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学案三角函数、平面向量综合题六类型


三角函数与平面向量综合题的六种类型
题型一:结合向量的数量积,考查三角函数的化简或求值 【例 1】(2007 年高考安徽卷)已知 0 ? ? ?

?
4

, ? 为 f ( x) ? cos(2 x ?

?
8

) 的最小正周期,

? ? ? ? ? 2 cos 2 ? ? sin 2(? ? ? ) a ? (tan(? ? ), ?1), b ? (cos ? , 2), a ? b ? m ,求 的值. 4 cos ? ? sin ?

题型二:结合向量的夹角公式,考查三角函数中的求角问题 ? 【例 2】 (2006 年高考浙江卷)如图,函数 y ? 2sin(? x ? ? ), x ? R (其中 0 ? ? ? 的图像与 y 轴交于点(0,1) 。 (Ⅰ)求 ? 的值; (Ⅱ)设 P 是图像上的最高点,M、N 是图像与 x 轴的交点,求 PM 与 PN 的夹角。 【解答】

?
2



???? ?

????

题型三:结合三角形中的向量知识考查三角形的边长或角的运算 【例 3】(山东卷)在 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , tan C ? 3 7 . (1)求 cos C ; (2)若 CB ? CA ?

??? ??? ? ?

5 ,且 a ? b ? 9 ,求 c . 2

1

题型四:结合三角函数的有界性,考查三角函数的最值与向量运算 【例 4】 (2007 年高考陕西卷) f ( x) ? a ? b , 其中向量 a ? (m,cos 2 x) ,b ? (1 ? sin 2x,1) ,

? ?

?

?

x ? R ,且函数 y ? f ( x) 的图象经过点 ( , 2) . 4
(Ⅰ)求实数 m 的值;? (Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的最小值及此时 x 值的集合。

?

题型五:结合向量平移问题,考查三角函数解析式的求法 ?x π? ? ? ? 【例 5】 (2007 年高考湖北卷)将 y ? 2 cos ? ? ? 的图象按向量 a ? ? ? , ?2 ? 平移,则平移后所 ?3 6? ? 4 ? 得图象的解析式为( ) ?x ?? ? x π? A. y ? 2cos ? ? ? ? 2 B. y ? 2cos ? ? ? ? 2 ?3 4? ?3 4? ?x π ? ?x π ? C. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 D. y ? 2 cos ? ? ? ? 2 ? 3 12 ? ? 3 12 ?

题型六:结合向量的坐标运算,考查与三角不等式相关的问题

? ? ? f ( x) ? a ? ( a ? b) . (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最大值与最小正周期; 3 (Ⅱ)求使不等式 f ( x ) ? 成立的 x 的取值集. 2

【例 6】 (2006 年高考湖北卷)设向量 a ? (sin x , cosx ),b ? (cos , cos ), ? R,函数 x x x

?

?

2

【跟踪训练】 1.已知 A、B、C 为三个锐角,且 A+B+C=π.若向量→=(2-2sinA,cosA+sinA)与向量→ p q =(—cosA+sinA,1+sinA)是共线向量. (Ⅰ )求角 A; C-3B (Ⅱ )求函数 y=2sin2B+cos 的最大值. 2

2.设函数 f ( x) ? a ? (b ? c ) ,其中向量 a ? (sin x, ? cos x), b ? (sin x, ?3cos x) ,

? ? ?

?

?

? c ? (? cos x,sin x), x ? R .
(Ⅰ)求函数 f ?x ? 的最大值和最小正周期; (Ⅱ)将函数 y ? f ?x ? 的图像按向量 d 平移,使平移后得到的图像关于坐标原点成中心对称, 求长度最小的 d .

?

?

3.已知向量 a ? (sin ? ,1), b ? (1, cos ? ), ? (Ⅰ)若 a ? b ,求 ? ; (Ⅱ)求 a ? b 的最大值.

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2

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2



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