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2017_2018版高中数学第三章函数的应用3.4.2函数模型及其应用学案苏教版必修1

3.4.2 学习目标 函数模型及其应用 1.理解函数模型的概念和作用.2.能用函数模型解决简单的实际问题.3.了解建 立拟合函数模型的思想和步骤,并了解检验和调整的必要性. 知识点一 函数模型 思考 自由落体速度公式 v=gt 是一种函数模型.类比这个公式的发现过程,说说什么是函 数模型?它怎么来的?有什么用? 梳理 设自变量为 x,函数为 y,并用 x 表示各相关量,然后根据问题的已知条件,运用已掌 握的数学知识、物理知识及其他相关知识建立函数关系式,将实际问题转化为数学问题,实 现问题的数学化,即所谓建立数学模型. 知识点二 用函数模型解决实际问题 (1)解答应用问题的基本思想 (2)解答应用问题的程序概括为“四步八字”,即 ①审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择模型; ②建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识,建立相 应的数学模型; ③求模:求解数学模型,得出数学结论; ④还原:将数学结论还原为实际应用问题的结论. 1 知识点三 数据拟合 思考 1 我们知道不同的身高需要坐不同高度的桌椅,但你知道任一确定的身高对应的桌椅 的最佳高度吗?如何解决? 梳理 现实世界中的事物都是相互联系、相互影响的,反映事物变化的变量之间就存在着一 定的关系.这些关系的发现,通常是通过试验或实验测定得到一批数据,再经过分析处理得 到的. 数据拟合就是研究变量之间这种关系, 并给出近似的数学表达式的一种方法, 根据拟合模型, 我们还可以对某变量进行预测或控制. 此类题的解题过程一般有如下五步: (1)作图:即根据已知数据,画出散点图; (2)选择函数模型:一般是根据散点图的特征,联想哪些函数具有类似图象特征,找几个比较 接近的函数模型尝试; (3)求出函数模型:求出(2)中找到的几个函数模型的解析式; (4)检验:将(3)中求出几个函数模型进行比较、验证,得出最合适的函数模型; (5)利用所求出的函数模型解决问题. 思考 2 数据拟合时,得到的函数为什么要检验? 2 类型一 利用已知函数模型求解实际问题 例 1 某列火车从北京西站开往石家庄,全程 277 km.火车出发 10 min 开出 13 km 后,以 120 km/h 的速度匀速行驶.试写出火车行驶的总路程 S 与匀速行驶的时间 t 之间的关系,并求火 车离开北京 2 h 内行驶的路程. 反思与感悟 在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是已知函数模型,这时可借助 待定系数法求出函数解析式.再根据解题需要研究函数性质. 3 跟踪训练 1 如图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米.则水位 下降 1 米后,水面宽________米. 类型二 自建确定性函数模型解决实际问题 命题角度 1 非分段函数模型 例 2 某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品,其生产的总成本 y(万元)与年产量 x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为 y= -48x+8 000,已知此生产线年产量最大为 5 210 吨.若每吨产品平均出厂价为 40 万元,那么当年产量为多少吨时,可以获得最大利润? 最大利润是多少? x2 反思与感悟 自建模型时主要抓住四个关键:“求什么,设什么,列什么,限制什么”. 求什么就是弄清楚要解决什么问题,完成什么任务. 设什么就是弄清楚这个问题有哪些因素,谁是核心因素,通常设核心因素为自变量. 列什么就是把问题已知条件用所设变量表示出来,可以是方程、函数、不等式等. 限制什么主要是指自变量所应满足的限制条件,在实际问题中,除了要使函数式有意义外, 4 还要考虑变量的实际含义,如人不能是半个等. 跟踪训练 2 有甲、 乙两种商品, 经营销售这两种商品所获得的利润依次为 Q1 万元和 Q2 万元, 1 3 它们与投入的资金 x 万元的关系是 Q1= x,Q2= x.现有 3 万元资金投入使用,则对甲、乙 5 5 两种商品如何投资才能获得最大利润? 命题角度 2 分段函数模型 例 3 某旅游点有 50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日 115 元.根据 经验,若每辆自行车的日租金不超过 6 元,则自行车可以全部租出;若超过 6 元,则每提高 1 元,租不出去的自行车就增加 3 辆. 旅游点规定: 每辆自行车的日租金不低于 3 元并且不超过 20 元, 每辆自行车的日租金 x 元只 取整数, 用 y 表示出租所有自行车的日净收入. (日净收入即一日中出租的所有自行车的总收 入减去管理费用后的所得) (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)试问日净收入最多时每辆自行车的日租金应定为多少元?日净收入最多为多少元? 5 反思与感悟 自变量 x 按取值不同, 依不同的对应关系对应应变量 y 是分段函数的典例特征, 建立分段函数模型时应注意: (1)分段函数的“段”一定要分得合理,不重不漏. (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集. (3)分段函数的值域求法为:逐段求函数值的范围,最后比较再下结论. 跟踪训练 3 学校某研究性学习小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中,发现其在 40 min 的一节课中,注意力指数 y 与听课时间 x(单位:min)之间的关系满足如图所示的图 象.当 x∈(0,12]时,图象是二次函数图象的一部分,其中顶点 A(10,80),过点 B(12,78); 当 x∈[12,40]时,图象是线段 BC,其中 C(40,50).根据专家研究,当注意力指数大于 62 时, 学习效果最佳. (1)试求 y=f(x)的函数关系式; (2)教师在什么时段内安排核心内容,能使得学生学习效果最佳?请说明理由. 6 1.从 2013 年起,在 20 年内某海滨城市力争使全市工农业生产总产值翻两番,如果每年的增 长率是 8%,则达到翻两番目标的最少年数为________. 2.某同学最

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