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高中数学圆的极坐标----包头市二0二闫火军


1.3简单曲线的极坐标方程
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包头市二0二中学----闫老 师

如图,在极坐标系下半径为a的圆 的圆心坐标为(a,0)(a>0),你能用 一个等式表示圆上任意一点的极 坐标(?,?)满足的条件?
M

探 究

O

C(a,0)

x

曲线的极坐标方程
一、定义:如果曲线C上的点与方程 f(?,?)=0有如下关系 (1)曲线C上任一点的坐标(所有坐标中 至少有一个)符合方程f(?,?)=0 ; (2)方程f(?,?)=0的所有解为坐标的点 都在曲线C上。 则曲线C的方程是f(?,?)=0 。

例1、已知圆O的半径为r,建立怎 样的坐标系,可以使圆的极坐标 方程更简单?

探究思考
( 例2 已知圆M的坐标为 ?0 ,?0 ),半径为r,建立 适当的坐标系,求圆的极坐标方程。

求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为r;

?=r

(2)中心在C(a,0),半径为a; (3)中心在(a,?/2),半径为a; (4)中心在C(a,?0),半径为a

?=2acos ?
?=2asin ?

?=2a cos(? ? ?0 )

圆 心 的 极 径 与 圆 的 半 径 相 等

探究思考
( 例2 已知圆M的坐标为 ?0 ,?0 ),半径为r,建立 适当的坐标系,求圆的极坐标方程。
P

? ?0
?0
O

r

M

?

x

所求圆的极坐标方程为:

? 2 ? 2 ? 0 ? cos( ? ? 0 ) ? ? 02 ? r 2 ? 0 ?
特别地,当? 0 ? 0时,此时圆心位于极点 ,圆的极坐标 方程为? ? r,亦满足上面的方程。

练习:说明下列极坐标方程表示什么曲线 (1) ?=2cos(? (2) (3)

?
4

)

?=cos( -? )
3

?

?=3 sin ? (4)   ?=6

练习
以极坐标系中的点(1,1)为圆心,1为 半径的圆的方程是

C

? ?? A.? ? 2cos ? ? ? ? 4? ? C.? ? 2cos ?? ? 1?

? ?? B.? ? 2sin ? ? ? ? 4? ? D.? ? 2sin ?? ? 1?

例1: 极坐标方程分别是ρ=cosθ和

ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少

2 2

练习: 1、曲线的极坐标方程?=4sin ? 化为直角坐标

2 2 方程_________

x ? ( y ? 2) ? 4
?

2.曲线极坐标方程?cos(? -

6 标方程_________

)=1化为直角坐

3 ? y?2 ? 0 x

例2: (1)直角坐标方程x ? y ? 2 x ? 3 y ? 0的极坐标
2 2

方程为_______ ? ? -2? cos


? 3? sin ? ? 0

(2)直角坐标方程2 x-y+1? 0的极坐标 方程为_______ 2 cos ? 方程为_______ (4)直角坐标方程x ?3的极坐标 方程为_______

?

? ? sin ? ? 1 ? 0

(3)直角坐标方程x 2 ? y 2 ?9的极坐标

? ?3

? cos ? ? 3

例3: 已知一个圆的方程是?=5 3 cos ? ? 5sin ? 求圆心坐标和半径。

解:?=5 3 cos? ? 5 sin ?两边同乘以?得

? =5 3? cos?-5? sin ?即化为直角坐标为
2

x ? y ? 5 3x ? 5 y
2 2

5 3 2 5 2 化为标准方程是 x ? ( ) ? ( y ? ) ? 25 2 2 5 3 5 所以圆心为 ( ,? ),半径是5 2 2


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