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内蒙古包头市2013届高三数学下学期第二次模拟考试试题 理 北师大版

2012~2013 学年度包头一中第二次模拟考试 高三年级数学(理科)试卷
第Ⅰ卷 一.选择题: (本题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在四个选项中,只有一项是 符合要求的) 1.如图所示的韦恩图中, A 、 B 是非空集合,定义 A * B 表示阴影部分集合.若
2 x, y ? R , A ? ?x y ? 2 x ? x

?



B ? y y ? 3x , x ? 0

?

?

,则 A *B=(



A. (2, ??)

B.

?0,1? ? (2, ??)

C.

?0,1? ? (2, ??)

D.

?0,1? ?[2, ??)

2. 给出以下结论: (1)命题“存在

x0 ? R, 2 x0 ? 0 ”的否定是: x ? R , 2 x0 ? 0 ; “不存在 0

z?
(2)复数

1 1 ? i 在复平面内对应的点在第二象限

(3) l 为直线, ? , ? 为两个不同平面,若 l ? ? , ? ? ? ,则 l // ? (4)已知某次高三模拟的数学考试成绩 ? ~ N 90, ?

?

2

?(? ? 0) ,统计结果
) D.1

显示 p ?70 ? ? ? 110 ? ? 0.6 ,则 p ?? ? 70 ? ? 0.2 .其中结论正确的个数为( A.4 B.3 C.2

? x 3 ? sin x, ? 1 ? x ? 1 2 f ?x ? ? ? 1 ? x ? 2 ,则 ??1 f ? x ?dx ? ( ?2, 3. 若
A.0
2

) D.3

B.1

C.2

2 4. 对于使 ? x ? 2 x ? M 成立的所有常数 M 中,我们把 M 的最小值 1 叫做 ? x ? 2 x 的上

确界,

1 2 ? 若 a、b ? R ,且 a ? b ? 1 ,则 2a b 的上确界为(
?

?



9 A. 2

9 B. 2 ?

1 C. 4

D.-4

x2 y2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b 5.已知已知点(2,3)在双曲线 C: a 上,C 的焦距为 4,
则它的离心率为( )

1

A.2

B.

3

C. 2 2

D. 2 3

1 6.若(x+ x )n 展开式的二项式系数之和为 64,则展开式的常数项为(
A.10 B.20 C.30 D.120



7.设 A.

x , y 满足约束条件
B.

?x ? 0 ? ?y ? x ? 4 x ? 3 y ? 12 ?

x ? 2y ? 3 x ? 1 的取值范围是( ,则



?1,5?
2

? 2,6?

C.

?3,10?

D.

?3,11?

8. 设曲线 y ? x ? 1 在其上任一点 ( x, y ) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,则函数 y ? g ( x)cos x 的 部分图象可以为 ( y ) y y y

O

x

O

x

O

x

O

x

A.

B.

C.

D.

9.某校开设 A 类选修课 3 门,B 类选择课 4 门,一位同学从中共选 3 门.若要求两类课程中 各至少 选一门,则不同的选法共有( ) A. 48 种 B. 42 种 C . 35 种 D. 30 种
F1、F2分别是椭圆 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2 的左、右焦点, A 是椭圆上位于第一象限内

10. 已知

的一点,点 B 也在椭圆 上,且满足 OA ? OB ? 0 ( O 为坐标原点) AF2 ? F1 F2 ? 0 ,若 ,

2 椭圆的离心率等于 2 , 则直线 AB 的方程是 (
A.
y? 2 x 2

)
y?? 3 x 2

B.

y??

2 x 2

C.

D.

y?

3 x 2

3? ???? ??? ? O(0,0), P(6,8) ,将向量 OP 按逆时针旋转 4 后,得向量 OQ 11. 在平面直角坐标系中,
则点 Q 的坐标是(
2



A. (?4 6, ?2)

B. (?4 6, 2)

C. (?7 2, ? 2)

D. (?7 2, 2)

12.设集合 A ? [0,1), B ? [1,2] ,函数 f (x) ? ? 则

2 x , ( x ? A), 4 ? 2 x, ( x ? B), x0 ? A, 且 f [ f ( x0 )]? A,

x0 的取值范围是 (
3 B.[0, 4 ]

)

2 ,1 A.( 3 )

C.(

log 2

3 ,1 2 )

D.(

log3 2,1 )

第Ⅱ卷(非选择题 90 分) 二.填空题(本题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 把每小题的答案填在答题纸的 相应位置) 13.设点 A(2, ?3) , B(?3, ?2) ,直线 l 过点 P(1,1) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是 .

