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【世纪金榜】人教版2016第一轮复习理科数学教师用书配套 7.6


第六节

空间向量及其运算

【知识梳理】 1.必会知识 教材回扣 填一填

(1)空间向量的有关概念: 名 称 定 义 大小 和_____ 方向 的量叫作空间向量,其大 在空间中,具有_____ 长度 或___ 模 小叫作向量的_____

空间向量 自由向量

起点 无关的向量 与向量的_____
1 的向量 长度或模为__ a
|a| (非零向量a的单位向量a0=___)

单位向量
零向量

0 的向量 长度为__





相等向量 相反向量

义 相同 且模_____ 相等 的向量 方向_____ 相反 而___ 模 相等的向量 方向_____ 过空间任意一点O作向量a,b的相等向量 OA 和 OB ,则 ∠AOB 叫作向量a,b的夹角,记作______, <a,b> 范围是[0,π ] ______



向量a,b的 ? a⊥ b 夹角 ①当<a,b>= 时,记作_____; 2 a∥ b ②当<a,b>=0或π 时,记作_____ 平行向量 共面向量

互相平行 或 如果表示空间向量的有向线段所在的直线_________ 重合 则这些向量叫作_________ 共线向量 或_________ 平行向量 _____,

平面 的向量 平行于同一_____









直线的方向 向量 向量 AB 平行的任意非零向量a也是直线l的方向向量) (与____

AB 为直线l的方向 若A,B是空间直线l上任意两点,则称___

垂直于 平面α ,那么把直线l的方向向量a叫 如果直线l_______

法向量

作平面α 的法向量 平行 的非零向量都是平面α 的法向量) (所有与直线l_____

(2)空间向量的加、减、数乘运算: 空间向量的加、减、数乘运算是平面向量运算的推广. 如图,设a,b是空间任意两向量,若 OA ? AC ? a,AB ? b, P∈OC, a+ b ①加法: OB ? OA ? AB =____. a- b ②减法: BC ? AC ? AB =____. λ a λ ∈R). ③数乘: OP =____(

④空间向量加法、数乘运算满足的运算律: b+ a (ⅰ)交换律:a+b=____. a+(b+c) (ⅱ)结合律:(a+b)+c=________.

(λ μ )a λ ∈R,μ ∈R). λ (μ a)=________(
λ a+λ b λ ∈R). (ⅲ)分配律:λ (a+b)=________(

(3)共线向量定理与共面向量定理:
①共线向量定理:空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实 a= λ b 数λ ,使得______. 不共线 那么向量p与向量a,b共 ②共面向量定理:如果两个向量a,b_______, p=xa+yb 面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使________.

(4)空间向量的数量积及运算律:
∠AOB
〈a,b〉

0≤<a,b>≤π

λ (a·b)

a·(λ b) b· a

a·b+a·c

2.必用技法核心总结

看一看

(1)常用方法:利用共线向量定理、空间向量定理证明一些平行、共面 的问题的方法;利用数量积运算解决一些距离(长度)、夹角问题的方 法.

(2)数学思想:数形结合思想、转化与化归思想和函数与方程思想.

【小题快练】

1.思考辨析

静心思考

判一判
( ) ( ( ) )

(1)空间中任意两非零向量a,b共面.

(2)对于任意两个空间向量a,b,若a·b=0,则a⊥b. (3)在向量的数量积运算中(a·b)·c=a·(b·c). (4)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c.( (5)若a·b>0,则<a,b>是锐角. ( ) )

【解析】(1)正确.由于向量可平移,因此空间任意两向量都可平移到

同一起点,故空间任意两非零向量共面.
(2)错误.若a与b是非零向量,才有a·b=0?a⊥b. (3)错误.因为两个向量的数量积的结果是数量而不是向量 ,(a·b)·c =λc,a·(b·c)=μa,故(a·b)·c与a·(b·c)不一定相等. (4)错误.根据向量数量积的几何意义,a·b=b·c说明a在b方向上的 投影与c在b方向上的投影相等,而不是a=c.

