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2009-2010学年第一学期末高三三校联考_图文

2009-2010 学年第一学期末高三三校联考

数学(文)试题
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个 选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A ? ?0,1,2? ,集合 B ? x x ? 2a, a ? A ,则 A A. ?0? 2.在复平面内,复数
源:学&科&网]

?

?

B?
D. ?1, 4?





B.

1? i 对应的点位于 i
B.第二象限

?2?

C.

?0, 2?

(

)

[来

A.第一象限

C.第三象限

D.第四象限 ( D. 3 )

3.平面向量 a 与 b 的夹角为120?, a ? (2,0),| b |? 1, 则 | a ? 2b | = A.4 B.3 C.2

4.

?y ? 1 ? 函 ?x 数 ?y 的 最 小 值 为 已 知 实 数 x, y 满 足 ? y ? 2 x ? 1, 则 目 标 z ?x ? y ? 5 ?
) A.1 B.-1 C.0 D.4

(

5.如图所示,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个直 径为 1 的圆,那么这个几何体的全面积为 ( )

3 ? 2 B. 2?
A. C. 3? D. 4?

主视图

左视图

俯视图

6.下列命题中,正确命题的个数是( (1) sin 600? ?



3 2

(2) " sin ? ?

1 " 是 "? ? 30? " 的必要不充分条件 2

(3)对于函数 f ( x) ? sin x ? cos x ,存在 x ? R ,使 f ( x) ? (4) 将函数 g ( x) ? sin(2 x ? 象.
第 1 页 共 20 页

?
4

) 的图象向左平移

? 个单位得到函数 h( x) ? cos2 x 的图 8

4 ; 3

[来源:学_科_网]

A.1

B.2

C.3

D.4

7.已知命题 p: “ ?x ? [1,2], x 2 ? a ? 0 ” , 命题 q: “ ?x ? R, 使x 2 ? 2ax ? 2 ? a ? 0 ” ,若命题“p 且 q”是真命题,则实数 a 的取值 范围是 A. {a | a ? ?2或a ? 1} C. {a | a ? ?2或1 ? a ? 2} B. {a | a ? 1} D. {a | ?2 ? a ? 1} ( )

[来源:Zxxk.Com]

8. 已知函数 f ( x) ? ( ) ? log 3 x ,若实数 x0 是方程 f ( x ) ? 0 的解,且 0 ? x1 ? x0 ,则
x

1 5

f ( x1 )
( ) A.恒为负 9.已知 B.等于零 C.恒为正





D.不大于零 ( )

4 6 12 14 2004 2006 a b ? ? ?? ? ? ? ad ? bc ,则 8 10 16 18 2008 2010 c d
B. 2008 C.2010 D. -2010

A. -2008

10.已知定义在 R 上的函数 y ? f ( x) 满足下列三个条件: ①对任意的 x ? R, 都有 f ( x ? 4) ? f ( x) ; ②对于任意的 0 ? x1 ? x2 ? 2 ,都有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③函数 y ? f ( x ? 2) 是偶函数,则下列结论中,正确的是 A. f (?4.5) ? f (?1.5) ? f (7) C. f (7) ? f (?4.5) ? f (?1.5) B. f (?4.5) ? f (7) ? f (?1.5) D. f (?1.5) ? f (7) ? f (?4.5) ( )

第 2 页 共 20 页

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做题和 选做题两部分. (第 13 题和第 15 题前一空 2 分,后一空 3 分) (一)必做题:第 11、12、13 题为必做题,每道试题都必须做答
11.某校 对全校男女学生共 1600 名进行健康调查,选用分层抽样法 抽取一个容量为 200 的样本.已知女生抽了 95 人,则该校的女生人 数应是 人.
[来源:学_科_网 Z_X_X_K]

开始

输入 x

k ?0
x ? 10 x ? 9

12.抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与双曲线 则 p ? __________. 13.按如右图所示的程序框图运算. (1) 若输入 x ? 8 ,则输出 k ?

x y ? ? 1 的右焦点重合, 4 5

2

2

k ? k ?1
x ? 2009
; . 是 输出 k 结束



(2) 若输出 k ? 2 ,则输入 x 的取值范围是

(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计 算第一题的得分.
14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,直线 ? ?

