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2.4.1抛物线及其标准方程教案(人教版 选修2-1)


2.4.1 抛物线及其标准方程
一、三维目标 (一)知识与技能 (1)掌握抛物线的定义、几何图形(2)会推导抛物线的标准方程(3)能够利用给定条件 求抛物线的标准方程 (二)过程与方法 通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、 类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与 感悟,形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想。 (三)情感态度与价值观 进一步培养学生合作、交流的能力和团队精神,培养学生实事求是、善于观察、勇于探 索、严密细致的科学态度;激发学生积极主动地参与数学学习活动,养成良好的学习习惯; 同时通过欣赏生活中一些抛物线型建筑,不但加强了学生对抛物线的感性认识,而且使学 生受到美的享受,陶冶了情操。 二、教学重点 抛物线的定义及标准方程 三、教学难点 抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导(关键是坐标系方案的选择) 四、教学过程 1.课题引入 在初中,我们学习了二次函数 y ? ax2 ? bx ? c ,知道二次函数的图象是一条抛物线,例 如: (1) y ? 4 x2 , (2) y ? ?4 x 2 的图象(展示两个函数图象) :

师: ??那么, 如果问你怎么样的曲线是抛物线, 你可以回答我吗?它具有怎样的几何特征? 它的方程是什么呢?这就是我们今天要研究的内容。 (板书课题:2.4.1 抛物线及其标准方程) 2.抛物线的定义

P64

信息技术应用(课堂中几何画板演示画图过程) 先看一个实验: 如图:点 F 是定点, l 是不经过点 F 的定直线,H 是 l 上任意一点,过点 H 作 MH ? l , 线段 FH 的垂直平分线 m 交 MH 于点 M。拖动点 H,观察点 M 的轨迹,你能发现点 M 满足 的几何条件吗?(学生观察画图过程,并讨论) 可以发现, 点 M 随着 H 运动的过程中, 始终有|MH|=|MF|, 即点 M 与定点 F 和定直线 l 的 距离相等。
1

(演示) 我们把平面内与一个定点 F 和一条定直线 l ( l 不经过点 F)距离相等的点的轨迹叫做抛 物线。 点 F 叫做抛物线的焦点,直线 l 叫做抛物线的准线。 师:对于“直线 l 经过点 F”的情况,我们留到习题课再讨论。 3.抛物线的标准方程 从抛物线的定义中我们知道, 抛物线上的点 M 满足到焦点 F 的距离与到准线 l 的距离相 M 等。那么动点 的轨迹方程是什么,即抛物线的方程是什么呢? 要求抛物线的方程,必须先建立直角坐标系。 探讨建立平面直角坐标系的方案(演示学生最可能想到的三种建系方案) 1 2 3

方案(一) 方案(二) 方案(三) 问题:哪种方案的方程更简单呢? 按照方案三的建系方式推导抛物线方程??直接演示方案一和二对应的方程,由学生观 察对比得出方案三的方程最简单,方案一二的方程推导可以留作课后思考问题。 1 2 3

y 2 ? 2 px ? p 2 ( p ? 0)

y 2 ? 2 px ? p2 ( p ? 0)

y 2 ? 2 px( p ? 0)

都满足方程,以方程的解 ? x, y ? 为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等,即 方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程 (选择标准方程) 师:我们把方程 y ? 2 px( p ? 0) 叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点坐标是
2

注意:1.标准方程必须出来。 2.若出现比较复杂建系方案,可以以引入的字母参数较多为由,先排除计算 3.强调 P 的意义。 4.教师说明曲线方程与方程的曲线:从上述过程可以看到,抛物线上任意一点的坐标

p ?p ? (演示) ? , 0 ? ,准线方程是 x ? ? 2 。 ?2 ?
师:上面我们主要研究了抛物线开口向右的情况,那么如果它的开口方向是向左、向上或者
2

向下,其对应的方程又如何了呢? (演示下列表格的第一列和第一行)

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y 2 ? 2 px ( p ? 0)
y 2 ? ?2 px ( p ? 0)

p ( ,0 ) 2
p (? ,0) 2

x??

p 2

x?

p 2
p 2

x 2 ? 2 py ( p ? 0)
x 2 ? ?2 py ( p ? 0)

p (0, ) 2
p (0,? ) 2

y??

p y? 2

(学生完成第二行,教师巡视个别辅导。类比椭圆第二种标准方程的推导完成第三和第四 行。 ) 对表格的说明:统观四种情况(学生记忆) (1) p( p ? 0) 表示焦点 F 到准线 l 的距离; (2)抛物线标准方程,左边为二次,右边为一次。若一次项是 x,则对称轴为 x 轴,焦点 在 x 轴上;若一次项是 y,则对称轴为 y 轴,焦点在 y 轴上; (对称轴看一次项) (3)标准方程中一次项前面的系数为正数,则开口方向坐标轴正方向;若一次项前面的 系数为负数,则开口方向为坐标轴负方向; (符号决定开口方向) 4.例题讲解 例 1(1)已知抛物线的标准方程是 y 2 ? 6 x ,求它的焦点坐标和准线方程 (2)已知抛物线的焦点是 F ? 0, ?2 ? ,求它的标准方程。 分析(1)先看清一次项,判定对称轴与焦点所在位置,画草图,再求出 p 的值得到焦 点坐标和准线方程。 (2)先判定出焦点在 y 轴上,从而得到一次项为 y,再求出 p 的值进而写出方程。 解: (1)因为 p ? 3 ,所以抛物线的焦点坐标为 ?

3 ?3 ? , 0 ? ,准线方程为 x ? ? 2 ?2 ? 2 (2)因为抛物线的焦点在 y 轴上,所以抛物线方程为 x ? ?8 y 。

随堂练习 1

P67 练习 1
3

1 根据下列条件写出抛物线的标准方程: (1)焦点是 F ? 3, 0?

(2)准线方程是 x ? ?

1 4

(3)焦点到准线的距离是 2 随堂练习 2

P67 练习 2

(时间有多于则完成)

5.课堂小结 让学生回忆并小结、提炼本节课学习内容: 1、抛物线的定义 2、抛物线的标准方程有四种不同的形式 3、p 的几何意义是: 焦点到准线的距离 4、标准方程中 p 前面的正负号决定抛物线的开口方向. 6.作业布置 (1)必做题 (2)选做题 7.板书设计

P73 A 组 1,2,3 P74 B 组 1
§2.4.1 抛物线及其标准方程 一、抛物线的定义 二、抛物线的标准方程

投影屏幕

例题及练习

五、后记

4


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