 答案 - 4 5.(2010· 扬州调研)若函数 y=4x-3·x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7],集合 B=(-∞, 2 0]∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系为________. 解析 因为 y=4x-3·x+3 的值域为[1,7], 2 所以 1≤(2x)2-3·x+3≤7, 2 所以 x≤0 或 1≤x≤2. 答案 A=B - 6.(2010· 南京调研)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的 取值范围是______________. ?a≤1, ? - 解析 f(x)=-x2 +2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,即 ? 故 ? ?a+1>1. 0<a≤1. 答案 (0,1] a 7.(2010· 锦州模拟)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是 2 _______. 解析 当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上单调递增, a 3 故 a2-a= ,得 a= ; 2 2 x 当 0<a<1 时,y=a 在[1,2]上单调递减, a 1 1 3 故 a-a2= ,得 a= .故 a= 或 a= . 2 2 2 2 1 3 答案 或 2 2 8.(2010· 盐城模拟)函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 x f(b )________f(cx).(用“≤”,“≥”,“>”,“<”填空) 解析 ∵f(1+x)=f(1-x). ∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2 又 f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. 若 x≥0,则 3x≥2x≥1,
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∴f(3x)≥f(2x), 若 x<0,则 3x<2x<1, ∴f(3x)>f(2x), ∴f(3x)≥f(2x). 答案 ≤ 9.(2009· 湖北黄冈四市联考)设函数 f(x)=|2x-1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则 a+b =________. 解析 因为 f(x)=|2x-1|的值域为[a,b], 所以 b>a≥0, 而函数 f(x)=|2x-1|在[0,+∞)上是单调递增函数, ?|2a-1|=a ?a=0 ? ? 因此应有? b ,解得? , ? ? ?|2 -1|=b ?b=1 所以有 a+b=1. 答案 1 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 广东韶关一模)要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 解 由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 1+2x 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 4 1+2x 1 1 又∵- x =-?2?2x-?2?x ? ? ? ? 4 1 1 1 =-??2?x+2?2+ , ? ? ? ? 4 1 1 ∵x∈(-∞,1],∴?2?x∈?2,+∞?. ? ? ? ? 1?x 1?2 1 令 t=?2? ,则 f(t)=-?t+2? + , ? ? 4 1 t∈?2,+∞?, ? ? 1 则 f(t)在?2,+∞?上为减函数, ? ? 1? 1 1?2 1 3 f(t)≤f?2?=-?2+2? + =- , ? ? 4 4 3? 即 f(t)∈?-∞,-4?. ? 1 ∵a>f(t),在[ ,+∞)上恒成立, 2 3 ∴a∈?-4,+∞?. ? ? 11.(16 分)(2009· 江苏苏北四市期末)设 f(x)=ax+b 同时满足条件 f(0)=2 和对任意 x∈R 都 有 f(x+1)=2f(x)-1 成立. (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内 g(x)=f(x),且函数 h(x)的图象与 g(x)的图 象关于直线 y=x 对称,求 h(x); (3)求函数 y=g(x)+h(x)的值域. 解 (1)由 f(0)=2,得 b=1, 由 f(x+1)=2f(x)-1,得 ax(a-2)=0, 由 ax>0 得 a=2, 所以 f(x)=2x+1. (2)由题意知,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2x+1. 设点 P(x,y)是函数 h(x)的图象上任意一点,它关于直线 y=x 对称的点为 P′(y,x),依
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题意点 P′(y, x)应该在函数 g(x)的图象上, x=2y+1, 即 所以 y=log2(x-1), h(x)=log2(x 即 -1). 5 (3)由已知得 y=log2(x-1)+2x+1,且两个函数的公共定义域是[ ,2],所以函数 y=g(x) 4 5 x +h(x)=log2(x-1)+2 +1(x∈[ ,2]). 4 5 由于函数 g(x)=2x+1 与 h(x)=log2(x-1)在区间[ ,2]上均为增函数, 4 5 4 因此当 x= 时,y=2 2-1, 4 5 4 当 x=2 时,y=5,所以函数 y=g(x)+h(x)(x∈[ ,2])的值域为[2 2-1,5]. 4 1 12.(16 分)(2010· 南通模拟)已知函数 f(x)=( )x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最 3 小值为 h(a). (1)求 h(a); (2)是否存在实数 m,n,同时满足以下条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出 m,n 的值;若不存在, 说明理由. 1 1 解 (1)因为 x∈[-1,1],所以( )x∈[ ,3]. 3 3 1x 1 设( ) =t,t∈[ ,3], 3 3 则 g(x)=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2. 1 1 28 2a 当 a< 时,h(a)=φ( )= - ; 3 3 9 3 1 当 ≤a≤3 时,h(a)=φ(a)=3-a2; 3 当 a>3 时,h(a)=φ(3)=12-6a.

? 9 - 3 (a<3) ? 1 所以 h(a)=? 3-a ( ≤a≤3) 3 ? ?12-6a (a>3)
28 2a
2

1

.

(2)因为 m>n>3,a∈[n,m],所以 h(a)=12-6a. 因为 h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],且 h(a)为减函数, ?12-6m=n2 ? 所以? 2 ,两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n),因为 m>n,所以 m-n≠0,得 ? ?12-6n=m m +n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数 m,n 不存在.