π ( ? ? R )与圆 3


? ? 4 cos? ? 4 3 sin ? 交于 A 、 B 两点,则 | AB |?

15. (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 是 ?ABC 的外接圆,过点 C 的切线交 AB 的延长线 于点 D , CD ? 2 7 , AB ? BC ? 3 ,则 BD 的长为_____, AC 的长为_______. C

O A B D

三、解答题:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演 算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x) , n ? (1, 2 cos x) ,设函数 f ( x) ? m ? n . (Ⅰ )求 f ( x ) 的最小正周期与单调递减区间;
第 3 页 共 20 页

(Ⅱ)在 ?ABC 中, a 、 b 、 c 分别是角 A 、 B 、 C 的对边,若 f ( A) ? 4, b ? 1, ?ABC

的面积为

3 ,求 a 的值. 2
[来源:Zxxk.Com]

17. (本小题满分 12 分)

已 知 关 于 x 的 一 元 二 次 函 数 f ? x ? ? ax2 ? bx ? 1 , 设 集 合 P ? ? 1,2,3?

Q ? ?? 1,1,2,3,4?,
分别从集合 P 和 Q 中随机取一个数作为 a 和 b (Ⅰ )求函数 y ? f ? x ? 有零点的概率; (Ⅱ)求函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数的概率. 18. (本小题满分 14 分) 如图, 在四棱锥 P ? ABCD 中, 底面 ABCD 是边长为 a 的正方形,E 、F 分别为 PC 、

BD 的 中 点 , 侧 面 P A D ? 底面A B C D , 且
(Ⅰ )求证: EF ∥平面 PAD ; (Ⅱ)求证:平面 PAB ? 平面 PCD ; (Ⅲ )求三棱锥 C ? PBD 的体积.

P

PA ? PD ?

2 AD . 2

E

D F

C

19. (本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

[来源:Z&xx&k.Com]

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2

A

B

(Ⅰ )当 a ? 0 时,求 f ( x) 的极值; (Ⅱ)若 f ( x) 在区间 ? ,2? 上是增函数,求实数 a 的取值范围. 3 20. (本题满分 14 分) 如图,点 F 是椭圆

?1 ? ? ?

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点, A 、 B 是椭圆的两个顶点,椭 a2 b2

圆的离心率为 . 点 C 在 x 轴上, BC ? BF ,且 B 、 C 、 F 三点确定的圆 M 恰好与 直线 x ? 3 y ? 3 ? 0 相切.

1 2

第 4 页 共 20 页

(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ)过 F 作一条与两坐标轴都不垂直的直线 l 交椭圆于 P 、 Q 两点,在 x 轴上是否存 在定点 N ,使得 NF 恰好为△ PNQ 的内角平分线,若存在,求出点 N 的坐标, 若不存在,请说明理由.

y

B x

A F
21. (本小题满分 14 分)
[来源:学科网 ZXXK]

O

C

已知 f ( x) ? log m x( m 为常数,m ? 0 且 m ? 1 ) , 设 f (a1 ), f (a2 ),?, f (an )(n ? N ? ) 是首项为 4,公差为 2 的等 差数列. (Ⅰ )求证:数列{ an }是等比数列; (Ⅱ)若 bn ? an f (an ) ,记数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Sn ,当 m ?

2 时,求 Sn ;

(Ⅲ )若 cn ? an lg an ,问是否存在实数 m ,使得 ?cn ? 中每一项恒小于它后面的项?若 存在,求出实数 m 的取值范围.