14.经调查某地若干户家庭的年收入 x (万元)和年饮食支出 得 到

y (万元)具有线性相关关系,并

? y 关于 x 的线性回归直线方程: y =0.254 x +0.321,

由回归直线方程可知, 家庭年收入每增 加 l 万元.年饮食支出平均增加 __________ 万元. 15. 如图,在等腰梯形 ABCD 中,AB=2DC=2,∠DAB=60°, E 为 AB 的中点,将△ADE 与△BEC 分别沿 ED、EC 向上 折起,使 A、B 重合于点 P,则 P-DCE 三棱锥的外接球的 体积为________.

已知等差数列 设

{an } 的首项 a1 及公差 d 都是整数,前 n 项和为 S n ,若 a1 ? 1, a4 ? 3, S3 ? 9 ,


bn ? 2n an , 则b1 ? b2 ? ? ? bn 的结果为

三、解答题(共 6 个题, 共 70 分,把每题的解答过程填在答卷纸的相应位置) 17. ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知

?

n 为 锐 角 , 且 t a? ?

2 ?1 , 函 数

f ( x) ? 2 x t a 2? ? s i 2?(? n n

?

) 4 ,数列{ an }的首项 a1 ? 1 , an?1 ? f (an ) .

(Ⅰ)求函数 f (x) 的表达式; (Ⅱ)求数列

{an } 的前 n 项和 S n .

3

18.(本题满分 12 分)今年雷锋日,某中学从高中三个年级选派 4 名教师和 20 名学生去当 雷锋 志愿者,学生的名额分配如下: 高一年级 10 人 高二年级 6人 高三年级 4人

(I)若从 20 名学生中选出 3 人参加文明交通宣传,求他们中恰好有 1 人是高一年级学生的 概率; (II)若将 4 名教师安排到三个年级(假设每名教师加入各年级是等可能的,且各位教师的 选择 是相互独立的) ,记安排到高一年级的教师人数为 X ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,PA⊥底面 ABCD,且 PA=AB,M、N 分别是 PA、BC 的中 点. (I)求证:MN∥平面 PCD; (II)在棱 PC 上是否存在点 E,使得 AE⊥平面 PBD?若存在,求出 AE 与 平面 PBC 所成角的正弦值,若不存在,请说明理由.

? 1? 20.(本小题满分 12 分)如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P 1,2 到抛物线 C:y2=2px(p>0) ? ?
5 的准线 的距离为4.点 M(t,1)是 C 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值.

4

a f ( x) ? (1 ? )e x ( x ? 0) x 21. (本小题满分 12 分)已知函数 ,其中 e 为自然对数的底数.
(Ⅰ)当 a ? 2 时,求曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线与坐标轴围成的面积;
5 (Ⅱ)若函数 f ( x ) 存在一个极大值点和一个极小值点,且极大值与极小值的积为 e ,求 a

的值.

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时用 2B 铅笔在答题纸上把所选题号涂黑. 22.(本小题满分 10 分) 《选修 4—1:几何证明选讲》 如图,直线 AB 过圆心 O ,交⊙ O 于 A, B ,直线 AF 交⊙ O 于 F (不与 B 重合),直线 l 与⊙ O 相切于 C ,交 AB 于 E ,且与 AF 垂直,垂足为 G ,连结 AC . 求证:(1) ?BAC ? ?CAG ;
2 (2) AC ? AE ? AF .

23.(本小题满分 10 分) 《选修 4—4:坐标系与参数方程》

? x ? 2cos ? ? C y ? 2 ? 2sin ? ( ? 为参数) M 是 C1 上的动 在直角坐标系 xoy 中,曲线 1 的参数方程为 ?
5

点, P 点满足 OP ? 2OM , P 点的轨迹为曲线 (1)求

??? ?

???? ?

C2 .

C2 的方程;

(2)在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 为 A ,与

??

?
3 与 C1 的异于极点的交点

C2 的异于极点的交点为 B ,求 AB .

24.(本小题满分 10 分) 《选修 4—5:不等式选讲》 设函数

f ? x ? ? x ? a ? 3x

,其中 a ? 0 .

f ? x ? ? 3x ? 2 (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 的解集;
(Ⅱ)若不等式

f ? x? ? 0

的解集为

?x | x ? ?1?

,求 a 的值.

包头一中第二次模拟考试 高三年级数学(理科)答案 一、选择题: CDCBA BDADA 二、填空题

CC

k?
13.

3 4 或 k ? ?4

14. 0.254

15.

6? 8

16. n ? 2

n ?1

三、解答题 17. (本小题满分 12 分)

tan2? ?
解:⑴ 又∵ ? 为锐角

2 tan? 2( 2 ? 1) ? ?1 2 1 ? tan ? 1 ? ( 2 ? 1) 2

2? ?


