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【步步高】2014届高三数学大一轮复习 2.5指数与指数函数教案 理 新人教A版


§2.5
2014 高考会这样考

指数与指数函数

1.考查指数函数的求值、指数函数的图象和性质;2.讨论与指数函数

有关的复合函数的性质;3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合,综合考查指数函数知 识的应用. 复习备考要这样做 1.重视指数的运算,熟练的运算能力是高考得分的保证;2.掌握两种

情况下指数函数的图象和性质,在解题中要善于分析,灵活使用;3.对有关的复合函数要搞 清函数的结构.

1. 根式的性质 (1)( a) =a. (2)当 n 为奇数时 a =a. 当 n 为偶数时 a ={a
n

n

n

n

n

n

? a≥0? ?-a ?

a<0?

2. 有理数指数幂 (1)幂的有关概念 ①正整数指数幂:a =a·a·?·na (n∈N ). 个 ②零指数幂:a =1(a≠0). 1 -p * ③负整数指数幂:a = p(a≠0,p∈N ).
0

n

*

a

④正分数指数幂:a = a (a>0,m、n∈N ,且 n>1).

m n

n

m

*

m 1 1 ⑤负分数指数幂:a- = = n m a n n am

(a>0,m、n∈N ,且 n>1).

*

⑥0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义. (2)有理数指数幂的性质 ①a a =a
r s r s r+s

(a>0,r、s∈Q);

②(a ) =a (a>0,r、s∈Q); ③(ab) =a b (a>0,b>0,r∈Q).
1
r r r

rs

3. 指数函数的图象与性质

y=ax

a>1

0<a<1

图象

定义域 值域

(1)R (2)(0,+∞) (3)过定点(0,1) (4)当 x>0 时,y>1; (5)当 x>0 时, 0<y<1;

性质

x<0 时,0<y<1

x<0 时,y>1
(7)在(-∞,+ ∞)上是减函数

(6)在(-∞,+∞)上是增函数 数 a 按:0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. [难点正本 疑点清源]

1. 根式与分数指数幂的实质是相同的, 通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂 的运算,从而可以简化计算过程. 2. 指数函数的单调性是底数 a 的大小决定的,因此解题时通常对底数 a 按:0<a<1 和 a>1 进行分类讨论. 3. 比较指数式的大小方法:利用指数函数单调性、利用中间值.

6 1 0 1. 化简[(-2) ] -(-1) 的值为________. 2

答案 7
6 1 0 6 1 3 解析 [(-2) ] -(-1) =(2 ) -1=2 -1=7. 2 2

2. 若函数 y=(a -1) 在(-∞,+∞)上为减函数,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (- 2,-1)∪(1, 2) 解析 由 y=(a -1) 在(-∞,+∞)上为减函数,得 0<a -1<1,∴1<a <2,即 1<a< 2 或- 2<a<-1. 3. 若函数 f(x)=a -1 (a>0,且 a≠1)的定义域和值域都是[0,2],则实数 a=________. 答案 3
x
2

2

x

x

2

2

2

解析 当 a>1 时,x∈[0,2],y∈[0,a -1]. 因定义域和值域一致,故 a -1=2,即 a= 3. 当 0<a<1 时,x∈[0,2],y∈[a -1,0]. 此时,定义域和值域不一致,故此时无解. 综上,a= 3. 4 . ( ) (2012· 四 川 ) 函 数
2 2

2

y = ax -

1

a

(a>0 , 且

a≠1) 的 图 象 可 能 是

答案 D 1 1 x 解析 当 a>1 时,y=a - 为增函数,且在 y 轴上的截距为 0<1- <1,排除 A,B.

a

a

1 1 x 当 0<a<1 时,y=a - 为减函数,且在 y 轴上的截距为 1- <0,故选 D.

a

a

5 . ( )

设 函 数

f(x) = a



|x|

(a>0 , 且

a≠1) , f(2) = 4 ,

A.f(-2)>f(-1) C.f(1)>f(2) 答案 A 解析 ∵f(x)=a
-|x|

B.f(-1)>f(-2) D.f(-2)>f(2)

(a>0,且 a≠1),f(2)=4,

1 -2 ∴a =4,∴a= , 2

?1?-|x| |x| ∴f(x)=? ? =2 ,∴f(-2)>f(-1),故选 A. ?2?