第 5 页 共 20 页

2009-2010 学年第一学期末高三三校联考 数学(文)试题答题卷
一 三(解答题) 二
[来源:Z&xx&k.Com]

题号

(选择 题)
[来源:学科网][来源:Z§

16

17

18

19

20

21

(填空题)

总分

[来源:Z_xx_k.Com]

xx§k.Com]

得分

一、选择题答卷(每题 5 分,10 题共 50 分) 题号 答案 二、填空题答卷(每题 5 分,4 题共 20 分) 11. _____________________________ 13. ___ ____ 15. _______ 12. _______________________________ 14、_______________________________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

第 6 页 共 20 页

三、解答题答卷(共 6 小题,共 80 分) 16.(本小题满分 12 分)

第 7 页 共 20 页

17.(本小题满分 12 分)

第 8 页 共 20 页

18.(本小题满分 14 分)

P E

D F A B

C

第 9 页 共 20 页

19.(本小题满分 14 分) 解:

第 10 页 共 20 页

20.(本小题满分 14 分) 解:

y

B x

A F O C

第 11 页 共 20 页

21.(本小题满分 14 分) 解:

第 12 页 共 20 页

2009-2010 学年第一学期末高三三校联考 数学(文)试题答案及评分标准
一、选择题答案:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分
题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

C

D

C

B

A

C

A

C

A

D

解答提示: 1. 解析: A ? ?0,1,2? , B ? ?0,2,4? ,故 A 2.解析: ?

B ? ?0,2?,故选 C.

1? i ? 1? i i

故选 D.
2 2

2 2 2 2 3.解析:?| a ? 2b | ? (a ? 2b) ? a ? 4a ? b ? 4b ?| a | ?4 | a || b | cos 120 ?? | b | ? 4

? | a ? 2b |? 2 故选 C.
4. 解析:当直线 z ? x ? y 经过直线 y ? 2 x ? 1 与直线 x ? y ? 5 的交点 (2,3) 时,

z min ? ?1 故选 B.
5. 解析由三视图知空间几何体为圆柱,∴全面积为 π ? ( ) ? 2 ? 2π ?
2

1 2

1 3 ?1 ? π ,∴选 2 2

A. 6. 解析: sin 600? ? sin 240? ? ? sin 60? ? ? 由 "? ? 30? " 可得而由 " sin ? ? 题;

3 ,故此命题是假命题; 2

1 " 可得 "? ? 30? " 不一定成立。故此命题是真命 2

? f ( x) ? sin x ? cos x ? 2 sin( x ?
是真命题 由题意 h( x) ? g ( x ? 真命题,故选 C. 7. 解析:

?
4

) ? ? 2, 2 而

?

?

4 ? ? 2, 2 , 故此命题 3

?

?

?
8

) ? sin[ 2( x ?

?
8

)?

?
4

] ? sin( 2 x ?

?
2

) ? cos 2 x 故此命题是

p : a ? ( x 2 ) min ? 1 ,

q :由? ? 4a 2 ? 4(2 ? a) ? 4(a ? 2)(a ? 1) ? 0 ,

得a ? 1或a ? ?2 ,由题意 p真且q真 ,故实数 a 的取值范围是 得a ? 1或a ? ?2

第 13 页 共 20 页

8. 解析:数形结合。由于 f (1) ? 0, f (3) ? 0 ,所以 x0 ? (1,3) . 在 (1,3) 上 g ( x) ? ( )

1 5

x

是 减 函 数 ,

? ( x) ? log3 x 是 增 函 数 , 所 以

f ( x)?
9. 解析:?

1 x ( ? ) 5

3

l ox在 g (1,3) 上是减函数,所以 f ( x) ? f ( x0 ) ? 0 ,故选 C.

8n ? 4 8n ? 2 ? (8n ? 4)(8n ? 2) ? (8n ? 2)(8n) ? ?8 8n 8n ? 2
数列共有 251 项,? 结果为 (?8) ? 251? ?2008,故选 A.

10. 解析:由①得函数周期为 T ? 4 ,由②得函数在区间 [0,2] 单调递减 由③得 f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ,又由周期性 f ( x ? 2) ? f ( x ? 2)

f ( x ? 2) ? f (? x ? 2) ? f [(?( x ? 2)] ,故 f ( x) ? f (? x) f (?4.5) ? f (4.5) ? f (0.5) ? f (0.5) ? f (1) ? f (1.5) f (7) ? f (?1) ? f (1) f (?1.5) ? f (1.5)
故选 D.

