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高中数学必修3和必修5综合检测试卷(附答案)


高中数学必修 3 和必修 5 综合检测试卷
总分共 150 分,时间 120 分钟 一.选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分) 1.由 a1 ? 1 , d ? 3 确定的等差数列 ?an ? ,当 an ? 298 时,序号 n 等于
A.99 B.100 C.96 D.101





2. ?ABC 中,若 a ? 1, c ? 2, B ? 60? ,则 ?ABC 的面积为 A.
1 2





B.

3 2

C.1

D. 3 ( D. 101 (
D.6

3.在数列 {an } 中, a1 =1, an?1 ? an ? 2 ,则 a51 的值为 B.49 4 4.已知 x ? 0 ,函数 y ? ? x 的最小值是 x
A.5 B.4 C.8



A.99

C.102



5.在等比数列中, a1 ? A. 3

1 1 1 , q ? , an ? ,则项数 n 为 2 2 32 B. 4 C. 5

( D. 6 (



6.不等式 ax 2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的解集为 R ,那么 A. a ? 0, ? ? 0 B. a ? 0, ? ? 0 C. a ? 0, ? ? 0



D. a ? 0, ? ? 0

?x ? y ? 1 ? 7.设 x, y 满足约束条件 ? y ? x ,则 z ? 3x ? y 的最大值为 ? y ? ?2 ?





A. 5
A.5

B. 3
B.10

C. 7
C.20

D. -8
) D.50 (
1 D. 4

8.若一组数据 a1,a2,…,an 的方差是 5,则一组新数据 2a1,2a2,…,2an 的方差是(
9.在△ ABC 中,如果 sin A : sin B : sin C ? 2 : 3: 4 ,那么 cosC 等于
A. 2 3 2 B. 3 1 C. 3



10.一个等比数列 {a n } 的前 n 项和为 48,前 2n 项和为 60,则前 3n 项和为( A、63 B、108 C、75 D、83
0.040
频率 组距



二、填空题(本题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分) 4 3 0 11.在 ?ABC 中, B ? 45 , c ? 2 2, b ? , 3
那么 A=_____________; 12.已知等差数列 ?a n ?的前三项为 a ? 1, a ? 1,2a ? 3 ,则

0.025 0.020 0.010 0.005 0 45 55 65 图3 75 85

产品数量

95

此数列的通项公式为________ 13.为了调查某厂工人生产某种产品的能力,随机抽查了 20 位工人某天生产该产品的数量,产品数量的 分组区间为[45,55),[55,65),[65,75),[75,85),[85,95),由此得到频率分布直方图如图 3,则这 20 名工人中一天生产该产品数量在[55,75)的人数是 . 13.有一个简单的随机样本:10, 12, 9, 14, 13,则样本平均数 x =______ ,样本方差 s =______ 。 14.已知数列{an}的前 n 项和 Sn ? n ? n ,那么它的通项公式为 an=_________
2

2

三、解答题 (本大题共 6 个小题,共 75 分;解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16.(10 分) 已知等比数列 ?a n ?中, a1 ? a3 ? 10, a 4 ? a6 ?

5 ,求其第 4 项及前 5 项和. 4

17.(12 分) 围建一个面积为 360m2 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用旧墙需维修) , 其它三面围墙要新建,在旧墙的对面的新墙上要留一个宽度为 2m 的进出口,如图所示,已知旧墙的维 修费用为 45 元/m,新墙的造价为 180 元/m,设利用的旧墙的长度为 x(单位:元)。 (1)将 y 表示为 x 的函数: (2)试确定 x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。 18.(12 分)在△ ABC 中,BC=a,AC=b,a,b 是方程 x2 ? 2 3x ? 2 ? 0 的两个根, 且 2coc( A ? B) ? 1 。 求:(1)角 C 的度数; (2)AB 的长度。 19.(13 分)若不等式 ax2 ? 5x ? 2 ? 0 的解集是 ? x (1) 求 a 的值; (2) 求不等式 ax ? 5x ? a ? 1 ? 0 的解集.
2 2


? 1 ? ? x ? 2? , 2 ? ?

B

152o

122o


32 o

A

20. (14 分)如图,货轮在海上以 35n mile/h 的速度沿方位角(从正北方向顺 时针转到目标方向线的水平角)为 152 ? 的方向航行.为了确定船位,在 B 点处 观测到灯塔 A 的方位角为 122 ? .半小时后,货轮到达 C 点处,观测到灯塔 A 的方位角为 32? .求此时货轮与灯塔之间的距离.

C

21. ( 14 分 ) 设 数 列 ?an ? 的 前 n 项 和 为 S n , 对 任 意 的 正 整 数 n , 都 有 an ? 5Sn ? 1 成 立 , 记

bn ?