题型一 指数幂的运算 例1 1 1 3 2 -1 (1)计算:(124+22 3) -27 +16 -2×(8- ) ; 2 6 4 3
3

1 1 x +x -2 (2)已知 x +x- =3,求 的值. 2 2 3 3 x +x- -3 2 2 思维启迪:(1)本题是求指数幂的值,按指数幂的运算律运算即可; 3 3 1 1 2 -2 (2)注意 x +x 、x +x- 与 x +x- 之间的关系. 2 2 2 2 解 1 1 3 2 -1 (1)(124+22 3) -27 +16 -2×(8- ) 2 6 4 3

2

-2

1 1 3 2 =(11+ 3)2× -33× +24× -2×8- ×(-1) 2 6 4 3 1 2 3 =11+ 3-3 +2 -2×23× 2 3 =11+ 3- 3+8-8=11. 1 1 1 1 2 (2)∵x +x- =3,∴(x +x- ) =9, 2 2 2 2 ∴x+2+x =9,∴x+x =7, ∴(x+x ) =49,∴x +x =47, 3 3 1 1 -1 又∵x +x+- =(x +x- )·(x-1+x ) 2 2 2 2 =3×(7-1)=18, ∴
-1 2 2 -2 -1 -1

x2+x-2-2
3 2 3 2

=3.

x +x- -3
探究提高 根式运算或根式与指数式混合运算时, 将根式化为指数式计算较为方便, 对 于计算的结果,不强求统一用什么形式来表示,如果有特殊要求,要根据要求写出结 果.但结果不能同时含有根号和分数指数,也不能既有分母又有负指数. 计算下列各式的值: 1 ? 27? 2 -1 0 (1)?- ?- +(0.002)- -10( 5-2) +( 2- 3) ; 2 ? 8? 3 (2) -( 3-1) - 9-4 5; 5+2 1
0

(3) 1 1 ? a b ? 4 2 解

a3b2 ab2
4

3

1 1 a- b 3 3

(a>0,b>0).

10 ? 27? 2 ? 1 ? 1 (1)原式=?- ?- +? ?- - +1 ? 8 ? 3 ?500? 2 5-2

4

1 ? 8 ?2 =?- ? +500 -10( 5+2)+1 2 ? 27?3 4 167 = +10 5-10 5-20+1=- . 9 9 (2)原式= 5-2-1- ? 5-2?
2

=( 5-2)-1-( 5-2)=-1. 1 3 2 1 2 ? aba b ? 3 3 2 3 1 1 1 1 -1 (3)原式= =a + -1+ b1+ -2- =ab . 1 1 2 6 3 3 3 2 ab a- b 3 3 题型二 指数函数的图象、性质的应用 例2 (1)函数 f(x)=a 正确的是 A.a>1,b<0 B.a>1,b>0 C.0<a<1,b>0 D.0<a<1,b<0 (2)求函数 f(x)=3 x -5x+4的定义域、值域及其单调区间. 思维启迪:对于和指数函数的图象、性质有关的问题,可以通过探求已知函数和指数函 数的关系入手. 答案 (1)D 解析 0<a<1. 函数 f(x)=a
x-b
2

x-b

的图象如图所示,其中 a,b 为常数,则下列结论 ( )

由 f(x)=a

x-b

的图象可以观察出函数 f(x)=a

x-b

在定义域上单调递减,所以

的图象是在 f(x)=a 的基础上向左平移得到的,所以 b<0.
2

x

(2)解 依题意 x -5x+4≥0,解得 x≥4 或 x≤1, ∴f(x)的定义域是(-∞,1]∪[4,+∞). ∵ x -5x+4≥0,∴f(x)=3 x -5x+4≥3 =1, ∴函数 f(x)的值域是[1,+∞). 令 u= x -5x+4=
2 2 2 0

?x-5?2-9,x∈(-∞,1]∪[4,+∞), ? 2? 4 ? ?

∴当 x∈(-∞,1]时,u 是减函数, 当 x∈[4,+∞)时,u 是增函数. 而 3>1,∴由复合函数的单调性,可知 f(x)=3 x -5x+4在(-∞,1]上是减函数, 在[4, +∞)上是增函数.
5
2