§2.5 对数与对数函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1. (2009· 全国Ⅱ改编)设 a=log2π, b=log2 3, c=log3 2, a, c 的大小关系为________. 则 b,
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1 1 解析 ∵a=log3π>1,b= log23<1,c= log32<1, 2 2 log23 lg23 ∴a>b,a>c.又 = >1,∴b>c, log32 lg22 ∴a>b>c. 答案 a>b>c 2.(2009· 福建厦门模拟)函数 y=lg x+lg(x-1)的定义域为 A,y=lg(x2-x)的定义域为 B,则 A、B 的关系是______________. ? ?x>0 解析 由已知得? ,∴A={x|x>1},由 x2-x>0 ? ?x-1>0 得 x>1 或 x<0,∴B={x|x>1 或 x<0},∴A? B. 答案 A? B 3.(2009· 广东改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a, a)则 f(x)=__________________. 解析 由 y=ax 得,x=logay,即 f(x)=logax, 1 1 由于 a=loga a= ,因此 f(x)=log x. 2 2 1 答案 log x 2 ? ?(3a-1)x+4a, x<1, 4.(2009· 南京十三中三模)已知 f(x)=? 是 R 上的减函数,那么 a 的 ? ?logax, x≥1 取值范围是________________. ?0<a<1 解析 由已知?3a-1<0 1 1 解得 ≤a< . 7 3 1 1 答案 [ , ) 7 3 1 5.(2010· 江苏泰州月考)函数 y=log (x2-3x+2)的递增区间是__________. 2 解析 由 x2-3x+2>0 得 x<1 或 x>2, 当 x∈(-∞,1)时,f(x)=x2-3x+2 单调递减, 1 1 而 0< <1,由复合函数单调性可知 y=log (x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,在(2, 2 2 +∞)上是单调递减的. 答案 (-∞,1) 6.(2010· 泰州模拟)方程 log3(x2-10)=1+log3x 的解是________. 解析 log3(x2-10)=log33x. ∴x2-10=3x.∴x2-3x-10=0. ∴x=-2 或 x=5. 检验知 x=5 适合. 答案 5 1 7.(2009· 辽宁改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 ? ? f(2+log23)=________. 解析 因为 2+log23<4,故 f(2+log23)=f(2+log23+1) =f(3+log23).又因为 3+log23>4,故 f(3+log23)

?

?(3a-1)+4a≥0 ?



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1 1 1 1 =?2?3+log23=?2?3·= . ? ? ? ? 3 24 1 答案 24 8.(2010· 淮北调研)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值 为________. 解析 ∵y=ax 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. ∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调, ∴f(0)+f(1)=a,即 a0+loga1+a1+loga2=a, 1 化简得 1+loga2=0,解得 a= . 2 1 答案 2 9.(2009· 广东五校联考)设 a>0,a≠1,函数 f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,则不等式 loga(x2 -5x+7)>0 的解集为________________. 解析 设 t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当 x=1 时,tmin=lg 2. 又函数 y=f(x)有最大值,所以 0<a<1. 由 loga(x2-5x+7)>0,得 0<x2-5x+7<1, 解得 2<x<3.故不等式解集为{x|2<x<3}. 答案 (2,3) 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 1 1 10.(14 分)(2010· 江苏启东中学模拟)已知函数 f(x)=log (x2-ax-a)在区间(-∞,- )上为增 2 2 函数,求 a 的取值范围. 解 令 g(x)=x2-ax-a. 1 1 ∵f(x)=log g(x)在(-∞,- )上为增函数, 2 2 1 ∴g(x)应在(-∞,- )上为减函数且 g(x)>0 2 1 在(-∞,- )上恒成立. 2 a 1 ≥- 2 2 因此 , 1 g(- )>0 2

? ? ?

?a≥-1 ? 即?1 a . ?4+2-a>0 ?
1 解得-1≤a< , 2 1 故实数 a 的取值范围是-1≤a< . 2 11.(16 分)(2010· 舟山调研)已知函数 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求 a 的取值范围. 解 因为 μ(x)=x2-2ax-3 在(-∞,a]上是减函数, 在[a,+∞)上是增函数, 要使 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数, 首先必有 0<a2<1, 即 0<a<1 或-1<a<0,且有

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?μ(-2)≥0, ? 1 ? 得 a≥- .综上, 4 ? ?a≥-2,

1 得- ≤a<0 或 0<a<1. 4 x+b 12.(16 分)(2010· 扬州模拟)已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1,b>0). x-b (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性. x+b 解 (1)由 >0?(x+b)(x-b)>0. x-b 解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). ?-x+b? (2)∵f(-x)=loga? ? ?-x-b? ?x-b?=log ?x+b?-1=-f(x), =loga? ? ? a? ?x+b? ?x-b? ∴f(x)为奇函数. x+b 2b (3)令 u(x)= ,则 u(x)=1+ . x-b x-b 它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. ∴当 0<a<1 时,f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数; 当 a>1 时,f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数.

§2.6 幂函数

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=xα 的图象经过点(4,2),则 log2f(2)=________. 1 解析 由已知得 2=4α,∴α= , 2 1 ∴f(x)=x , 2 1 1 ∴log2f(2)=log22 = . 2 2 1 答案 2 1 1 2.(2009· 江苏靖江调研)设 α∈{-2,- , ,2},则使函数 y=xα 为偶函数的所有 α 的和为 2 2 ____________. 解析 符合题意的 α 为-2 和 2,则-2+2=0. 答案 0 3.(2009· 山东临沂模拟)已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a、b、c 按从小到大的顺序 排列为________________. 解析 由指数函数 y=0.8x 知, ∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1, 即 b<a,又 c=1.20.8>1,∴b<a<c. 答案 b<a<c - - 4.(2010· 连云港模拟)幂函数 y=(m2-m-1)· 5m 3,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则实数 m x
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的值为________. ? 2 ?m -m-1=1, 解析 由题意知? ∴m=2. ?-5m-3<0. ? 答案 2 -x ?2 -1, x≤0, ? 5.(2010· 盐城模拟)设函数 f(x)=? 1 ?x2, x>0. ?

若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是

________________. 解析 f(x0)>1, 当 x0≤0 时,2-x0-1>1, 即 2-x0>2,-x0>1,∴x0<-1; 1 当 x0>0 时,x 0>1,∴x0>1. 2 综上,x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 1 6.(2010· 西安调研)函数 y=(0.5x-8)- 的定义域是______________. 2 1x - 解析 由题意知 0.5x-8>0,即( ) >8,即 2 x>23, 2 ∴-x>3,则 x<-3. 答案 (-∞,-3) 1 1 7.(2009· 宝城第一次月考)若(a+1)- <(3-2a)- ,则 a 的取值范围是______________. 3 3 1 1 解析 ∵(a+1)- <(3-2a)- , 3 3

?a+1>0 ? ∴?3-2a>0 ?a+1>3-2a ?

