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3.3.1利用导数判断函数的单调性


3.3.1 利用导数判断函数的单调性(学案)
一、学习目标:1、正确理解利用导数判断函数单调性的原理; 2、掌握用求导数确定函数单调区间的方法。 二、课前展示:
1、求下列函数在给定点的切线方程 (1) y = 9 x ? 1 , x =
2

1 3

(2) y = ln x , x = 1

2、什么是函数的单调性________________________。

三、新知探究
求函数 f ( x ) = x 2 + 2 x 的导数

(1) 在区间 (? ∞,?1) 上, f ′(x ) __0,函数单调______; (2) 在区间 (? 1,+∞ ) 上, f ′(x ) __0,函数单调______。 一般地,我们得出用函数的导数判断函数单调性的法则: 设函数 y = f (x ) 在区间( a, b )内可导, 1、 如果在( a, b )内, f ′(x ) >0,则____________; 2、 如果在( a, b )内, f ′(x ) <0,则____________。 我们还可以利用函数曲线的切线斜率来理解这个法则: 1、当 f ′(x ) >0 时,切线斜率为____,切线的倾斜角_____,函数曲线呈 ____状态,函数单调_____; 2、当 f ′(x ) <0 时,切线斜率为____,切线的倾斜角_____,函数曲线呈 ____状态,函数单调_____ (一) 、判断下列命题真假 (1) 如果函数 y = f (x ) 在开区间 M 内, 总有 f ′(x ) >0, 则函数在区间 M 上是增函数。 ( (2) 如果函数 y = f (x ) 在开区间 M 内, 总有 f ′(x ) <0, 则函数在区间 M 上是减函数。 ( (3)如果函数 y = f (x ) 在开区间 M 上是增函数,则总有 f ′(x ) >0。 ( ) ) )

(4)如果函数 y = f (x ) 在开区间 M 上是减函数,则总有 f ′(x ) <0。 结论: f ′(x ) >0(或<0)是函数 y = f (x ) 为增(减)函数的_______条件





例 1 如图, 设有定圆 c 和定点 O, l 从 l 0 开始在平面上绕 O 匀速旋转 当 (旋转角度不超过 90 ) 时,它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,它的图像大致是( )

0

.. 例 2 试确定函数 y = x ? 2 x + 4 的单调区间。
2

例 3 找出函数 f ( x) = x 3 ? 4 x 2 + x ? 1 的单调区间。

小结:利用导数求函数单调区间的步骤: 1、先求函数 y = f (x) 的______ 2、令 f ′( x) > 0 ,解得的解集为函数 y = f (x) 的______; 令 f ′( x) < 0 ,解得的解集为函数 y = f (x) 的______。

练习一 1、试确定函数 y = x ? 5 x + 6 的单调区间。
2

2、 讨论函数 y = sin x 在区间 (0,2π ) 的单调性。

四、课后作业 1、讨论函数 y = x 3 ? 8 x 2 + 13 x ? 6 的单调性。

2、 试确定函数 y =

1 的单调区间。 x +1

3、 求证:当 x < 2 时, x ? 6 x + 12 x ? 1 < 7
3 2

五、尝试高考 1、 函数 f ( x) = x + ax + bx + c , 其中 a, b, c 为常数, a ? 3b < 0 时,f (x ) 在 R 上 当 (
3 2
2



A、增函数 C、常数

B、减函数 D、既不是增函数也不是减函数

2、设 f ′(x ) 是函数 f (x ) 的导函数, y = f ′(x ) 的图像如右图所示,则 y = f (x ) 的图像最有 可能的是( )


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