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【三维设计】(新课标)2016届高考数学大一轮复习 板块命题点专练(十)推理与证明(含解析)

板块命题点专练(十)

推理与证明

(研近年高考真题——找知识联系,找命题规律,找自身差距)

命题点一 合情推理与演绎推理 难度:中、低

命题指数:☆☆☆ 题型:选择题、填空题

1.(2014·陕西高考)观察分析下表中的数据: 多面体 三棱柱 五棱锥 立方体 面数(F) 5 6 6 顶点数(V) 6 6 8 棱数(E) 9 10 12

猜想一般凸多面体中 F,V,E 所满足的等式是____________. 2.(2014·新课标全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A,B,C 三个城市时, 甲说:我去过的城市比乙多,但没去过 B 城市; 乙说:我没去过 C 城市; 丙说:我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为________. 3. (2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数. 如三角形数 1,3,6,10,…,第 n 个三角形数为

n?n+1? 1
2

1 2 = n + n.记第 n 个 k 边形数为 N(n,k)(k≥3), 2 2

以下列出了部分 k 边形数中第 n 个数的表达式: 1 2 1 三角形数 N(n,3)= n + n, 2 2 正方形数 N(n,4)=n , 3 2 1 五边形数 N(n,5)= n - n, 2 2 六边形数 N(n,6)=2n -n, …… 可以推测 N(n,k)的表达式,由此计算 N(10,24)=________. 命题点二 直接证明与间接证明 命题指数:☆☆☆☆☆ 难度:高、中题型:解答题
2 2

1.(2014·江西高考)已知数列{an} 的前 n 项和 Sn=

3n -n * ,n∈N . 2

2

1

(1)求数列{an} 的通项公式; (2)证明:对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 2.(2014·北京高考)如图,在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC =2,BC=1,E,F 分别是 A1C1,BC 的中点.
*

(1)求证:平面 ABE⊥平面 B1BCC1 ; (2)求证:C1F∥平面 ABE ; (3)求三棱锥 E?ABC 的体积.





命题点一 1.解析:三棱柱中 5+6-9=2;五棱锥中 6+6-10=2;立方体中 6+8-12=2,由此 归纳可得 F+V-E=2. 答案:F+V-E=2 2.解析:由甲、丙的回答易知甲去过 A 城市和 C 城市,乙去过 A 城市或 C 城市,结合乙 的回答可得乙去过 A 城市. 答案:A 1 2 1 3.解析:由 N(n,3)= n + n, 2 2

N(n,4)= n2+ n,
3n -1 N(n,5)= + n, 2 2
2

2 2

0 2

N(n,6)= n2+

4 2

-2 n, 2

? ? 2 ? ? 2 推测 N(n,k)=? -1?n -? -2?n,k≥3.从而 N(n,24)=11n -10n, ?2 ? ?2 ?
k k N(10,24)=1 000.
答案:1 000 命题点二

2

3n -n 1.解:(1)由 Sn= ,得 a1=S1=1, 2 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-2, 当 n=1 时也适合. 所以数列{an}的通项公式为:an=3n-2. (2)证明:要使得 a1,an,am 成等比数列, 只需要 an=a1·am, 即(3n-2) =1·(3m-2), 即 m=3n -4n+2,而此时 m∈N ,且 m>n. 所以对任意的 n>1,都存在 m∈N ,使得 a1,an,am 成等比数列. 2.解:(1)证明:在三棱柱 ABC?A1B1C1 中,
* 2 * 2 2

2

BB1⊥底面 ABC.
所以 BB1⊥AB. 又因为 AB⊥BC,

BB1∩BC=B,
所以 AB⊥平面 B1BCC1. 又 AB? 平面 ABE. 所以平面 ABE⊥平面 B1BCC1. (2)证明:取 AB 中点 G,连结 EG,FG. 因为 E,F 分别是 A1C1,BC 的中点, 1 所以 FG∥AC,且 FG= AC. 2 因为 AC∥A1C1,且 AC=A1C1, 所以 FG∥EC1,且 FG=EC1. 所以四边形 FGEC1 为平行四边形. 所以 C1F∥EG. 又因为 EG? 平面 ABE,C1F?平面 ABE, 所以 C1F∥平面 ABE. (3)因为 AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, 所以 AB= AC -BC = 3. 所以三棱锥 E?ABC 的体积
2 2

V= S△ABC·AA1= × × 3×1×2=

1 3

1 3

1 2

3 . 3

3


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