?a+1<0 ? 或?3-2a<0 ?a+1>3-2a ?

? ?3-2a>0 或? ?a+1<0 ?

2 3 解之得 <a< 或 a<-1. 3 2 2 3 答案 <a< 或 a<-1 3 2 8.(2009· 南京二模)给出封闭函数的定义:若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0,都有函 数值 f(x0)∈D,则称函数 y=f(x)在 D 上封闭.若定义域 D=(0,1),则函数 ①f1(x)=3x-1; 1 1 ②f2(x)=- x2- x+1; 2 2 ③f3(x)=1-x; 1 ④f4(x)=x ,其中在 D 上封闭的是________.(填序号即可) 2 1 解析 ∵f1?3?=0?(0,1),∴f1(x)在 D 上不封闭. ? ? 1 1 ∵f2(x)=- x2- x+1 在(0,1)上是减函数, 2 2 ∴0=f2(1)<f2(x)<f2(0)=1,∴f2(x)适合. ∵f3(x)=1-x 在(0,1)上是减函数, ∴0=f3(1)<f3(x)<f3(0)=1,∴f3(x)适合. 1 又∵f4(x)=x 在(0,1)上是增函数, 2 且 0=f4(0)<f4(x)<f4(1)=1,∴f4(x)适合. 答案 ②③④
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1 2 9.(2010· 泉州模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点( , ),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数 8 4 图象上的任意不同两点,给出以下结论: ①x1f(x1)>x2f(x2); ②x1f(x1)<x2f(x2); f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) ③ > ; ④ < . x1 x2 x1 x2 其中正确结论的序号是________________. 1 2 1 11 1 1 解析 依题意,设 f(x)=xα,则有( )α= ,即( )α=( ) ,所以 α= ,于是 f(x)=x . 8 4 8 82 2 2 1 由于函数 f(x)=x 在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从而 2 f(x1) f(x2) 有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为 , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 x1 x2 f(x1) f(x2) 图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 > ,所以③正确. x1 x2 答案 ②③ 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 1 3 10.(14 分)(2009· 辽宁丹东检测)已知幂函数 y=x- p2+p+ (p∈Z)在(0,+∞)上单调递增, 2 2 且在定义域内图象关于 y 轴对称,求 p 的值. 1 3 1 解 由题意知:- p2+p+ =- (p-1)2+2. 2 2 2 因为 p∈Z,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且在定义域上为偶函数,所以 p=1. 1 11.(16 分)(2010· 四平调研)已知 f(x)=x (n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单 -n2+2n+3 调递增,解不等式 f(x2-x)>f(x+3). 1 解 由条件知 >0,即-n2+2n+3>0, -n2+2n+3 解得-1<n<3.又 n=2k,k∈Z, 1 ∴n=0,2.当 n=0,2 时,f(x)=x . 3 ∴f(x)在 R 上单调递增. ∴f(x2-x)>f(x+3),∴x2-x>x+3. 解得 x<-1 或 x>3. ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). x 12.(16 分)(2010· 南通模拟)已知函数 f(x)= , 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)由图象指出 f(x)的单调区间; (3)设 a>0,b>0,c>0,a+b>c,证明:f(a)+f(b)>f(c). (1)解 由 f ( x) ?

x 得 1? x

f ( x) ? 1 ?

1 . x ?1
1 的图象向左平移 1 个 x

∴f(x)的图象可由 y ? ?

单位,再向上平移 1 个单位得到如图. (2)解 由图象知(-∞,-1),(-1,+∞) 均为 f(x)的单调增区间. (3)证明 ∵f(x)在(-1,+∞)为增函数,

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a a b b > >0, > >0,a+b>c>0, 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b c ∴f(a)+f(b)= + > > =f(c), 1+a 1+b 1+a+b 1+c ∴f(a)+f(b)>f(c).

§2.7 函数与方程

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2010· 福建厦门模拟)如果函数 y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则 m 的取值范围 是________. 解析 方程 x2+mx+(m+3)=0 有两个不同的根?Δ=m2-4(m+3)>0,∴m>6 或 m<-2. 答案 (-∞,-2)∪(6,+∞) 2.(2010· 金华一模)如果函数 f(x)=x2+mx+m+2 的一个零点是 0,则另一个零点是 ________________. 解析 依题意知:m=-2. ∴f(x)=x2-2x, ∴方程 x2-2x=0 的另一个根为 2, 即另一个零点是 2. 答案 2 3.(2009· 江苏盐城模拟)用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根锁 定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为________. 解析 令 f(x)=x3-2x-1, 3 5 则 f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f( )=- <0, 2 8 3 3 由 f( )f(2)<0 知根所在区间为( ,2). 2 2 3 答案 ( ,2)(说明:写成闭区间也对) 2 4.(2010· 江苏兴化模拟)根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区 间为________. x 0 1 2 3 -1 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 1 2 3 4 5 x+2 解析 令 f(x)=ex-x-2, 由表知 f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0, ∴方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为(1,2). 答案 (1,2) 5.(2009· 江苏扬州模拟)已知函数 f(x)=3x+x-5 的零点 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N*, 则 a+b=________. 解析 ∵b-a=1,a,b∈N*,f(1)=4-5=-1<0, f(2)=6>0,∴f(1)f(2)<0,∴a+b=3. 答案 3 6.(2009· 山东,14)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是______________. 解析 设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1) 有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图 1 可知,当
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0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;由图 2 知,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)与 y 轴交于点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所 以实数 a 的取值范围是 a>1.