4 ? an (n ? N * ) 。 1 ? an

(I)求数列 ?an ? 与数列 ?bn ? 的通项公式; (II)设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Rn ,是否存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立?若存在,找出一个正整数

k ;若不存在,请说明理由;
(III)记 cn ? b2 n ? b2 n ?1 (n ? N ) ,设数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证:对任意正整数 n 都有 Tn ?
*

3 ; 2

高中数学必修 3 和必修 5 综合检测试卷 参考答案
一.选择题。 题号 1 2 答案 B C 二.填空题。 11. 15o 或 75o 三.解答题。 3 D 4 B 5 C 6 A 7 C 8 C 9 D 10 A

12. an =2n-3

1 13. {x ? ? x ? 2} 14.11.6 15. an =2n 3

15.解:设公比为 q ,

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄1 分

?a1 ? a1 q 2 ? 10 ? 由已知得 ? 5 3 5 ?a1 q ? a1 q ? 4 ? ?a1 (1 ? q 2 ) ? 10 ???① ? 即? 5 3 2 ?a1 q (1 ? q ) ? ?? ② 4 ?
②÷ ①得 q 3 ? 将q ?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 3 分

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄

5分

1 1 , ,即q ? 8 2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 7 分

1 代入①得 a1 ? 8 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 8 分 2 1 ? a4 ? a1q 3 ? 8 ? ( ) 3 ? 1 , ┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 10 分 2

1 ? ? 8 ? ?1 ? ( ) 5 ? a (1 ? q ) 2 ? 31 ? s5 ? 1 ? ? 1 1? q 2 1? 2
5

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄ 12 分

16. 解: (1)如图,设矩形的另一边长为 a m 则 y -45x-180(x-2)+180· 2a=225x+360a-360 由已知 xa=360,得 a=
2

360 , x

所以 y=225x+

360 2 ? 360 ( x ? 0) x 360 2 ? 2 225 ? 360 2 ? 10800 x

(II)? x ? 0,? 225 x ?

? y ? 225 x ?

360 2 360 2 ? 360 ? 10440 .当且仅当 225x= 时,等号成立. x x

即当 x=24m 时,修建围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. 17. 解: (1) cos C ? cos?? ? ? A ? B ?? ? ? cos? A ? B ? ? ?

1 2

┄┄┄5 分 ?C=120°

(2)由题设: ?

?a ? b ? 2 3 ? ? ab ? 2 ?

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄8 分

? AB 2 ? AC 2 ? BC 2 ? 2 AC ? BC cosC ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos120? ? a 2 ? b 2 ? ab ? ?a ? b ? ? ab ? 2 3 ? 2 ? 10
2 2

? ?

┄13 分

? AB ? 10
2

┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄┄14 分

18. (1)依题意,可知方程 ax ? 5x ? 2 ? 0 的两个实数根为 由韦达定理得:

1 5 +2= ? 2 a

┄4 分解得: a =-2

1 和 2,┄┄┄┄┄┄2 分 2 1 ┄6 分(2) {x ? 3 ? x ? } ┄┄┄12 分 2

19.在△ ABC 中,∠B=152o-122o=30o,∠C=180o-152o+32o=60o,

35 , ┄┄7 分 2 35 35 35 ∴AC= sin30o= . ┄┄13 分答:船与灯塔间的距离为 n mile.┄┄┄14 分 2 4 4
∠A=180o-30o-60o=90o, ┄┄┄5 分 BC= 20. 【解析】 (I)当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an ?1 ? 5Sn ?1 ? 1 ∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ?

1 4
an ?1 1 ?? an 4

? an ?1 ? an ? 5an ?1 ,即

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4 1 4 ? (? ) n 1 n 4 (n ? N * ) ∴ an ? (? ) , bn ? …………………………3 分 1 n 4 1 ? (? ) 4
(II)不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。
1 4 ? (? ) n 5 4 ? 4? 1 n (?4) n ? 1 1 ? (? ) 4

证明:由(I)知 b ? n

? b2 k ?1 ? b2 k ? 8 ?

5 5 20 15 ?16k ? 40 ? 8? k ? k ? 8? ? 8. (?4) 2 k ?1 ? 1 (?4) 2 k ? 1 16 ? 1 16 ? 4 (16k ? 1)(16k ? 4) 5 ?
?

∴当 n 为偶数时,设 n ? 2m(m ? N ) ∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?1 ? b2 m ) ? 8m ? 4n 当 n 为奇数时,设 n ? 2m ? 1(m ? N )
?

∴ Rn ? (b1 ? b2 ) ? (b3 ? b4 ) ? ? ? (b2 m?3 ? b2 m?2 ) ? b2 m?1 ? 8(m ? 1) ? 4 ? 8m ? 4 ? 4n ∴对于一切的正整数 n,都有 Rn ? 4k ∴不存在正整数 k ,使得 Rn ? 4k 成立。 (III)由 bn ? 4 ? …………………………………8 分

5 得 (?4) n ? 1


cn ? b2 n ?1 ? b2 n ?
b1 ? 3, b2 ?

5 5 15 ?16n 15 ?16n 15 ?16n 15 ? 2 n?1 ? n ? n 2 ? ? 42 n ? 1 4 ? 1 (16 ? 1)(16n ? 4) (16 ) ? 3 ?16n ? 4 (16n ) 2 16n

13 4 ,? c2 ? , 3 3 3 当 n ? 1 时, T1 ? , 2

当 n ? 2 时,

1 1 [1 ? ( ) n ? 2 ] 4 1 1 1 4 16 2 16 Tn ? ? 25 ? ( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? ? 25 ? 1 3 16 16 16 3 1? 16 1 4 16 2 ? 69 ? 3 ? ? 25 ? 1 3 48 2 1? 16

………………………14 分


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