? f (?4.5) ? f (7) ? f (?1.5)

二、填空题答案:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 20 分.本大题分为必做 题和选做题两部分. (第 13 题和第 15 题前一空 2 分,后一空 3 分) ㈠必做题(11~13 题) 11、 760 12、 6 13、(1) 3 ; (2)

191 ? x ? 200 10

㈡选做题(14~15 题是选做题,考生只能从中选做一题) 14、 8 解答提示: 11 解析:由 15、 4

3 7 2

95 x ? ,得 x ? 760 . 200 1600

12 解析:双曲线右焦点坐标为 (3,0) ,故抛物线焦准距 p ? 2 ? 3 ? 6 。 13 解析: 若输入 x ? 8 ,则当 x ? 89 时, k ? 1 ,当 x ? 10 ? 89 ? 9 ? 899 时, k ? 2 , 当 x ? 10 ? 899 ? 9 ? 8999 ? 2009 时, k ? 3 ,故榆出结果为 3 。 若输入 x ,则当 x ? 10 x ? 9 时,k ? 1 当 x ? 10(10x ? 9) ? 9 ? 100x ? 99 时

k ? 2 ,若输出 k ? 2 ,则须满足 10 x ? 9 ? 2009 且 100 x ? 99 ? 2009 191 ? x ? 200 . 解得 10
第 14 页 共 20 页

14 解析: 方程 ? ?

?
3

化为直角坐标方程是 y ? 3x ,方程 ? ? 4 cos? ? 4 3 sin ? 化

为直角坐标方程是 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 2 3) 2 ? 16,由弦长公式可得 | AB |? 8 .
2 15 解析:由切割线定理得:CD ? DB ? DA ,即 (2 7 ) 2 ? DB( DB ? 3) ,解得 DB ? 4 ,

由 ?DCB ?DAC 得

DC CB 2 7 3 3 7 ? ,即 ,解得 AC ? . ? DA AC 7 AC 2

三、解答题答案:本大题 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程 和演算步骤.
16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)?m ? ( 3 sin 2x ? 2, cos x), n ? (1,2 cos x) ,

? f ( x) ? m ? n ? 3 sin 2x ? 2 ? 2 cos2 x ? 3 sin 2x ? cos 2x ? 3
? 2 sin( 2 x ? ?T ?
分 令 2k? ?

?
6

)?3

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3 分 ??????????4

2? ?? 2

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

? k? ?

?

3? (k ? Z ) 2

2 ? x ? k? ? ? (k ? Z ) 6 3

? f ( x) 的单调区间为 [k? ?
(Ⅱ)由 f ( A) ? 4 得

?

2 , k? ? ? ] ,k∈Z 6 3

. . . . . . . . . . . . . . .6 分

f ( A) ? 2 sin( 2 A ?

?

? sin( 2 A ?

?
6

6

)?3? 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . .7分

)?

1 2 ?

又? A 为 ?ABC 的内角

?
6

? 2A ?

?
6

?

?A?

? 3
3 ,b ? 1 2

13? 6

?2A ?

?
6

?

5? 6

. . . . . . . . . . . . . . . . . .9分

? S ?ABC ?

1 3 ? bc s i A n? 2 2

?c ? 2

. . .. . . . . . . . .10分

? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 4 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ?

1 ?3 2
. . . . . . . . . . . . . .12 分

?a ? 3
第 15 页 共 20 页

17. (本小题满分 12 分) 解:

? a, b ? 共有 ?1, ?1? , ?1,1? , ?1, 2 ? , ?1,3? , ?1, 4 ? , ? 2, ?1? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? , ? 2,3? , ? 2, 4 ? , ? 3 ? 1? , ? 3,1? , ? 3, 2? , ? 3,3? , ? 3, 4 ? ,15种情况
(Ⅰ ) ? ? b ? 4a ? 0
2

-----------------2 分

有 ?1,2? , ?1,3? , ?1,4? , ? 2,3? , ? 2,4? , ?3,4 ? 6 中情况 所以函数 y ? f ? x ? 有零点的概率为 (Ⅱ)对称轴 x ?