答案 a>1 7.(2010· 苏州模拟)偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x) =0 在区间[-a,a]内根的个数是________. 解析 由 f(0)· f(a)<0,且 f(x)在[0,a](a>0)上单调知 f(x)=0 在[0,a]上有一根,又函数 f(x) 为偶函数, f(x)=0 在[-a,0]上也有一根. 答案 2 8. (2010· 浙江温州一模)关于 x 的实系数方程 x2-ax+2b=0 的一根在区间[0,1]上, 另一根在 区间[1,2]上,则 2a+3b 的最大值为________. 解析 令 f(x)=x2-ax+2b,据题意知函数在[0,1],[1,2]内各存在一零点,结合二次函数 图象可知满足条件

?f(0)≥0 ?b≥0 ? ? ?f(1)≤0 ??1-a+2b≤0 ?f(2)≥0 ?4-2a+2b≥0 ? ?



在直角坐标系中作出满足不等式的点(a, b)所在的可行域, 问题转化为确定线性目标函数: z=2a+3b 的最优解,结合图形可知当 a=3,b=1 时,目标函数取得最大值 9. 答案 9 9.(2009· 江苏启东中学月考)若关于 x 的方程 3tx2+(3-7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 t 的取值范围是______________. 解析 依题意, 函数 f(x)=3tx2+(3-7t)x+4 的两个零点 α, 满足 0<α<1<β<2, β 且函数 f(x) 过点(0,4),则必有 ?4>0 ?f(0)>0

? ? ?f(1)<0 ,即?3t+3-7t+4<0 , ? ?12t+6-14t+4>0 ?f(2)>0 ?

7 解得 <t<5. 4 7 答案 <t<5 4 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 江苏镇江调研)已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1] 内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围. 解 二次函数 f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, f(c)>0 的否定是对于区间[-1,1] 使 内的任意一个 x 都有 f(x)≤0, 2 ? ? ?f(1)≤0 ?4-2(p-2)-2p -p+1≤0 ∴? ,即? 2 ?f(-1)≤0 ?4+2(p-2)-2p -p+1≤0 ? ?
?2p2+3p-9≥0 ? 整理得? 2 , ? ?2p -p-1≥0

3 解得 p≥ 或 p≤-3. 2
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∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, 3 使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是?-3,2?. ? ? 11. 分)(2010· (16 扬州模拟)x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2+bx+c=0 和-ax2+bx+c=0 的一 a 个根,且 x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程 x2+bx+c=0 有一个根介于 x1 和 x2 之间. 2 2 证明 由于 x1 与 x2 分别是方程 ax +bx+c=0 和-ax2 +bx+c=0 的根,所以有 ?ax2+bx1+c=0, ? 1
? 2 ? ?-ax2+bx2+c=0.

a 设 f(x)= x2+bx+c, 2 a a 则 f(x1)= x2+bx1+c=- x2, 1 2 2 1 a 3a f(x2)= x2+bx2+c= x2. 2 2 2 2 3 于是 f(x1)f(x2)=- a2x2x2, 4 1 2 由于 x1≠x2,x1≠0,x2≠0, 所以 f(x1)f(x2)<0, a 因此方程 x2+bx+c=0 有一个根介于 x1 和 x2 之间. 2 12.(16 分)(2009· 江苏江阴模拟)已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12-t.(视区间[a,b]的长度为 b-a) 解 (1)∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有 ? ? ?f(1)≤0 ?1-16+q+3≤0 ? ,即? ,∴-20≤q≤12. ?f(-1)≥0 ?1+16+q+3≥0 ? ? (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是 x=8. ①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 15- 17 15± 17 解得 t= ,∴t= ; 2 2 ②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上 f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9,∴t=9. 15- 17 综上可知,存在常数 t= ,8,9 满足条件. 2

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§2.8 函数模型及应用

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 2 1.(2009· 广东揭阳调研)计算机的价格大约每 3 年下降 ,那么今年花 8 100 元买的一台计算 3 机,9 年后的价格大约是________. 1 解析 9 年后的价格大约是 8 100×( )3=300 元. 3 答案 300 元 2.(2010· 江苏南通一模)从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升,然后用水加满,再倒出 1 升,再用水加满.这样继续下去,则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为_ _______. 解析 所倒次数 1 次,则 y=19 19 所倒次数 2 次,则 y=19× 20 ?? 19 - 19 所倒次数 x 次,则 y=19( )x 1=20( )x. 20 20 19 答案 y=20( )x 20 3.(2009· 扬州期末)某电信公司推出手机两种收费方式:A 种方式是 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时 间(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分 钟时,这两种方式电话费相差________. 解析 如题图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费差为 BD 50 线段 BD 的长度,根据相似三角形的性质可得 = , 20 100 ∴BD=10. 答案 10 元 4. (2009· 锡、 镇调研)某市出租车收费标准如下: 苏、 常、 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价收费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费; 超过 8 km 时,超过的部分按每千米 2.85 元收费,每次乘车需付燃油附加费 1 元,现某人 乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了____________千米. 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意得, 0<x≤3 ?8+1, ? f(x)=?9+(x-3)×2.15, 3<x≤8 ?9+5×2.15+(x-8)×2.85, x>8 ? ,

令 f(x)=22.6,解得 x=9. 答案 9 5.(2010· 山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检 测,服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的关系用如图所示曲线表 示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时,治疗疾病有效,则服药一 次治疗该疾病有效的时间为________小时.

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解析 本小题考查函数与不等式.由图知

0 ? t ?1 ?4t , ? f (t ) ? ? 1 t ?3 , 则f (t ) ? 0.25. ?( 2 ) , 0 ? t ? 1 ? t ? 5. . 解之得 16 15 答案 4 16
6.(2010· 河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从 A 地去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v1 与 v2(v1<v2),甲一半的路程使用速度 v1,另一半的路程使用速度 v2;乙一半时间使用 速度 v1,另一半的时间使用速度 v2.关于甲、乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数 图象及关系,有如图中所示四个不同的图示分析(其中横轴 t 表示时间,纵轴 s 表示路程), 则其中可能正确的图示分析为______________.

