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浙江省高二数学竞赛模拟试卷(4)


浙江省高二数学竞赛模拟试卷(4) 班级
一、选择题(本题满分 36 分,每小题 6 分) 1.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 8, 如果 f (bx ? c ) ? 4 x ? 16 x ? 15 , 那么 c ? 2b 的值等于(
2 2

姓名


A.3

B.7

C.-3

D.-7 )

2.已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距 离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 ,则 ? x n =(
n ?1 2005

D.抛物线或椭圆

3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn



A,1

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [ 0, 2 ) 1 4 . 已 知 f (x ) ? ? , 定 义 f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )), 其中 f 1 ( x ) ? f ( x ) , 则 f 2 0 0 7 )等 于 ( 5 ? 2(1 ? x ), x ? [ 1 ,1] 2 ?
( A. )

1 5
x2 a2 ? y2 b2

B.

3 5

C.

4 5

D.

2 5

5.已知双曲线

? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,右准线为 l ,一直线交双曲线两支于 P、Q 两点,交
) B. ?PFR ? ?QFR D. ?PFR 与?QFR 的大小定

l 于 R,则



A. ?PFR ? ?QFR C. ?PFR ? ?QFR

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 的根,则△ABC( )

C A



sin B sin A

都是方程 log

b

x=logb(4x-4)

A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形 二、填空题(本题满分 54 分,每小题 9 分)

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

7.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 8.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 9.设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 (t ? 1)( t ? 2)( t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为
x x x

1

2 3

5 6

2

10.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________.

11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 a=__________. 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13.已知 a, b, c∈R+,且满足



12.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整数

kabc a?b?c

≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。

14.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。

? a n ? 1 , 当 n 为偶数时, ? 2 ? 15. 数列 ? an ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?

已知 an ?

30 19

,求正整数 n.

高二数学竞赛模拟试卷(4)答案
一、选择题 1.设函数 f ( x ) ? x ? 6 x ? 8, 如果 f (bx ? c ) ? 4 x ? 16 x ? 15 , 那么 c ? 2b 的值等于(
2 2



A.3

B.7

C.-3
2

D.-7

解: x ? ?2, 有f (c ? 2b) ? 16 ? 16 ? 2 ? 15 ? ?1 , 取 而当 x ? 6 x ? 8 ? ?1时有 x ? ?3 , 所以 c ? 2b ? ?3 , 故选 C. 2.已知 P 为四面体 S-ABC 的侧面 SBC 内的一个动点,且点 P 与顶点 S 的距离等于点 P 到底面 ABC 的距 离,那么在侧面 SBC 内,动点 P 的轨迹是某曲线的一部分,则该曲线是( A.圆或椭圆 B.椭圆或双曲线 C.双曲线或抛物线 ) D.抛物线或椭圆

解:把问题转化成动点 P 到 S 的距离与它到边 BC 的距离比值问题,容易的出答案 D 3.给定数列{xn},x1=1,且 xn+1=

3xn ? 1 3 ? xn

,则 ? x n =(
n ?1

2005



A,1

B.-1

C.2+ 3

D.-2+ 3

解:xn+1=

3 ,令 x =tanα ,∴x =tan(α + ? ), ∴x =x , x =1,x =2+ 3 , x =-2- 3 , x =-1, n n n+1 n n+6 n 1 2 3 4 6 3 1? xn 3
2005 n ?1

xn ?

3

x5=-2+ 3 , x6=2- 3 , x7=1,……,∴有 ? x n ? x1 ? 1 。故选 A。

1 1 ? ? x ? 2 , x ? [ 0, 2 ) 1 4 . 已 知 f (x ) ? ? , 定 义 f n ( x ) ? f ( f n ?1 ( x )), 其中 f 1 ( x ) ? f ( x ) , 则 f 2 0 0 7 )等 于 ( 5 ? 2(1 ? x ), x ? [ 1 ,1] 2 ?
( A. )

1 5 1 7

B.

3 5

C.

4 5

D.

2 5 1

1 3 1 4 1 2 1 9 1 1 7 , f2 ( ) ? , f3 ( ) ? , f4 ( ) ? , f5 ( ) ? , f6 ( ) ? , f7 ( ) ? 5 10 5 5 5 5 5 5 5 10 5 5 5 10 1 1 1 1 4 1 可知 f n ( ) 是最小正周期为6的函数。即得 f n ? 6 ( ) ? f n ( ) ,所以 f 2007 ( ) ? f 3 ( ) = ,故选 C. 5 5 5 5 5 5
解:计算 f 1 ( ) ? 5.已知双曲线

x2 a2

?

y2 b2

? 1 ( a ? 0, b ? 0) 的右焦点为 F,右准线为 l ,一直线交双曲线两支于 P、Q 两点,交
) B. ?PFR ? ?QFR D. ?PFR 与?QFR 的大小定

l 于 R,则



A. ?PFR ? ?QFR C. ?PFR ? ?QFR

解:分别做 PP ? ? l , QQ ? ? l , 垂足分别为 P ?, Q ?, 由相似三角形的性质,得

PR PP ?

?

QR QQ ?

,又有

双曲线的第二定义,得

PF PP ?