?
4


f ( x) ? 2 x ? 1


???5 分

(2) ∵ ∵ a1 ? 1

an?1 ? 2an ? 1,
∴数列

an?1 ? 1 ? 2(an ? 1)

?an ? 1?是以
?9 分

2 为首项,2 为公比的等比数列。 可得

an ? 1 ? 2 n ,∴

an ? 2 n ? 1 ,
6



Sn ?

2(1 ? 2 n ) ? n ? 2 n ?1 ? n ? 2 1? 2

????12 分

18. (本小题满分 12 分)

P? A? ?
解: (I)设“他们中恰好有 1 人是高一年级学生”为事件 A ,则

1 2 C10 C10 15 ? 3 38 C20

答: 若从选派的学生中任选 3 人进行文明交通宣传活动, 他们中恰好有 1 人是高一年级学生

15 的概率为 38 . …………4 分
(II)解法 1: ? 的所有取值为 0,1,2,3,4.由题意可知,每位教师选择高一年级的概率

1 均为 3 .所以………6 分

16 ?1? ? 2? P?? ? 0? ? C ? ? ? ? ? 81 ; ? 3? ? 3?
0 4

0

4

32 ?1? ? 2? P?? ? 1? ? C ? ? ? ? ? 81 ; ? 3? ? 3?
1 4 3 1

1

3

24 8 8 ?1? ? 2? 3? 1? ? 2 ? P?? ? 2? ? C ? ? ? ? ? ? P?? ? 3? ? C4 ? ? ? ? ? 81 27 ; ? 3? ? 3? ? 3 ? ? 3 ? 81 ;
2 4

2

2

1 ?1? ? 2? P?? ? 4? ? C ? ? ? ? ? 81 . ? 3? ? 3?
4 4

4

0

…………10 分

随机变量 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

4

16 81

32 81

8 27

8 81

1 81

E? ? 0 ?

16 32 24 8 1 4 ? 1? ? 2? ? 3? ? 4 ? ? 81 81 81 81 81 3 ……12 分

1 解法 2:由题意可知,每位教师选择高一年级的概率均为 3 . …………………5 分 1 1 B(4, ) 3 .……………7 分 则随机变量 ? 服从参数为 4, 3 的二项分布,即 ? ~
随机变量 ? 的分布列为:

7

?
P

0

1

2

3

4

16 81 1 4 ? 3 3

32 81

8 27
……12 分

8 81

1 81

E? ? np ? 4 ?
所以

19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:取 PD 中点为 F,连结 FC,MF.

MF ? AD, MF ?


1 1 AD NC / / AD, NC ? AD 2 2 , .

∴四边形 MNCF 为平行四边形,?????3 分 ∴ MN / / FC ,又 FC ? 平面 PCD ,????5 分 ∴ MN ∥ 平 面 分 (Ⅱ)以 A 为原点,AB、AD、 空间直角坐标系.设 AB=2,则 P(0,0,2),C(2,2,0), 设 PC 上 一 点 E 坐 标 为 即 ( x, y, z ? 2) ? ? (2, 2, ?2) , 则 PCD. ????????6 AP 分别为 x、y、z 轴建立 B(2,0,0),D(0,2,0),

??? ? ??? ? ( x, y, z ) , PE ? ? PC ,

E (2? , 2? , 2 ? 2? ) .??????7 分

??? ??? ? ? ? AE ?PB ? 0 ? 1 ? ? ? ??? ??? ?? ? AE ?PD ? 0 ,解得 2. 由? ??? ? AE ? (1,1,1) .??????9 分 ∴
作 AH⊥ PB 于 H,∵BC⊥平面 PAB,∴BC⊥AH,

???? 1 ??? ??? ? ? ???? AH ? ( AB ? AP) ? (1, 0,1) 2 ∴AH⊥平面 PBC,取 AH 为平面 PBC 的法向量.则 ,

???? ??? ? ? , AH , AE 的夹角为 ? ,则 ∴设 AE 与平面 PBC 所成角为 ???? ??? ? AH ?AE 2 6 ? sin ? ?| cos ? |? ???? ???? ? ? 3 .????12 分 | AH |? AE | | 3 2

8

20. (本小题满分 12 分)

?2pt=1, ?p=1, ? ? 2 解: (1)由题意知? 得? ????4 分 p 5 ?1+2=4, ?t=1. ? ?
(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m),

由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).
? 1 ?y2=x1, 由? 得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2. ? 2 ?y2=x2,

故 k· 2m=1. 1 所以直线 AB 方程为 y-m=2m(x-m),即 x-2my+2m2-m=0. ????6 分
? ?x-2my+2m2-m=0, 由? 消去 x,整理得 y2-2my+2m2-m=0, ?y2=x ?