探究提高 (1)与指数函数有关的函数的图象的研究,往往利用相应指数函数的图象, 通过平移、对称变换得到其图象. (2)对复合函数的性质进行讨论时,要搞清复合而成的两个函数,然后对其中的参数进 行讨论. (1) ( ) 函 数

y



e +e x -x e -e

x

-x













答案 A e +e 2 2x 解析 y= x ,当 x>0 时,e -1>0,且随着 x 的增大而增大,故 y=1 -x=1+ 2x e -e e -1 + 函 数 y 是奇函数,故只有 A 正确. (2)若函数 f(x)=e-(x-μ ) (e 是自然对数的底数)的最大值是 m,且 f(x)是偶函数, 则m +μ =________. 答案 1 解析 由于 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), 即 e-(-x-μ ) =e-(x-μ ) ,∴(x+μ ) =(x-μ ) ,∴μ =0, ∴f(x)=e-x .又 y=e 是 R 上的增函数,而-x ≤0, ∴f(x)的最大值为 e =1=m,∴m+μ =1. 题型三 指数函数的综合应用 例3 (1)k 为何值时,方程|3 -1|=k 无解?有一解?有两解? 1 x (2)已知定义在 R 上的函数 f(x)=2 - |x|. 2
6
x
0 2 2 2 2 2 2

x

-x

2 >1 且随着 x 的增大而减小,即函数 y 在(0,+∞)上恒大于 1 且单调递减.又 2x e -1

x

2

3 ①若 f(x)= ,求 x 的值; 2 ②若 2 f(2t)+mf(t)≥0 对于 t∈[1,2]恒成立,求实数 m 的取值范围. 思维启迪: 方程的解的问题可转为函数图象的交点问题; 恒成立可以通过分离参数求最 值或值域来解决. 解 (1)函数 y=|3 -1|的图象是由函数 y=3 的图象向下平移一个单位后, 再把位于 x
x x t

轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴上方得到的,函数图象如图所 示. 当 k<0 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图象无交点,即方 程 无解;当 k=0 或 k≥1 时,直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图象 有唯一的交点,所以方程有一解; 当 0<k<1 时, 直线 y=k 与函数 y=|3 -1|的图象有两个不同的交点, 所以方程有两解. (2)①当 x<0 时,f(x)=0,无解; 1 x 当 x≥0 时,f(x)=2 - x, 2 1 3 x 2x x 由 2 - x= ,得 2·2 -3·2 -2=0, 2 2 1 x x 看成关于 2 的一元二次方程,解得 2 =2 或- , 2 ∵2 >0,∴x=1. 1 ? ? t 1? t? 2t ②当 t∈[1,2]时,2 ?2 - 2t?+m?2 - t?≥0, 2 ? ? 2? ? 即 m(2 -1)≥-(2 -1),∵2 -1>0,∴m≥-(2 +1), ∵t∈[1,2],∴-(2 +1)∈[-17,-5], 故 m 的取值范围是[-5,+∞). 探究提高 对指数函数的图象进行变换是利用图象的前提,方程 f(x)=g(x)解的个数 即为函数 y=f(x)和 y=g(x)图象交点的个数;复合函数问题的关键是通过换元得到两 个新的函数,搞清复合函数的结构. 已知 f(x)=
2t 2t 4t 2t 2t

x

x

x

x

a x -x (a -a ) (a>0 且 a≠1). a2-1

(1)判断 f(x)的奇偶性; (2)讨论 f(x)的单调性; (3)当 x∈[-1,1]时,f(x)≥b 恒成立,求 b 的取值范围. 解 (1)因为函数的定义域为 R,所以关于原点对称.

7

又因为 f(-x)=

a
2

a -1

(a -a )=-f(x),

-x

x

所以 f(x)为奇函数. (2)当 a>1 时,a -1>0,y=a 为增函数,y=a 为减函数,从而 y=a -a 为增函数, 所以 f(x)为增函数, 当 0<a<1 时,a -1<0,
2 2

x

-x

x

-x

y=ax 为减函数,y=a-x 为增函数,
从而 y=a -a 为减函数,所以 f(x)为增函数. 故当 a>0,且 a≠1 时,f(x)在定义域内单调递增. (3)由(2)知 f(x)在 R 上是增函数, 所以在区间[-1,1]上为增函数, 所以 f(-1)≤f(x)≤f(1), 所以 f(x)min=f(-1)= 1-a = 2 · =-1, a -1 a 所以要使 f(x)≥b 在[-1,1]上恒成立,则只需 b≤-1, 故 b 的取值范围是(-∞,-1]. 3.利用方程思想和转化思想求参数范围
x
-x

