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北京市第四中学2016高考理科数学总复习例题讲解:导数及其应用 03定积分和微积分基本定理


定积分与微积分基本定理 一、知识要点 1、定积分意义 性质:1.

?

b

a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx ( k 为常数) ;
a
b a

b

2.

? [ f ( x) ? g ( x)]dx ? ?
a

b

f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a

b

3. 4.

?

b

a

(积分区间的可加性) f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx ,其中 a ? c ? b ;
a c

c

b

?

b

a

f ( x)dx ? ?? f ( x)dx ;
b

a

5. 若在区间 [ a, b] 上 f ( x) ? g ( x) ,则

?

b

a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx ;
a

b

6.

?

b

a

f ( x)dx ? ? f ( x) dx ;
a

b

7. 若函数 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上的最大值与最小值分别为 M 与 m , 则 m(b ? a) ?

?

b

a

f ( x)dx ? M (b ? a) . (近似估计)

2、微积分基本定理(牛顿——莱布尼茨公式) 设函数 F ?( x) ? f ( x) ,且 f ( x ) 在区间 [ a, b] 上可积,则

?

b

a

f ( x)dx ? F ( x) |b a ? F (b) ? F (a) . 其中, F ( x ) 叫做 f ( x ) 的一个原函数.

3、 定积分的应用 (1)求曲边多边形的面积 (2)在物理上的应用

二、典型例题 例 1、由直线 x ? A.

15 4

1 1 , x ? 2 ,曲线 y ? 及 x 轴所围图形的面积为( ). 2 x 17 1 B. C. ln 2 D. 2 ln 2 4 2

例 2、设函数 y ? A. 极小值

?

x

0

(t ? 1)dt ,( x ? 0) ,则 y 有(
B. 极小值 ?

).

1 2

1 2

C. 极大值

1 2

D. 极大值 ?

1 2

例 3、 函数 y ? A. 奇函数

?

x

?x

(cos t ? t 2 ? 2) dt,( x ? 0) 是(
C.非奇非偶函数

). D.以上都不正确

B. 偶函数

例 4、求

?

?

2 0

1 ? sin 2 xdx

例 5、抛物线 y=―x +4x―3 的图形与 x 轴的交点为 A、B, (1)求以 A 与 B 为切点的切线 L1 与 L2; (2)求 L1、L2 与抛物线围成的封闭区域的面积。

2


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