所以 Δ=4m-4m2>0,y1+y2=2m,y1· y2=2m2-m. 从而|AB|= 1 1+k2· |y1-y2|= 1+4m2· 4m-4m2.????8 分

|1-2m+2m2| 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= . 1+4m2 1 设△ABP 的面积为 S,则 S=2|AB|· d=|1-2(m-m2)|· m-m2. 由 Δ=4m-4m2>0,得 0<m<1. 1 令 u= m-m2,0<u≤2,则 S=u(1-2u2), 1 设 S(u)=u(1-2u2),0<u≤2,则 S′ (u)=1-6u2. 1? 6 ? 6 ? 6? 由 S′ (u)=0 得 u= 6 ∈ 0,2 ,所以 S(u)max=S? ?= 9 . ? ? ?6? 6 故△ABP 面积的最大值为 9 .????12 分 21.(本小题满分 12 分) ????9 分

f ?( x) ?
解: (Ⅰ)

x 2 ? ax ? a x e x2 ,

????2 分

9

当 a ? 2 时,

f ?( x) ?

x2 ? 2 x ? 2 x e x2 ,

f ?(1) ?

1? 2 ? 2 1 ?e ? e 12 , f (1) ? ?e ,

所以曲线 y ? f ( x) 在 (1, f (1)) 处的切线方程为 y ? ex ? 2e ,??????4 分 切线与 x 轴、 y 轴的交点坐标分别为 ( 2, 0) , (0, ?2e) , ??????5 分

1 ? 2 ? ?2e ? 2e 所以,所求面积为 2 .

????6 分

(Ⅱ)因为函数 f ( x) 存在一个极大值点和一个极小值点, 所以,方程 x ? ax ? a ? 0 在 (0, ??) 内存在两个不等实根,?????7 分
2

?? ? a 2 ? 4a ? 0, ? a ? 0. 则?
所以 a ? 4 . 设 ????9 分

????8 分

x1 , x2 为函数 f ( x ) 的极大值点和极小值点,则
????10 分

x1 ? x2 ? a , x1 x2 ? a ,
因为,

f ( x1 ) f ( x2 ) ? e5 ,
x1 ? a x1 x2 ? a x2 e ? e ? e5 x1 x2 所以, ,??????11 分
2 2 x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 x1 ? x2 e ? e5 a ? a ? a ea ? e5 x1 x2 a 即 , ,

e a ? e5 ,
解得, a ? 5 ,此时 f ( x ) 有两个极值点,所以

a ? 5 . ??????12 分
22.【证明】(1)连结 BC,∵AB 是直径, ∴∠ACB=90°,∴∠ACB=∠AGC=90°.

10

∵GC 切⊙O 于 C,∴∠GCA=∠ABC. ∴∠BAC=∠CAG. 。。。。。。。。。。。。。。。 分 。。。。。。。。。。。。。。。5 (2)连结 CF,∵EC 切⊙O 于 C, ∴∠ACE=∠AFC. 又∠BAC=∠CAG, ∴△ACF∽△AEC.

AC AF ? ∴ AE AC ,∴AC2=AE·AF. 。。。。。。。。。 。。。。。。。。。10 分

? x y? 23.解:(1)设 P(x,y),则由条件知 M 2,2 , ? ?

?2=2cosα , 由于 M 点在 C1 上,所以? y ?2=2+2sinα .
x
?x=4cosα , ? 则 C2 的参数方程为? (α 为参数) 。。。。5 分 。。。 ? ?y=4+4sinα .

(2)曲线 C1 的极坐标方程为ρ =4sinθ ,曲线 C2 的极坐标方程为ρ =8sinθ . π π 射线θ = 3 与 C1 的交点 A 的极径为ρ 1=4sin 3 , π π 射线θ = 3 与 C2 的交点 B 的极径为ρ 2=8sin 3 . 所以|AB|=|ρ 2-ρ 1|=2 3.。。。。。。10 分 。。。。。 24.解: (Ⅰ)当 a ? 1 时,

f ( x) ? 3x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 .由此可得
故不等式

x ? 3 或 x ? ?1 .

f ? x ? ? 3x ? 2

的解集为

?x | x ? 3或x ? ?1? .。。。。。。 分 。。。。。。5

(Ⅱ) 由 f ( x) ? 0 得

x ? a ? 3x ? 0
?x ? a ? a ? x ? 3x ? 0 或?

?x ? a ? x ? a ? 3x ? 0 此不等式化为不等式组 ?
?x ? a ? ? a ?x ? 4 即 ? ?x ? a ? ? a ?x ? ? 2 或?

a? ? ?x | x ? ? ? 2? 因为 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 ?
11

a ? ?1 由题设可得 2 ,故 a ? 2 ?

.。。。。。。10 分 。。。。。

12


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