解析 因为开始时甲、乙的速度是相同的,所以其图象的前一段是重合的,故排除③④; 又 v1<v2,反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率,图象增长得快,只有① 符合题意. 答案 ① 7.(2009· 江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、 乙所示,某天 0 点到 6 点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口):给出以下三个 论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水也不出水. 则一定正确的论断是________.

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解析 从丙图可知在 0 点到 3 点,蓄水量由 0 增加到 6,因此是两个进水口同时打开了, 且出水口没有打开,故①正确;从 3 点到 4 点,蓄水量由 6 减少到 5,减少了 1,所以是 一个进水口和一个出水口同时打开了,故②错误;从 4 点到 6 点,蓄水量不变,由于题设 要求至少打开一个水口,故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口,故③错误. 答案 ① 8.(2010· 连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的,其中 500 元给予九折优惠,超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款 ________元. 解析 由题意知付款 432 元, 10 实际标价为 432× =480 元, 9 如果一次购买标价 176+480=656 元的商品应付款 500×0.9+156×0.85=582.6 元. 答案 582.6 9.(2010· 苏州模拟)鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童,准备在山东省体育中心体育场举 行一场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价有 3 元、5 元和 8 元三种,且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6 万张.设 x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱 乐部的纯收入为函数 y=lg 2x,则这三种门票的张数分别为______________万张时可以为 失学儿童募捐的纯收入最大. 解析 该函数模型 y=lg 2x 已给定,因而只需要将条件信息提取出来,按实际情况代入, 应用于函数即可解决问题. 设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a、b、c,则 ① ?a+b+c=2.4 ? ?ab=0.6 ② ?x=3a+5b+8c ③ ? .

①代入③有 x=19.2-(5a+3b)≤19.2-2 15ab =13.2(万元), ? ?5a=3b 当且仅当? 时等号成立, ? ?ab=0.6 解得 a=0.6,b=1,所以 c=0.8. 由于 y=lg 2x 为增函数,即此时 y 也恰有最大值. 故三种门票的张数分别为 0.6、1、0.8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 答案 0.6、1、0.8 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2009· 江苏台州调研)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好, 但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时 5 元;乙俱乐部按月计费,一个月中 30 小时 以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下 个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超 过 40 小时. (1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40), 在乙俱乐部租一 张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x); (2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由. 解 (1)f(x)=5x,15≤x≤40. ? 15≤x≤30, ?90, g(x)=? ?90+2(x-30), 30<x≤40. ?
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(2)①若 15≤x≤30,当 5x=90 时,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x), 当 x=18 时,f(x)=g(x), 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x). ②若 30<x≤40,5x>30+2x 恒成立, 即 f(x)>g(x)恒成立. 综上所述,当 15≤x<18 时,小张选甲俱乐部比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙俱乐部比较合算. 11.(16 分)(2010· 淮安模拟)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每 吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元, 已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解 (1)当甲的用水量不超过 4 吨, 5x≤4, 即 乙的用水量也不超过 4 吨时, y=(5x+3x)×1.8 =14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时, 即 3x≤4 且 5x>4, y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过 4 吨时, 即 3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6,

? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8, 5<x≤3 ?24x-9.6, x>4 ? 3
14.4x,

4 0≤x≤ 5 .

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增, 4 4 当 x∈?0,5?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? 4 4 4 当 x∈?5,3?时,y≤f?3?<26.4; ? ? ? ? 4 当 x∈?3,+∞?时,令 24x-9.6=26.4, ? ? 解得 x=1.5, 所以甲户用水量为 5x=7.5 吨, 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). 12.(16 分)(2009· 广东九校联考)2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取 得了辉煌的成绩.据科学测算,跳水运动员进行 10 米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐标 原点的抛物线(图中标出数字为已知条件),且在跳某个规定的翻腾 2 动作时,正常情况下运动员在空中的最高点距水面 10 米,入水处 3 距池边 4 米,同时运动员在距水面 5 米或 5 米以上时,必须完成规 定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这个抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线, 3 且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误? 5
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请通过计算说明理由; (3)某运动员按(1)中抛物线运行,要使得此次跳水成功,他在空中调整好入水姿势时,距 池边的水平距离至多应为多大? ? ?f(0)=0 解 (1)由题设可设抛物线方程为 y=f(x)=ax2+bx+c(a<0),且? ,∴c=0,b ? ?f(2)=-10 =-5-2a, 即 y=f(x)=ax2-(5+2a)x 5+2a 2 (5+2a)2 =a(x- )- (a<0), 2a 4a 2 (5+2a) 2 5+2a ∴[f(x)]max=- = (a<0)且 >0, 4a 3 2a 5 得(6a+25)(2a+3)=0 且 a<- , 2 25 10 25 10 ∴a=- ,b= ,∴解析式为 y=- x2+ x. 6 3 6 3 3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时, 5 3 8 即 x=3 -2= 时, 5 5 8 25 8 2 10 8 16 y=f( )=- ×( ) + × =- , 5 6 5 3 5 3 16 14 ∴此时运动员距水面的距离为 10- = <5, 3 3 故此次跳水会出现失误. (3)设要使此次跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m(m>2),则 f(m-2)≥ -5. 25 10 ∴- (m-2)2+ (m-2)≥-5, 6 3 12+ 34 即 5m2-24m+22≤0,∴2<m≤ , 5 12+ 34 ∴运动员此时距池边的水平距离最大为 米. 5