(5)错误.a·b>0,则<a,b>∈[0, ), 即<a,b>可能为0,也就是a与b同向. 答案:(1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×

? 2

2.教材改编

链接教材

练一练

(1)(选修2-1P30例1改编)如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC与BD的 交点为点M,设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? c, 则下列向量中与 C1M 相等的向量 是( )
1 1 A.- a+ b+c 2 2 B. 1 a+ 1 b+c 2 2 1 1 C.- a- b-c 2 2 D.- 1 a- 1 b+c 2 2

【解析】选C. C1M ? C1C ? CM
1 1 ? ?AA1 ? AC ? ?AA1 ? (AB ? AD) 2 2 1 1 1 1 ? ? AB ? AD ? AA1 ? ? a ? b ? c. 2 2 2 2

(2)(选修2-1P28习题2-1B组T1改编)如图,在正方体ABCD-A′B′C′D′ 中〈 AD,A?C? 〉=______,〈 AD?,CD? 〉=_______.

【解析】因为A′C′∥AC,
所以〈AD,A?C? 〉=〈 AD,AC 〉=45°. 又因为△ACD′是等边三角形,所以〈 AD?,CD? 〉=60°. 答案:45° 60°

3.真题小试

感悟考题

试一试

(1)(2015·西安模拟)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为上底面A1C1
的中心,若 AE ? AA1 ? xAB ? yAD, 则x,y的值分别为(
A.x ? 1, y ? 1 1 1 C.x ? , y ? 2 2 B.x ? 1, y ? 1 2 1 D.x ? , y ? 1 2
2

)

1 【解析】选C.如图, AE ? AA1 ? A1E ? AA1 ? A1C1 ? 1 AA1 ? (AB ? AD). 2

(2)(2015·合肥模拟)在空间四边形ABCD中,AB CD ? AC DB ? AD BC =( A.-1 ) B.0 C.1 D.不确定

【解析】选B.如图,空间四边形ABCD可看作三棱锥 A-BCD,不妨令其各棱长都相等,即为正四面体, 因为正四面体的对棱互相垂直,所以 AB CD ? 0,
AC DB ? 0,AD BC ? 0,

所以 AB CD ? AC DB ? AD BC ? 0.

考点1

空间向量的线性运算

【典例1】(1)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AC ? xAB ? 2yBC ? 3zC C, 1 1 则x+y+z等于_________.

(2)如图所示,在空间几何体ABCD-A1B1C1D1中,各面为平行四边形,设
M,N,P分别是AA1,BC,C1D1的中点,试用a,b,c表 AA1=a, AB =b , AD=c,

示以下各向量:
① AP; ② MP ? NC1.

【解题提示】(1)根据线性运算的法则把 AC1 用 AB, BC, C C 表示,然
1

后根据对应的系数相等求出x,y,z. (2)利用三角形法则或多边形法则把待表示向量用其他向量表示 ,逐渐 向向量a,b,c靠拢.

【规范解答】(1)因为 AC1 ? AB ? BC ? CC1 ,

又 AB, BC,C1C 不共面,
所以x=1,2y=1,3z=-1,
1 ,z=- 1 , 2 3 1 1 所以x+y+z=1+ - = 7 . 2 3 6 7 答案: 6

所以x=1,y=

(2)①因为P是C1D1的中点,

所以 AP=AA1+A1D1+D1P=a+AD+ 1 D1C1
1 1 =a+c+ AB =a+c+ b. 2 2 2

②因为M是AA1的中点, 所以 MP=MA+AP= 1 A1A+AP=- 1 a+(a+c+ 1 b)= 1 a+ 1 b+c.
2 2 2 2 2

又 NC1=NC+CC1= BC+AA1= AD+AA1= c+a,

1 2

1 2

1 2

所以 MP+NC =( 1 a+ 1 b+c)+(a+ 1 c)= 3 a+ 1 b+ 3 c. 1
2 2 2 2 2 2

【互动探究】在例(2)的条件下,若 AE= 1 EC, A1F =2FD,试用a,b,c
2

表示 EF ,则结果如何? 【解析】如图,连接AF, 则 EF =EA +AF. 由已知ABCD是平行四边形, 故 AC =AB +AD =b+c,
A1D=A1A+AD=-a+c.

