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高中数学 排列与组合 版块五 排列组合问题的常见模型1


学而思高中完整讲义: 排列与组合.版块五.排列组合问题的常见模型 1 知识内容 1.基本计数原理 ⑴加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第 二类办法中有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法.又称加法原理. ⑵乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法, 做第二个步骤有 m2 种不同方法,……,做第 n 个步骤有 mn 种不同的方法.那么完成这件事 共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法.又称乘法原理. ⑶加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的, 那么计算完成这件事的方法数时, 使用分类计数 原理. 如果完成一件事的各个步骤是相互联系的, 即各个步骤都必须完成, 这件事才告完成, 那么计算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合 问题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元 素中取出 m 个元素的排列数,用符号 A m n 表示. 排列数公式: Am (n ? m ? 1) , m ,n ? N? ,并且 m ≤ n . n ? n(n ? 1)(n ? 2) 全排列:一般地, n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定: 0! ? 1 . ⑵组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组,叫做从 n 个元 素中任取 m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不 同元素中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) n! ? 组合数公式: Cm , m, n ? N? ,并且 m ≤ n . n ? m! m !(n ? m)! n?m m m?1 组合数的两个性质:性质 1: Cm ;性质 2: Cm . (规定 C0 n ? Cn n ?1 ? Cn ? Cn n ? 1) ⑶排列组合综合问题 解排列组合问题, 首先要用好两个计数原理和排列组合的定义, 即首先弄清是分类还是分步, 是排列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2.分类分步法:对于较复杂的排列组合问题,常需要分类讨论或分步计算,一定要做到分 类明确,层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4.捆绑法:某些元素必相邻的排列,可以先将相邻的元素“捆成一个”元素,与其它元素 进行排列,然后再给那“一捆元素”内部排列.

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