a -1 (a - a ) a2-1

a

2

-2 +b 典例:(14 分)已知定义域为 R 的函数 f(x)= x+1 是奇函数. 2 +a (1)求 a,b 的值; (2)若对任意的 t∈R,不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立,求 k 的取值范围. 审题视角 (1)f(x)是定义在 R 上的奇函数,要求参数值,可考虑利用奇函数的性质,构建 方 程:f(0)=0,f(1)=-f(-1). (2)可考虑将 t -2t,2t -k 直接代入解析式化简, 转化成关于 t 的一元二次不等式. 也 可 考虑先判断 f(x)的单调性,由单调性直接转化为关于 t 的一元二次不等式. 规范解答 解 (1)因为 f(x)是 R 上的奇函数,
2 2 2 2

x

-1+b 所以 f(0)=0,即 =0,解得 b=1, 2+a -2 +1 从而有 f(x)= x+1 .[4 分] 2 +a
8
x

1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- , 4+a 1+a 解得 a=2.[7 分] -2 +1 (2)方法一 由(1)知 f(x)= x+1 , 2 +2 -2t -2t+1 -22t -k+1 又由题设条件得 2 + 2 <0, 2t -2t+1+2 22t -k+1+2 即(22t -k+1+2)(-2t -2t+1)+(2t -2t+1+2)(-22t -k+1)<0.[9 分] 整理得 23t -2t-k>1,因底数 2>1,故 3t -2t-k>0.[12 分] 上式对一切 t∈R 均成立,从而判别式 Δ =4+12k<0, 1 解得 k<- .[14 分] 3 -2 +1 1 1 方法二 由(1)知 f(x)= x+1 =- + x , 2 +2 2 2 +1 由上式易知 f(x)在 R 上为减函数, 又因为 f(x)是奇函数, 从而不等式 f(t -2t)+f(2t -k)<0 等价于 f(t -2t)<-f(2t -k)=f(-2t +k).因为 f(x)是 R 上的减函数, 由上式推得 t -2t>-2t +k.[12 分] 即对一切 t∈R 有 3t -2t-k>0, 1 从而 Δ =4+12k<0,解得 k<- .[14 分] 3 温馨提醒 (1)根据 f(x)的奇偶性,构建方程求参数体现了方程的思想;在构建方程时,利 用 了特殊值的方法,在这里要注意:有时利用两个特殊值确定的参数,并不能保证对所有 的 x 都成立.所以还要注意检验. (2)数学解题的核心是转化,本题的关键是将 f(t -2t)+f(2t -k)<0 恒成立等价转化 为t
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x

x

-2t>-2t +k 恒成立.这个转化易出错.其次,不等式 t -2t>-2t +k 恒成立,即对 一切 t∈R 有 3t -2t-k>0,也可以这样做:k<3t -2t,t∈R,只要 k 比 3t -2t 的最 1 1 2 小值小即可,而 3t -2t 的最小值为- ,所以 k<- . 3 3
2 2 2

2

2

2

方法与技巧

9

1.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令 x=1 得到底数的值再进行比较. 2.指数函数 y=a (a>0,a≠1)的性质和 a 的取值有关,一定要分清 a>1 与 0<a<1. 3.对和复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成. 失误与防范 1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为 a +b·a +c=0 或 a +b·a +c≥0 (≤0)的指数方程或不等式,常借助换元 法解 决,但应注意换元后“新元”的范围.
2x

x

x

2x

x

(时间:60 分钟) A 组 专项基础训练 一、选择题(每小题 5 分,共 20 分) 1 1 a b 1. 设 2 =5 =m,且 + =2,则 m 等于

a b

( B.10 D.100

)

A. 10 C.20 答案 A

解析 ∵2 =5 =m,∴a=log2m,b=log5m, 1 1 1 1 ∴ + = + a b log2m log5m =logm2+logm5=logm10=2. ∴m= 10.

a

b

?1? 2 2.函数 y=? ?-x +2x 的值域是 ?2?
A.R C.(2,+∞) 答案 D 解析 ∵-x +2x=-(x-1) +1≤1, 1 ?1? 2 ∴? ?-x +2x≥ ,故选 D. 2 2 ? ?
2 2

( B.(0,+∞)

)

?1 ? D.? ,+∞? ?2 ?