1 1 EA =- AC =- ? b+c ?, 又 3 3

由已知 A1F=2FD, 所以 AF =AD +DF =AD -FD
1 1 1 =AD- A1D=c- (c-a)= ? a+2c ?, 3 3 3 所以 EF=EA+AF=-1 ? b+c ?+1 (a+2c) 3 3 1 = ? a-b+c ?. 3

【规律方法】 1.用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量时,应结合已知和所求观察图形,将已知向 量和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法则或

平行四边形法则,把所求向量用已知基向量表示出来.

2.向量加法的多边形法则
首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向末尾向量的终 点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边形法则. 提醒:空间向量的坐标运算类似于平面向量中的坐标运算.

【变式训练】(2015·长春模拟)如图所示,已知空间四边形OABC,其 对角线为OB,AC,M,N分别为OA,BC的中点,点G在线段MN上,且 MG ? 2GN, 若 OG ? xOA ? yOB ? zOC, 则x,y,z的值分别为 .

【解析】设 OA ? a,OB ? b,OC ? c, 则 MN ? ON ? OM ? 1 ? OB ? OC ? ? 1 OA ? 1 b ? 1 c ? 1 a,
1 2 OG ? OM ? MG ? OA ? MN 2 3 1 2 1 1 1 1 1 1 ? a ? ( b ? c ? a) ? a ? b ? c, 2 3 2 2 2 6 3 3 1 1 1 又 OG ? xOA ? yOB ? zOC, 所以 x ? , y ? , z ? , 6 3 3 1 1 1 答案: , , 6 3 3
2 2 2 2 2

【加固训练】1.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.

(1)化简: A O- 1 AB- 1 AD. 1
2 2

(2)用 AB, AD, AA1 表示 OC . 1 (3)设E是棱DD1上的点,且 DE= 2 DD1,若 EO=xAB +yAD +zAA1,
3

试求x,y,z的值.

【解析】(1)因为 AB +AD =AC ,
1 1 1 所以A1O- AB - AD=A1O- (AB +AD) 2 2 2 1 =A1O- AC=A1O-AO=A1A. 2 1 ? 2 ? OC1 ? OC ? CC1 ? AC ? CC1 2 1 1 1 ? (AB ? AD) ? AA1 ? AB ? AD ? AA1. 2 2 2

(3)如图所示,
2 1 因为EO=ED +DO= D1D + DB 3 2 2 1 2 1 1 = D1D + (DA+AB)= A1A+ DA+ AB 3 2 3 2 2 1 1 2 = AB - AD- AA1, 2 2 3 1 1 2 所以x= ,y=- ,z=- . 2 2 3

2.如图,已知M,N分别为四面体ABCD的面BCD与面ACD的重心,G为AM 上一点,且GM∶GA=1∶3.设 AB 试用a,b,c表示 =a, AC =b, AD =c,
BG, BN.

【解析】BG=BA+AG=BA+ 3 AM

4 1 3 1 1 =-a+ (a+b+c)=- a+ b+ c, 4 4 4 4 1 1 1 BN=BA+AN=BA+ (AC +AD)=-a+ b+ c. 3 3 3

考点2

共线定理、共面定理的应用

【典例2】(1)(2015·烟台模拟)已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),
并且a与b同向,则x,y的值分别为 .

(2)如图所示,已知斜三棱柱ABC-A1B1C1,点M,N分别
在AC1和BC上,且满足 AM ? kAC1 , BN ? kBC (0≤k≤1).

①向量 MN 是否与向量 AB, AA1 共面?
②直线MN是否与平面ABB1A1平行?