§2.9 导数的概念及运算

一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2009· 广东东莞模拟)曲线 y=x3-1 在 x=1 处的切线方程为__________________. 解析 ∵y′=f′(x)=3x2, ∴f′(1)=3,切点为(1,0), ∴切线方程为 y=3(x-1),即 3x-y-3=0. 答案 3x-y-3=0 2.(2010· 徐州模拟)已知 f(x)=x2+2xf′(1),则 f′(0)=________. 解析 f′(x)=2x+2f′(1), ∴f′(1)=2+2f′(1),即 f′(1)=-2, ∴f′(x)=2x-4,∴f′(0)=-4. 答案 -4 3.(2009· 江苏姜堰中学、如皋中学、淮阴中学、前黄中学四校联考)已知函数 f(x)=x·x,则 e f′(0)=________.
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解析 f′(x)=(x·x)′=ex+xex,∴f′(0)=1. e 答案 1 4.(2010· 江苏常熟检测)设 P 为曲线 C:y=x2+2x+3 上的点,且曲线 C 在点 P 处切线倾斜 π 角的取值范围为[0, ],则点 P 横坐标的取值范围为________. 4 π 解析 ∵切线的斜率 k=tan θ∈[tan 0,tan ]=[0,1]. 4 设切点为 P(x0,y0),于是 k=y′|x=x0=2x0+2, 1 ∴x0∈[-1,- ]. 2 1 答案 [-1,- ] 2 5.(2010· 银川模拟)如图所示,函数 f(x)的图象是折线段 ABC,其中 A,B,C 的坐标分别为(0,4),(2,0),(6,4),则 f(f(0))= .(用数字 作答) 解析 由 A(0,4),B(2,0)可得线段 AB 所在直线的方程为 f(x)=-2x+4 (0≤x≤2).同理 BC 所 在直线的方程为 f(x)=x-2 (2<x≤6). 所以 f ( x) ? ?

?? 2 x ? 4, ? x ? 2,

0 ? x ? 2, 2 ? x ? 6,

所以 f(0)=4,f(4)=2. 答案 2 -2 6. (2010· 广东四校联考)设 f0(x)=sin x,1(x)=f0′(x),2(x)=f1′(x), fn+1(x)=fn′(x), f f ?, n∈N, 则 f2 010(x)=________. 解析 ∵f1(x)=(sin x)′=cos x, f2(x)=(cos x)′=-sin x, f3(x)=(-sin x)′=-cos x, f4(x)=(-cos x)′=sin x, f5(x)=(sin x)′=f1(x),f6(x)=f2(x),?. ∴fn+4(x)=fn(x),即周期 T 为 4. ∴f2 010(x)=f2(x)=-sin x. 答案 -sin x 7.(2009· 安徽改编)已知函数 f(x)在 R 上满足 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8,则曲线 y=f(x)在点 (1,f(1))处的切线方程是____________. 解析 ∵f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, ∴f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. ∴f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8. 将 f(2-x)代入 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得 f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8. ∴f(x)=x2. ∴y=f(x)在(1,f(1))处的切线斜率为 y′|x=1 =2. ∴函数 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y-1=2(x-1), 即 y=2x-1. 答案 y=2x-1 8.(2010· 无锡模拟)已知二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的导数为 f′(x),f′(0)>0,对于任意实 f(1) 数 x,有 f(x)≥0,则 的最小值为____________. f′(0) 解析 f′(x)=2ax+b,f′(0)=b>0 2 ?Δ=b -4ac≤0 ? b2 又? ,∴ac≥ ,∴c>0 4 ?a>0 ?
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f(1) a+b+c b+2 ac 2b = ≥ ≥ =2. b b b f′(0) 答案 2 ∴ 15 9.(2009· 江西改编)若存在过点(1,0)的直线与曲线 y=x3 和 y=ax2+ x-9 都相切,则 a= 4 _____________. 2 解析 设曲线 y=x3 上切点为(x0,x3),∵y′|x=x0 =3x0, 0 3 x0 3 2 2 ∴ =3x0,∴2x3=3x0,∴x0= 或 x0=0, 0 2 x0-1 27 ∴公切线的斜率为 k= 或 k=0, 4 27 ∴切线方程为 y= (x-1)或 y=0. 4 25 当直线方程为 y=0 时,求得 a=- ; 64 27 当直线方程为 y= (x-1)时,求得 a=-1. 4 25 答案 -1 或- 64 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) 10.(14 分)(2010· 丽水模拟)已知曲线 S:y=3x-x3 及点 P(2,2). (1)求过点 P 的切线方程; (2)求证:与曲线 S 切于点(x0,y0)(x0≠0)的切线与 S 至少有两个交点. (1)解 设切点为(x0,y0),则 y0=3x0-x3. 0 y0-2 又 f′(x)=3-3x2,∴切线斜率 k= =3-3x2, 0 x0-2 2 即 3x0-x3-2=(x0-2)(3-3x0), 0 2 ∴(x0-1)[(x0-1) -3]=0, 解得 x0=1 或 x0=1± 3, 相应的斜率 k=0 或 k=-9± 3, 6 ∴切线方程为 y=2 或 y=(-9± 3)(x-2)+2. 6 (2)证明 与曲线 S 切于点(x0,y0)的切线方程可设为 y-y0=(3-3x2)(x-x0), 0 与曲线 S 的方程联立,消去 y, 得 3x-x3-y0=3(1-x2)· 0 (x-x0), 3 3 2 即 3x-x -(3x0-x0)=3(1-x0)(x-x0). 即(x-x0)2(x+2x0)=0,则 x=x0 或 x=-2x0, 因此,与曲线 S 切于点(x0,y0)(x0≠0)的切线,与 S 至少有两个交点. 1 11.(16 分)(2008· 海南、宁夏,21,(1)(3)问)设函数 f(x)=ax+ (a,b∈Z),曲线 y=f(x) x+b 在点(2,f(2))处的切线方程为 y=3. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明:曲线 y=f(x)上任一点的切线与直线 x=1 和直线 y=x 所围三角形的面积为定值, 并求出此定值. 1 (1)解 f′(x)=a- , (x+b)2