10

3 (

. )





y



xax |x|

(0<a<1)

















答案 D

xax x x 解析 函数定义域为{x|x∈R,x≠0},且 y= ={a ,x>0?-a ,x<0 .当 x>0 时, |x|
函数是一个指数函数,因为 0<a<1,所以函数在(0,+∞)上是减函数;当 x<0 时,函 数图象与指数函数 y=a (x<0,0<a<1)的图象关于 x 轴对称,在(-∞,0)上是增函数. 4 . 若 函 数 f(x) = a ( ) A.(-∞,2] C.[-2,+∞) 答案 B 1 1 1 1 2 解析 由 f(1)= ,得 a = ,∴a= (a=- 舍去), 9 9 3 3 B.[2,+∞) D.(-∞,-2]
|2x - 4|

x

1 (a>0 , a≠1) , 满 足 f(1) = , 则 f(x) 的 单调 递减 区 间 是 9

?1?|2x-4|. 即 f(x)=? ? ?3?
由于 y=|2x-4|在(-∞,2]上递减,在[2,+∞)上递增, 所以 f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.故选 B. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 5. 已知 a= ________. 答案 m<n 解析 ∵0<a=
x

5-1 x ,函数 f(x)=a ,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的大小关系为 2

5-1 x <1,∴函数 f(x)=a 在 R 上是减函数.又∵f(m)>f(n),∴m<n. 2

6. 函数 f(x)=a (a>0,a≠1)在[1,2]中的最大值比最小值大 ,则 a 的值为__________. 2 答案 1 3 或 2 2

a

a 1 2 解析 当 0<a<1 时,a-a = ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2

11

a 3 2 当 a>1 时,a -a= ,∴a= 或 a=0(舍去). 2 2
1 3 综上所述,a= 或 . 2 2 7. (2012·洛阳调研)已知函数 f(x)=a +b (a>0 且 a≠1)的图象如 图所 示,则 a+b 的值是________. 答案 -2 解析 ∵{a +b=0?a +b=-3 ,∴{a=2?b=-4 ,
2 0

x

∴a+b=-2. 三、解答题(共 25 分) 8. (12 分)设函数 f(x)=2 解
|x+1|-|x-1|

,求使 f(x)≥2 2的 x 的取值范围.

y=2x 是增函数,f(x)≥2 2等价于

3 |x+1|-|x-1|≥ .① 2 (1)当 x≥1 时,|x+1|-|x-1|=2,∴①式恒成立. (2)当-1<x<1 时,|x+1|-|x-1|=2x, 3 3 ①式化为 2x≥ ,即 ≤x<1. 2 4 (3)当 x≤-1 时,|x+1|-|x-1|=-2,①式无解.

?3 ? 综上,x 的取值范围是? ,+∞?. 4 ? ?
9. (13 分)设 a>0 且 a≠1,函数 y=a +2a -1 在[-1,1]上的最大值是 14,求 a 的值. 解 令 t=a (a>0 且 a≠1), 则原函数化为 y=(t+1) -2 (t>0).
2 2x

x

x

? 1? x ①当 0<a<1 时,x∈[-1,1],t=a ∈?a, ?, ?
a?

? 1? 此时 f(t)在?a, ?上为增函数. ?
a?

?1? ?1 ?2 所以 f(t)max=f? ?=? +1? -2=14. a a ? ? ? ?
1 1 ?1 ? 2 所以? +1? =16,所以 a=- 或 a= . 5 3 ?a ? 1 又因为 a>0,所以 a= . 3

?1 ? x ②当 a>1 时,x∈[-1,1],t=a ∈? ,a?, ?a ?
12

?1 ? 此时 f(t)在? ,a?上是增函数. ?a ?
所以 f(t)max=f(a)=(a+1) -2=14, 解得 a=3(a=-5 舍去). 1 综上得 a= 或 3. 3 B 组 专项能力提升 一、选择题(每小题 5 分,共 15 分)
?1 1. 设函数 f(x)=? ? ?x
2

x>0? ,?ex ? x≤0? ,

若 F(x)=f(x)+x,x∈R,则 F(x)的

值域为 ( A.(-∞,1] C.(-∞,1]∪[2,+∞) 答案 C 1 解析 当 x>0 时,F(x)= +x≥2; B.[2,+∞) D.(-∞,1)∪(2,+∞) )

x

当 x≤0 时,F(x)=e +x,根据指数函数与一次函数的单调性,F(x)是单调递增函数,

x

F(x)≤F(0)=1,所以 F(x)的值域为(-∞,1]∪[2,+∞).
1 2 2. (2012·山东)设函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx(a,b∈R,a≠0).若 y=f(x)的图象与 y