【解题提示】(1)根据a∥b构建方程组求解,但应排除反向的情况 . (2)①看向量 MN 是否可表示成 xAB ? yAA1 的形式. ②看 MN 能否与平面ABB1A1两相交直线的方向向量共面,且 MN 是否 在该平面内,从而作出判断.

x x2 ? y ? 2 y 【规范解答】(1)由题意知a∥b,所以 ? ? , 1 2 3 ①, ? y ? 3x 即? 2 ? x ? y ? 2 ? 2x ②, ? x ? 1, x ? ?2, 解之得 ? 或 ? ? y ? ? 6, ? y ? 3. ? x ? ?2, 当? 时,b=(-2,-4,-6)=-2a,即a与b反向,不符合题意, ? ? y ? ?6

应舍去.
? x ? 1, 当? ?y ? 3 ? x ? 1, 时,b=(1,2,3)=a,即a与b同向,故 ? ? y ? 3.

答案:1,3

(2)①因为 AM ? kAC1 , BN ? kBC.
所以MN ? MA ? AB ? BN ? kC1A ? AB ? kBC ? k(C1A ? BC) ? AB ? k(C1A ? B1C1 ) ? AB ? kB1A ? AB ? AB ? kAB1 ? AB ? k(AA1 ? AB) ? (1 ? k)AB ? kAA1 ,

所以由共面向量定理知向量 MN 与向量 AB, AA1共面.

②当k=0时,点M,A重合,点N,B重合,MN在平面ABB1A1内,当0<k≤1时,MN
不在平面ABB1A1内,

又由(1)知 MN 与 AB, AA1 共面,
所以MN∥平面ABB1A1.

【规律方法】
1.空间三点共线的判断方法 结合已知向量从三点中提炼两个共点向量,利用共线向量定理判断,但 一定要说明两线有公共点.

2.证明空间四点共面的方法
对空间四点P,M,A,B可通过证明下列结论成立来证明四点共面.

(1) MP=xMA +yMB.
(2)对空间任一点O, OP=OM +xMA +yMB.

(3)对空间任一点O, OP=xOM +yOA +zOB(x+y+z= 1).
(4) PM AB(或PA MB或PB AM).

【变式训练】已知E,F,G,H分别是空间四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA

的中点,
(1)求证:E,F,G,H四点共面. (2)求证:BD∥平面EFGH. (3)设M是EG和FH的交点,求证:对空间任一点O, 有 OM ? 1 (OA ? OB ? OC ? OD).
4

【证明】(1)连接BG,则 EG ? EB ? BG
1 ? EB ? (BC ? BD) ? EB ? BF ? EH 2 ? EF ? EH,

由共面向量定理的推论知: E,F,G,H四点共面.

(2)因为 EH ? AH ? AE
1 1 1 ? AD ? AB ? (AD ? AB) 2 2 2 1 ? BD, 2

所以EH∥BD. 又EH 平面EFGH,BD?平面EFGH,

所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O,并连接OM,OA,OB,OC,OD,OE,OG.
由(2)知 EH ? 1 BD, 同理 FG ? BD,
2 1 2

所以 EH ? FG, 即EH

FG,

所以四边形EFGH是平行四边形. 所以EG,FH交于一点M且被M平分.
1 1 1 故OM ? (OE ? OG) ? OE ? OG 2 2 2 1 1 1 1 ? [ (OA ? OB)] ? [ (OC ? OD)] 2 2 2 2 1 ? (OA ? OB ? OC ? OD). 4

【加固训练】如图,已知各面均为平行四边形的四棱柱ABCDA′B′C′D′,E,F,G,H分别是棱A′D′,D′C′,C′C和AB的中点,

求证:E,F,G,H四点共面.

【证明】取 ED? =a,EF =b,EH =c,
1 则HG=HB +BC +CG=D?F ? 2ED? + AA? 2 1 =b-a+2a+ (AH+HE+EA?) 2 1 =b+a+ (b-a-c-a) 2 3 1 = b- c, 2 2

所以 HG与b,c共面.即E,F,G,H四点共面.