????5 分 ???7 分

6 2 ? 15 5

b b , ,则 ?1 2a 2a
???10 分

有 ?1, ?1? , ?1,1? , ?1, 2 ? , ? 2, ?1? , ? 2,1? , ? 2, 2 ? , ? 2,3 ? , ? 2, 4 ? ,

? 3, ?1? , ? 3,1? , ? 3, 2 ? , ? 3,3? , ?3,5 ?13种情况
函数 y ? f ? x ? 在区间 ?1, ?? ? 上是增函数的概率为 18. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ )证明:连结 AC ,则 F 是 AC 的中点, E 为 PC 的中点 故在△ CPA 中, EF // PA , 且 PA ? 平面 PAD, EF ? 平面 PAD, ∴ EF ∥平面 PAD

13 15

???12 分

????2 分

????4 分

(Ⅱ)证明:因为平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD = AD , 又 CD ? AD ,所以, CD ⊥平面 PAD ,∴ CD ? PA 又 PA ? PD ? 且 ?PAD ? ????6 分

2 AD ,所以△ PAD 是等腰直角三角形, 2
, 即 PA ? PD ??????7 分 ????8 分

?
2

又 CD ? PD ? D , ∴ PA ⊥平面 PCD , 又 PA ? 平面 PAB , 所以平面 PAB ? 平面 PCD 分 (Ⅲ )取 AD 的中点 M,连结 PM ,? PA ? PD ,? PM ? AD 又平面 PAD ⊥平面 ABCD , 平面 PAD ∩平面 ABCD = AD ,
第 16 页 共 20 页

??????? 9

? PM ? 平面ABCD ,

?????11 分

?VC ? PBD ? VP ? BCD
19. (本题满分 14 分)

1 1 1 1 a3 ? S ?BCD ? PM ? ? a ? a ? a ? 3 3 2 2 12

?????14 分

解: (Ⅰ )函数的定义域为 (0,??) ∵ f ( x) ?

????1 分

1 2 ax ? 2 x ? ln x 2 1 x
??????2 分

当 a=0 时, f ( x) ? 2 x ? ln x ,则 f ' ( x ) ? 2 ? ∴ x, f ' ( x), f ( x) 的变化情况如下表 x (0, -

1 ) 2

1 2
0 极小值

(

1 ,+∞) 2
+

f ' ( x)

f ( x)
??????5 分

1 时, f ( x) 的极小值为 1+ln2,函数无极大值. 2 1 2 (Ⅱ)由已知,得 f ( x) ? ax ? 2 x ? ln x, 且x ? 0,则 2
∴当 x ?

??????7 分

f ' ( x) ? ax ? 2 ?

1 ax2 ? 2 x ? 1 ? x x
1 ,显然不合题意 2

?????? 8 分

若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

若 a ? 0 ∵函数 f ( x) 区间 ? ,2? 是增函数 3 ∴ f ' ( x) ? 0 对 x ? ? ,2? 恒成立, 即不等式 ax ? 2 x ? 1 ? 0 对 x ? ? ,2? 恒成立?10 分 3 3
2

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

?1 ? ? ?

即 a?

1 ? 2x 1 2 1 ? 2 ? ? ( ? 1) 2 ? 1 恒成立 2 x x x x 1 1 2 ,函数 ( ? 1) ? 1的最大值为 3 , 3 x

故 a ? ?(

? 1 ? ? 1) 2 ? 1? ? x ? max

?12 分

而当 x ?

∴实数 a 的取值范围为 a ? 3 。
第 17 页 共 20 页

?????? 14 分

另解: ∵函数 f ( x) 区间 ? ,2? 是增函数 且x ? 0 3

?1 ? ? ?

?1 ? ?1 ? ? f ' ( x) ? 0 对 x ? ? ,2? 恒成立,即不等式 ax2 ? 2 x ? 1 ? 0 对 x ? ? ,2? 恒成立 ?3 ? ?3 ?
设 g ( x) ? ax2 ? 2 x ? 1,? f ?( x) ? 0恒成立 ? g ( x) ? 0恒成立 若 a ? 0 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

1 ,显然不合题意 2

若 a ? 0 ,由 g ( ) ? 0 , g (2) ? 0 ,无解, 显然不合题意 若 a ? 0 ,? g (0) ? 0 ,故 g ( ) ? 0 ,解得 a ? 3 ∴实数 a 的取值范围为 a ? 3 20. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ )由题意可知 F (?c,0)

1 3

1 3

1 e ? ?????? b ? 3c , 即B(0, 3c) . 2

? kBF ?