x

=g(x) 的图象有且仅有两个不同的公共点 A(x1,y1),B(x2,y2),则下列判断正确的是 ( A.当 a<0 时,x1+x2<0,y1+y2>0 B.当 a<0 时,x1+x2>0,y1+y2<0 C.当 a>0 时,x1+x2<0,y1+y2<0 D.当 a>0 时,x1+x2>0,y1+y2>0 答案 B 1 2 解析 由题意知函数 f(x)= ,g(x)=ax +bx(a,b∈R,a≠0)的图象有且仅有两个公 )

x

1 2 共点 A(x1,y1),B(x2,y2),等价于方程 =ax +bx(a,b∈R,a≠0)有两个不同的根 x1,

x

x2,
即方程 ax +bx -1=0 有两个不同非零实根 x1,x2, 因而可设 ax +bx -1=a(x-x1) (x-x2),
13
3 2 2 3 2

即 ax +bx -1=a(x -2x1x +x1x-x2x +2x1x2x-x2x1), ∴b=a(-2x1-x2),x1+2x1x2=0,-ax2x1=-1, ∴x1+2x2=0,ax2>0, 当 a>0 时,x2>0, ∴x1+x2=-x2<0,x1<0, 1 1 x1+x2 ∴y1+y2= + = >0.
2 2

3

2

3

2

2

2

2

x1 x2

x1x2

当 a<0 时,x2<0, ∴x1+x2=-x2>0,x1>0, 1 1 x1+x2 ∴y1+y2= + = <0.

x1 x2

x1x2

2 1 3. (2012·上饶质检)设函数 f(x)= x- ,[x]表示不超过 x 的最大整数,则函数 y= 1+ 2 2 [f(x)] 的值域是 A.{0,1} C.{-1,1} 答案 B 1+2 -1 1 1 1 解析 f(x)= x - = - x. 1+2 2 2 1+2
x

x

( B.{0,-1} D.{1,1}

)

? 1 1? x ∵1+2 >1,∴f(x)的值域是?- , ?. ? 2 2?
∴y=[f(x)]的值域是{0,-1}. 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 4. 函数 f(x)=ax +2x-3+m (a>1)恒过点(1,10),则 m=______. 答案 9 解析 f(x)=ax +2x-3+m 在 x +2x-3=0 时过定点(1,1+m)或(-3,1+m),∴1+
2 2 2

m
=10,解得 m=9. 5. 若函数 f(x)=a -x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (1,+∞)
x

14

解析 令 a -x-a=0 即 a =x+a,若 0<a<1,显然 y=a 与 y=x+a 的图象只有一个 公共点;若 a>1,y=a 与 y=x+a 的图象如图所示.
x

x

x

x

?3?x 2+3a有负数根,则实数 a 的取值范围为__________. 6. 关于 x 的方程? ? = ?2? 5-a ? 2 3? 答案 ?- , ? ? 3 4? ?3?x 解析 由题意,得 x<0,所以 0<? ? <1, ?2?
2+3a 2 3 从而 0< <1,解得- <a< . 5- a 3 4 三、解答题(13 分) e a 7. 设 f(x)= + -x是定义在 R 上的函数. a e (1)f(x)可能是奇函数吗? (2)若 f(x)是偶函数,试研究其在(0,+∞)上的单调性. 解 (1)假设 f(x)是奇函数,由于定义域为 R,
x
-x -x

a? e a ?e ∴f(-x)=-f(x),即 + x=-? + -x?, a e ?a e ?

? 1? x -x 整理得?a+ ?(e +e )=0, ?
a?
1 2 即 a+ =0,即 a +1=0 显然无解.

a

∴f(x)不可能是奇函数. (2)因为 f(x)是偶函数,所以 f(-x)=f(x), e a e a 即 + x= + -x, a e a e
x
-x

? 1? x -x 整理得?a- ?(e -e )=0, ?
a?
又∵对任意 x∈R 都成立, 1 ∴有 a- =0,得 a=±1.

a

当 a=1 时,f(x)=e +e ,以下讨论其单调性, 任取 x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2, 则 f(x1)-f(x2)=ex1+e-x1-ex2-e-x2 = ? ex1-ex2? ? ex1+x2-1? , ex1+x2

-x

x

∵x1,x2∈(0,+∞)且 x1<x2,

15

∴ex1+x2>1,ex1-ex2<0,∴ex1+x2-1>0, ∴f(x1)-f(x2)<0,即 f(x1)<f(x2), e a ∴函数 f(x)= + -x, a e 当 a=1 时,在(0,+∞)为增函数, 同理,当 a=-1 时,f(x)在(0,+∞)为减函数.
-x

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