考点3

空间向量的数量积的计算与应用

知·考情
空间向量的数量积的计算与应用是高考考查空间向量的一个必考

热点,常与线面位置关系、空间角、空间距离的计算问题综合,主要以
解答题的形式出现.

明·角度

命题角度1:空间向量数量积的计算
【典例3】(2015·阜阳模拟)如图所示,已知空间四边形ABCD的每条

边和对角线长都等于1,点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点,计算:

?1? EF BA. ? 2 ? EG BD.

【解题提示】选三个不共面的向量为基底,分别将相关向量用基向量
表示,根据向量数量积运算法则转化为基向量的数量积运算 .

【规范解答】设 AB =a, AC =b, AD =c,则|a|=|b|=|c|=1,

<a,b>=<b,c>=<c,a>=60°.
1 1 1 BA=-a, ?1? EF= BD= c- a, 2 2 2 1 1 所以EF BA=( c ? a) (-a) 2 2 1 1 1 1 1 =- a c+ a 2=- + = . 2 2 4 2 4

? 2 ? EG=EB+BC+CG
1 1 = AB +(AC-AB)+ (AD-AC) 2 2 1 1 1 1 1 1 =- AB + AC + AD=- a+ b+ c, 2 2 2 2 2 2 BD ? AD ? AB ? c ? a. 1 1 1 所以EG BD ? (? a ? b ? c) ? c ? a ? 2 2 2 1 1 1 1 ? a2 ? a b ? b c ? c2 ? a c 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? . 2 4 4 2 2 2

【易错警示】解答本题有三点容易出错: (1)在选择基底时,忽视不共面的条件而致误. (2)在根据空间向量基本定理利用基向量表示相关向量如 EF,EG 时出 错. (3)在向量的数量积运算时出错.

命题角度2:空间向量数量积的应用

【典例4】(2015·景德镇模拟)如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1
中,以顶点A为端点的三条棱长都为1,且两两夹角为60°.

(1)求AC1的长.
(2)求证:AC1⊥BD.

(3)求BD1与AC夹角的余弦值.

【解题提示】选 AB, AD, AA1 为基向量,(1)先求出 AC1 ,再用模长公

式计算.(2)求出 BD ,计算 AC1 BD =0.(3)先求出 BD1 , AC, 再用夹角公
式计算.

【规范解答】设 AB ? a, AD ? b, AA1 ? c, 则|a|=|b|=|c|=1, 〈a,b〉=〈b,c〉=(c,a)=60°,

所以a·b=b·c=c·a= 1 .
2

?1? AC1 ? AB ? BC ? CC1 ? AB ? AD ? AA1 ? a ? b ? c,
所以 AC1 ? ? a ? b ? c ? ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(a b ? b c ? c a)
2 2

1 1 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 2 ? ( ? ? ) ? 6. 2 2 2 所以 | AC1 |? 6.

? 2 ? BD ? AD ? AB ? b ? a, 又由?1? 知AC1 ? a ? b ? c, 所以AC1 BD ? ? a ? b ? c ? ? b ? a ?
? a b ? b2 ? b c ? a2 ? a b ? a c 1 1 1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? ? 0, 2 2 2 2 所以AC1 ? BD. ?

? 3? BD1 ? BC ? CC1 ? C1D1 ? b ? c ? a, AC ? AB ? AD ? a ? b,
所以 BD1 ? 2, AC ? 3. BD1 AC ? ? b ? c ? a ? ? a ? b ? ? b 2 ? a 2 ? a c ? b c ? 1. 所以cos〈BD1 , AC〉 ? BD1 AC BD1 AC ? 6 . 6

所以BD1与AC夹角的余弦值为

6 . 6

悟·技法

1.空间向量数量积计算的两种方法
(1)基向量法:a·b=|a||b|cos<a,b>.

(2)坐标法:设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),
则a·b=x1x2+y1y2+z1z2.

2.利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题
(1)a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0.

(2)|a|= a2

ab (3)cos<a,b>= | a || b | .

