【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 板块命题点专练(十)推理与证明(含解析)

板块命题点专练(十)

推理与证明

(研近年高考真题——找知识联系，找命题规律，找自身差距)

命题点一 合情推理与演绎推理 难度：中、低

命题指数：☆☆☆ 题型：选择题、填空题

1．(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据： 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F，V，E 所满足的等式是____________． 2．(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市． 由此可判断乙去过的城市为________． 3． (2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数． 如三角形数 1,3,6,10，…，第 n 个三角形数为

n?n＋1? 1
2

1 2 ＝ n ＋ n.记第 n 个 k 边形数为 N(n，k)(k≥3)， 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式： 1 2 1 三角形数 N(n,3)＝ n ＋ n， 2 2 正方形数 N(n,4)＝n ， 3 2 1 五边形数 N(n,5)＝ n － n， 2 2 六边形数 N(n,6)＝2n －n， …… 可以推测 N(n，k)的表达式，由此计算 N(10,24)＝________. 命题点二 直接证明与间接证明 命题指数：☆☆☆☆☆ 难度：高、中题型：解答题
2 2

1．(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n 项和 Sn＝

3n －n * ，n∈N . 2

2

1

(1)求数列{an} 的通项公式； (2)证明：对任意的 n>1，都存在 m∈N ，使得 a1，an，am 成等比数列． 2．(2014·北京高考)如图，在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC ＝2，BC＝1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点．
*

(1)求证：平面 ABE⊥平面 B1BCC1 ； (2)求证：C1F∥平面 ABE ； (3)求三棱锥 E?ABC 的体积．

答

案

命题点一 1．解析：三棱柱中 5＋6－9＝2；五棱锥中 6＋6－10＝2；立方体中 6＋8－12＝2，由此 归纳可得 F＋V－E＝2. 答案：F＋V－E＝2 2．解析：由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市，乙去过 A 城市或 C 城市，结合乙 的回答可得乙去过 A 城市． 答案：A 1 2 1 3．解析：由 N(n,3)＝ n ＋ n， 2 2

N(n,4)＝ n2＋ n，
3n －1 N(n,5)＝ ＋ n， 2 2
2

2 2

0 2

N(n,6)＝ n2＋

4 2

－2 n， 2

? ? 2 ? ? 2 推测 N(n，k)＝? －1?n －? －2?n，k≥3.从而 N(n,24)＝11n －10n， ?2 ? ?2 ?
k k N(10,24)＝1 000.
答案：1 000 命题点二

2

3n －n 1．解：(1)由 Sn＝ ，得 a1＝S1＝1， 2 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝3n－2， 当 n＝1 时也适合． 所以数列{an}的通项公式为：an＝3n－2. (2)证明：要使得 a1，an，am 成等比数列， 只需要 an＝a1·am， 即(3n－2) ＝1·(3m－2)， 即 m＝3n －4n＋2，而此时 m∈N ，且 m>n. 所以对任意的 n>1，都存在 m∈N ，使得 a1，an，am 成等比数列． 2．解：(1)证明：在三棱柱 ABC?A1B1C1 中，
* 2 * 2 2

2

BB1⊥底面 ABC.
所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC，

BB1∩BC＝B，
所以 AB⊥平面 B1BCC1. 又 AB? 平面 ABE. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明：取 AB 中点 G，连结 EG，FG. 因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点， 1 所以 FG∥AC，且 FG＝ AC. 2 因为 AC∥A1C1，且 AC＝A1C1， 所以 FG∥EC1，且 FG＝EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形． 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE，C1F?平面 ABE， 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1＝AC＝2，BC＝1，AB⊥BC， 所以 AB＝ AC －BC ＝ 3. 所以三棱锥 E?ABC 的体积
2 2

V＝ S△ABC·AA1＝ × × 3×1×2＝

1 3

1 3

1 2

3 . 3

3