3c ? 3 0 ? (?c)

3分
3 ?????C (3c,0) 3



BC ? BF ??? kBC ? ?

?圆M的圆心坐标为(c,0), 半径为2c

6分

由直线x ? 3 y ? 3 ? 0与圆M 相切可得
?c ? 1

| c ?3| 1 ? ( 3)
2

? 2c

? 椭圆的方程为

x2 y 2 ? ?1 4 3

8分

(Ⅱ) 假设存在满足条件的点 N ( x0 ,0). 由题意可设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1)(k ? 0).

设P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 )
NF为?PNQ的内角平分线

?kNP ? ?kNQ

10分
第 18 页 共 20 页



y1 y2 ?? x1 ? x0 x2 ? x0

?

k ( x1 ? 1) k ( x2 ? 1) ?? ? ( x1 ? 1)(x2 ? x0 ) ? ?( x2 ? 1)(x1 ? x0 ) x1 ? x0 x 2 ? x0
x1 ? x2 ? 2 x1 x2 ..................................................................................11分 x1 ? x2 ? 2

? x0 ?

? y ? k ( x ? 1) ? 又 ? x2 y 2 ? 3x 2 ? 4k 2 ( x ? 1)2 ? 12 ?1 ? ? ?4 3

?(3 ? 4k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 4k 2 ?12 ? 0
? x1 ? x2 ? ? 8k 2 4k 2 ? 12 , x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

∴存在满足条件的定点 N,点 N 的坐标为( ? 4,0) ??????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)由题意 f (an ) ? 4 ? 2(n ? 1) ? 2n ? 2, ∴ an ? m ∴
2 n? 2

8k 2 8k 2 ? 24 ? 2 3 ? 4k 2 ? ?4 x0 ? ? 3 ? 4k 8k 2 2? 3 ? 4k 2 ?

即 logm an ? 2n ? 2, ??????2 分

a n?1 m 2( n?1)? 2 ? ? m2 2n?2 an m
4 2

2 ∵m>0 且 m ? 1 ,∴m 为非零常数,

∴数列{an}是以 m 为首项,m 为公比的等比数列 (Ⅱ)由题意 bn ? an f (an ) ? m 当m?
2n? 2

????4 分

logm m2n?2 ? (2n ? 2) ? m2n?2 ,

2时,bn ? (2n ? 2) ? 2n?1 ? (n ? 1) ? 2n?2
3 4 5 n? 2

∴ S n ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? ? ? (n ? 1) ? 2 ①式两端同乘以 2,得



????6 分

2S n ? 2 ? 24 ? 3 ? 25 ? 4 ? 26 ? ? ? n ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?3 ②
②-①并整理,得

????7 分

S n ? ?2 ? 23 ? 24 ? 25 ? 26 ? ? ? 2n?2 ? (n ? 1) ? 2n?3
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? ?23 ? [23 ? 2 4 ? 25 ? ? ? 2 n?2 ] ? (n ? 1) ? 2 n?3
2 3 [1 ? 2 n ] ? (n ? 1) ? 2 n ?3 ? ?23 ? 23 (1 ? 2 n ) ? (n ? 1) ? 2 n?3 =? 2 ? 1? 2
3

? 2 n ?3 ? n
(Ⅲ)由题意 cn ? an lg an ? (2n ? 2) ? m 要使 cn?1 ? cn 对一切 n ? 2 成立, 即
2 n?2

???? 10 分

lg m

n lg m ? (n ? 1) ? m 2 ? lg m 对一切 n ? 2 成立, n ? (n ? 1)m 2 对n ? 2 成立;
????12 分

①当 m>1 时,

②当 0<m<1 时, n ? (n ? 1)m 2 ∴n ?

m2 m2 n ? 2 ? 2, 对一切 成立,只需 1 ? m2 1? m2

解得 ?

6 6 ?m? , 考虑到 0<m<1, 3 3

∴0<m<

6 . 3

综上,当 0<m<

6 或 m>1 时,数列 ?cn ? 中每一项恒小于它后面的项-------14 分 3

第 20 页 共 20 页


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