通·一类 1.(2015·汉中模拟)二面角α -l-β 为60°,A,B是棱l上的两点,AC,BD 分别在半平面α ,β 内,AC⊥l,BD⊥l,且AB=AC=a,BD=2a,则CD的长为 ( )

A.2a

B. 5a

C.a

D. 3a

【解析】选A.因为AC⊥l,BD⊥l,
所以〈 AC,BD 〉=60°且 AC BA ? 0,AB BD ? 0, 所以 CD ? CA ? AB ? BD, 即 | CD |? (CA ? AB ? BD)2
? a 2 ? a 2 ? (2a) 2 ? 2a 2acos 120? ? 2a.

2.(2015·抚州模拟)已知空间向量a,b满足|a|=|b|=|a-b|=2,则|3a2b|= .

【解析】因为|a|=|b|=|a-b|=2, 所以a2-2a·b+b2=4即4-2a·b+4=4.解得a·b=2, 所以|3a-2b|2=9a2-12a·b+4b2=36-12×2+16=28, 所以|3a-2b|=2 7 . 答案:2 7

3.(2015·重庆模拟)如图,在三棱柱ABC-A′B′C′中,A′A⊥平面 ABC,AC=BC=AA′,∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB′的中点. (1)求证:CE⊥A′D. (2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值.

【解析】设 CA ? a,CB ? b,CC? ? c, 根据题意,|a|=|b|=|c|且a· b=b· c=c· a=0. (1) CE ? b ? 1 c, A?D ? ?c ? 1 b ? 1 a,
2 2 2

所以 CE A?D ? ? 1 c 2 ? 1 b 2 ? 0.
2 2

所以 CE ? A?D ,即CE⊥A′D.

1 AC ? ? ? a ? c ,CE ? b ? c, (2) 2

5 a. 2 1 1 1 2 AC? CE ? (?a ? c) (b ? c) ? c 2 ? a , 2 2 2 1 2 a 10 2 所以 cos〈AC?,CE〉 ? ? . 10 5 2 2 a 2

所以 AC? ? 2 a , CE ?

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为 10 .
10

自我纠错20

空间向量运算法则的应用

【典题】(2015·中山模拟)如图所示,在各个面都是平行四边形的四
棱柱ABCD-A1B1C1D1中,M是CD1的中点,点Q在CA1上,且CQ∶QA1=4∶1,设
AB ? a, AD ? b, AA1 ? c, 用基底{a,b,c}表示向量 MQ =___________.

【解题过程】

【错解分析】分析上面解题过程,你知道错在哪里吗? 提示:上述解题过程有三处错误:其一:把 CQ ? 4 CA1 , 误认为 CQ ? 3 CA1;
5 4

其二:把 CA 误认为 AC ? AA1 ;其三:把 MQ 误认为 AM ? AQ. 1

【规避策略】 1.适当选择基底,准确表示相关向量 在空间向量的加、减、数乘等线性运算中,往往要选择适当的向量作 为基底,准确用基向量表示出相关向量,注意以图助解,如本例将向量
AM,AQ 用a,b,c表示.

2.准确运算

在进行向量的加、减、数乘等线性运算时,要准确使用加、减、数乘
运算法则及运算律进行相关运算,特别是向量减法的三角形法则要注 意差向量的方向,如本例中 AQ,MQ 的表示.

【自我矫正】如图,连接AC,AD1.
1 1 AM ? (AC ? AD1 ) ? (AB ? 2AD ? AA1 ) 2 2 1 ? ? a ? 2b ? c ? . 2 4 4 AQ ? AC ? CQ ? AC ? CA1 ? AC ? (AA1 ? AC) 5 5 1 4 1 1 4 1 1 4 ? AC ? AA1 ? AB ? AD ? AA1 ? a ? b ? c. 5 5 5 5 5 5 5 5

所以 MQ ? AQ ? AM ? 1 a ? 1 b ? 4 c ? ( 1 a ? b ? 1 c)
5 5 5 2 2 3 4 3 ? ? a ? b ? c. 10 5 10

答案: ?

3 4 3 a? b? c 10 5 10


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