?2a+2+b=3, 于是? 1 ?a-(2+b) =0.
1
2

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? ?a=1, 解得? 或 ? ?b=-1,

?a=4, ? 8 ?b=-3.
9

1 因为 a,b∈Z,故 f(x)=x+ . x-1 1 (2)证明 在曲线上任取一点?x0,x0+x -1?, ? ? 0 1 由 f′(x0)=1- 知,过此点的切线方程为 (x0-1)2 1 x2-x0+1 ? 0 y- = 1-(x -1)2?(x-x0). ? ? x0-1 0 x0+1 令 x=1,得 y= , x0-1 ? x0+1?; 切线与直线 x=1 的交点为?1, ? ? x0-1? 令 y=x,得 y=2x0-1, 切线与直线 y=x 的交点为(2x0-1,2x0-1); 直线 x=1 与直线 y=x 的交点为(1,1), 从而所围三角形的面积为 1?x0+1 ? 1 2 ? -1 |2x -1-1|= ? |2x -2|=2. 2?x0-1 ? 0 2?x0-1? 0 ? ? 所以,所围三角形的面积为定值 2. - 12.(2009· 江苏淮阴二模)设曲线 C:y=-ln x(0<x≤1)在点 M(e t,t)(t≥0)处的切线为 l. (1)求直线 l 的方程; (2)若直线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),求 S(t)的最大值. 1 解 (1)∵y′=(-ln x)′=- (0<x≤1), x - ∴在点 M(e t,t)处的切线 l 的斜率为-et, - 故切线 l 的方程为 y-t=-et(x-e t), 即 etx+y-1-t=0. t+1 (2)令 x=0,得 y=t+1;再令 y=0,得 x= t . e t+1 1 1 - ∴S(t)= (t+1) t = (t+1)2e t(t≥0). 2 e 2 1 - 从而 S′(t)= e t(1-t)(1+t). 2 ∵当 t∈[0,1)时,S′(t)>0; 当 t∈(1,+∞)时,S′(t)<0, 2 ∴S(t)的最大值为 S(1)= . e

§2.10 导数的应用

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一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 1.(2009· 江苏)函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为________________. 解析 ∵f′(x)=3x2-30x-33=3(x-11)(x+1), 令 f′(x)<0 得-1<x<11,∴函数 f(x)=x3-15x2-33x+6 的单调减区间为(-1,11). 答案 (-1,11) k k 2.(2010· 广东深圳模拟)若函数 h(x)=2x- + 在(1,+∞)上是增函数,则实数 k 的取值范 x 3 围是________________________________________________________________________. k k 解析 ∵h′(x)=2+ 2,h′(x)在(1,+∞)上恒大于等于 0,即 2+ 2≥0,即 k≥-2x2 在 x x (1,+∞)上恒成立,故 k≥-2×(-1)2=-2. 答案 [-2,+∞) 3.(2009· 广东改编)函数 f(x)=(x-3)ex 的单调递增区间是____________________. 解析 f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex, 令 f′(x)>0,解得 x>2. 答案 (2,+∞) 4.(2010· 无锡调研)用边长为 48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时,在铁皮的四角各截 去一个面积相等的小正方形, 然后把四边折起, 就能焊接成铁盒, 所做的铁盒容积最大时, 在四角截去的正方形的边长为________cm. 解析 设小正方形边长为 x,铁盒体积为 y. y=(48-2x)2· x=4x3-192x2+2 304x. 2 y′=12x -384x+2 304=12(x-8)(x-24). ∵48-2x>0, ∴0<x<24. x (0,8) 8 (8,24) 0 y′ + - y ? ? 极大值 8 192 ∴x=8 时,ymax=8 192. 答案 8 5. (2010· 常州模拟)已知函数 f(x)的导数 f′(x)=a(x+1)· (x-a), f(x)在 x=a 处取到极大值, 若 则 a 的取值范围是 ____________. 解析 结合二次函数图象知, 当 a>0 或 a<-1 时,在 x=a 处取得极小值, 当-1<a<0 时,在 x=a 处取得极大值,故 a∈(-1,0). 答案 (-1,0) 6. (2009· 福建莆田月考)已知函数 f(x)=x3-12x+8 在区间[-3,3]上的最大值与最小值分别为 M,m,则 M-m=____________________. 解析 令 f′(x)=3x2-12=0,得 x=-2 或 x=2 列表得: x -3 (-3, -2) -2 (-2, 2) 2 (2,3) 3 0 0 f′(x) + - + f(x) 17 ? 极大 ? 值 24 极小 ? 值-8 -1 可知 M=24,m=-8,∴M-m=32. 答案 32 7. (2010· 南京模拟)若函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增, 则实数 a 的取值范围为____________. 解析 ∵f′(x)=1+acos x,∴要使函数 f(x)=x+asin x 在 R 上递增,则 1+acos x≥0 对
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任意实数 x 都成立. ∵-1≤cos x≤1, ①当 a>0 时-a≤acos x≤a, ∴-a≥-1,∴0<a≤1; ②当 a=0 时适合; ③当 a<0 时,a≤acos x≤-a, ∴a≥-1,∴-1≤a<0. 综上,-1≤a≤1. 答案 [-1,1] 8.(2009· 重庆改编)把函数 f(x)=x3-3x 的图象 C1 向右平移 u 个单位长度,再向下平移 v 个 单位长度后得到图象 C2,若对任意 u>0,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点,则 v 的最小值 ________________. 解析 令 f′(x)=3x2-3=0, 得 x=±1,∴函数 f(x)=x3-3x 在 x=± 处取得极值,且 1 f(-1)=2, f(1)=-2,函数 f(x)的图象如图所示.图象 C1 经平移后得 到 C2,∵对任意 v>0,曲线 C1 与 C2 至多只有一个交点, 则 C2 的极大值必须小于或等于 C1 的极小值;即 2-v≤-2, ∴v≥4. 答案 4 9.(2008· 江苏,14)f(x)=ax3-3x+1 对于 x∈[-1,1]总有 f(x)≥0 成立,则 a=________. 解析 若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 都成立; 当 x>0 即 x∈(0,1]时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 3 1 a≥ 2- 3. x x 3(1-2x) 3 1 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , x x x4 1 1 所以 g(x)在区间?0,2?上单调递增,在区间?2,1?上单调递减, ? ? ? ? 1? 因此 g(x)max=g?2?=4,从而 a≥4; ? 当 x<0 即 x∈[-1,0)时,f(x)=ax3-3x+1≥0 可化为 3 1 a≤ 2- 3, x x 3 1 g(x)= 2- 3在区间[-1,0)上单调递增, x x 因此 g(x)min=g(-1)=4,从而 a≤4,综上 a=4. 答案 4 二、解答题(本大题共 3 小题,共 46 分) ax+b 10.(14 分)(2010· 河南开封调研)设 a>0,函数 f(x)= 2 ,b 为常数. x +1 (1)证明:函数 f(x)的极大值点和极小值点各有一个; (2)若函数 f(x)的极大值为 1,极小值为-1,试求 a 的值. -ax2-2bx+a (1)证明 f′(x)= , (x2+1)2 令 f′(x)=0,得 ax2+2bx-a=0(*) ∵Δ=4b2+4a2>0, ∴方程(*)有两个不相等的实根,记为 x1,x2(x1<x2), -a(x-x1)(x-x2) 则 f′(x)= , (x2+1)2 当 x 变化时,f′(x)与 f(x)的变化情况如下表:
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x x1 (-∞,x1) (x1,x2) 0 f′(x) - + f(x) ? ? 极小值 可见,f(x)的极大值点和极小值点各有一个. +b ?f(x )=ax +1 =-1 ? x 由(1)得? ax +b ?f(x )= x +1 =1 ?
1 1 2 1 2 2 2 2

x2 0 极大值

(x2,+∞) - ?

(2)解



?ax1+b=-x2-1 ? 1 即? 2 ? ?ax2+b=x2+1 ②



两式相加,得 a(x1+x2)+2b=x2-x2. 2 1 2b 2 2 ∵x1+x2=- ,∴x2-x1=0, a 即(x2+x1)(x2-x1)=0, 又 x1<x2,∴x1+x2=0,从而 b=0, ∴a(x2-1)=0,得 x1=-1,x2=1,由②得 a=2. 11.(16 分)(2009· 江苏南通二模)已知函数 f(x)=x3-ax2-3x. (1)若 f(x)在区间[1,+∞)上是增函数,求实数 a 的取值范围; 1 (2)若 x=- 是 f(x)的极值点,求 f(x)在[1,a]上的最大值; 3 (3)在(2)的条件下,是否存在实数 b,使得函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个 交点,若存在,请求出实数 b 的取值范围;若不存在,试说明理由. 解 (1)f′(x)=3x2-2ax-3 ∵f(x)在[1,+∞)上是增函数, ∴f′(x)在[1,+∞)上恒有 f′(x)≥0, 即 3x2-2ax-3≥0 在[1,+∞)上恒成立 a 则必有 ≤1 且 f′(1)=-2a≥0,∴a≤0. 3 1 (2)依题意,f′?-3?=0, ? ? 1 2 即 + a-3=0 3 3 ∴a=4,∴f(x)=x3-4x2-3x 令 f′(x)=3x2-8x-3=0, 1 得 x1=- ,x2=3.则 3 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x 1 (1,3) 3 (3,4) 4 0 f′(x) - + f(x) ? ? -6 -18 -12 ∴f(x)在[1,4]上的最大值是 f(1)=-6. (3)函数 g(x)=bx 的图象与函数 f(x)的图象恰有 3 个交点,即方程 x3-4x2-3x=bx 恰有 3 个不等实根 ∴x3-4x2-3x-bx=0,∴x=0 是其中一个根, ∴方程 x2-4x-3-b=0 有两个非零不等实根, ?Δ=16+4(3+b)>0 ? ∴? ,∴b>-7 且 b≠-3. ?-3-b≠0 ? ∴存在符合条件的实数 b,b 的范围为 b>-7 且 b≠- 3. 1 12.(16 分)(2009· 天津,21)设函数 f(x)=- x3+x2+(m2-1)x(x∈R),其中 m>0. 3
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(1)当 m=1 时,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值; (3)已知函数 f(x)有三个互不相同的零点 0, 1, 2, x1<x2, x x 且 若对任意的 x∈[x1, 2], x f(x)>f(1) 恒成立,求 m 的取值范围. 解 (1)当 m=1 时, 1 f(x)=- x3+x2,f′(x)=-x2+2x,故 f′(1)=1. 3 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为 1. (2)f′(x)=-x2+2x+m2-1. 令 f′(x)=0,解得 x=1-m,或 x=1+m. 因为 m>0,所以 1+m>1-m. 当 x 变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表: x (-∞,1-m) 1-m (1-m,1+m) 1+m (1+m,+∞) 0 0 f′(x) - + - f(x) ? ? ? 极小值 极大值 函数 f(x)的增区间为(1-m,1+m), 减区间为(-∞,1-m),(1+m,+∞). 函数 f(x)在 x=1-m 处取得极小值 f(1-m), 2 1 且 f(1-m)=- m3+m2- . 3 3 函数 f(x)在 x=1+m 处取得极大值 f(1+m), 2 1 且 f(1+m)= m3+m2- . 3 3 1 2 1 1 2 (3)由题设,f(x)=x?-3x +x+m -1?=- x(x-x1)(x-x2),所以方程- x2+x+m2-1=0 ? ? 3 3 4 2 有两个相异的实根 x1,x2,故 x1+x2=3,且 Δ=1+ (m -1)>0, 3 1 1 解得 m<- (舍),或 m> . 2 2 3 因为 x1<x2,所以 2x2>x1+x2=3,故 x2> >1. 2 1 若 x1≤1<x2,则 f(1)=- (1-x1)(1-x2)≥0,而 f(x1)=0,不合题意. 3 若 1<x1<x2,对任意的 x∈[x1,x2],有 x>0,x-x1≥0, x-x2≤0, 1 则 f(x)=- x(x-x1)(x-x2)≥0. 3 又 f(x1)=0,所以 f(x)在[x1,x2]上的最小值为 0, 1 3 3 于是对任意的 x∈[x1, 2], x f(x)>f(1)恒成立的充要条件是 f(1)=m2- <0, 解得- <m< . 3 3 3 1 3 综上,m 的取值范围是? , ?. 2 3? ?

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