?e?

QF QQ ?

,则

PR RQ

?

PF QF

. 故 FR 平分 ?PFQ . 所以选 C.

6.在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别记为 a、b、c(b≠1),且 的根,则△ABC( )

C A



sin B sin A

都是方程 log

b

x=logb(4x-4)

A.是等腰三角形,但不是直角三角形 C.是等腰直角三角形 解:由 log
b

B.是直角三角形,但不是等腰三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形

x=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以 x1=x2=2,故 C=2A,sinB=2sinA,因 A+B+C=180°,所以

3A+B=180°,因此 sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又 sinA≠0,所以 sin2A=

1 4



而 sinA>0,∴sinA= 二、填空题

1 2

。因此 A=30°,B=90°,C=60°。故选 B。

7.若 log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________.

?x ? 2 y ? 0 ? ? 答案: 3 。 ? x ? 2 y ? 0 ?( x ? 2 y )( x ? 2 y ) ? 4 ?

?x ? 2 | y | ? 2 2 ?x ? 4 y ? 4

由对称性只考虑 y≥0,因为 x>0,∴只须求 x-y 的最小值,令 x-y=u,代入 x2-4y2=4,有 3y2-2uy+(4-u)2=0, 这个关于 y 的二次方程显然有实根,故△=16(u2-3)≥0。 8.如果:(1)a, b, c, d 都属于{1, 2, 3, 4} (2)a≠b, b≠c, c≠d, d≠a (3)a 是 a, b, c, d 中的最小数 那么,可以组成的不同的四位数 abcd 的个数是________. 答案:46 个。abcd 中恰有 2 个不同数字时,能组成 C 4 =6 个不同的数。abcd 中恰有 3 个不同数字时,能 组成 C 3 C 2 C 2 ? C 2 C 2 =16 个不同数。abcd 中恰有 4 个不同数字时,能组成 A 4 =24 个不同数,所以符合要
1 1 1 1 1

2

4

求的数共有 6+16+24=46 个。 9.设 t ? ( ) ? ( ) ? ( ) , 则关于 x 的方程 (t ? 1)( t ? 2)( t ? 3) ? 0 的所有实数解之和为
x x x

1

2 3

5 6

2

1 2 5 3 4 5 f( x ) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 变形为 f ( x ) ? ( ) x ? ( ) x ? ( ) x , 可以发现函数 f ( x ) 2 3 6 6 6 6 是 R 上的减函数。又因为 f (3) ? 1, f (1) ? 2, f (0) ? 3 ,从而关于 x 的方程 (t ? 1)( t ? 2)( t ? 3) ? 0 的解分
答案: 解: 4 令 别为 0、1、3, 10.若对|x|≤1 的一切 x,t+1>(t2-4)x 恒成立,则 t 的取值范围是_______________. 答案:

13 ? 1 2

,

21 ? 1 2

。 ①若 t2-4>0, t<-2 或 t>2, 解: 即 则由

t ?1 t ?4
2

>x(|x|≤1)恒成立, 得

t ?1 t2 ? 4

? 1 , t+1>t2-4,

t2-t-s<0 解得

1 ? 21 2

?t?

1 ? 21 2

,从而

1 ? 21 2

<t<-2 或 2<t<

1 ? 21 2

。②若 t2-4=0,则 t=2 符合题意。

③若 t2-4<0, 即-2<t<2, 则由

t ?1 t ?4
2

<x(|x|≤1)恒成立, 得

t ?1 t ?4
2

t+1>-t2+4; t2+t-3>0, 解得: t< ? ?1 ,

? 1 ? 13 2

或 t>

? 1 ? 13 2

,从而

? 1 ? 13 2

<t<2。综上所述,t 的取值范围是:

13 ? 1 2

<t<

21 ? 1 2




11.边长为整数且面积(的数值)等于周长的直角三角形的个数为 解:设直角三角形的三边为 a,b, a ? b ,则有
2 2

1 2

2 2 ab =a+b+ a ? b ,?

1 2

ab - a - b ?

a 2 ? b 2 ,两边平

方并整理有 ab-4a-4b+8=0, ?(a-4)(b-4)= 8,?a,b 都是正整数,?a=5 时 b=12;a=6 时 b=8,所以满足题意的三角形有 2 个。 12.对每一实数对(x, y),函数 f(t)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1。若 f(-2)=-2,试求满足 f(a)=a 的所有整数

a=__________. 答案:1 或-2。令 x=y=0 得 f(0)=-1;令 x=y=-1,由 f(-2)=-2 得,f(-1)=-2,又令 x=1, y=-1 可得 f(1)=1,再令 x=1,得 f(y+1)=f(y)+y+2 由①得 f(-3)=-1, f(-4)=1。 下面证明:当整数 t≤-4 时,f(t)>0,因 t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0, 即 f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故 f(t)>t。综上所述:满足 f(t)=t 的整数只有 t=1 或 t=2。 三、解答题: 13.已知 a, b, c∈R+,且满足 ①,所以 f(y+1)-f(y)=y+2,即 y 为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由 f(1)=1 可知 对一切正整数 y,f(y)>0,因此 y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于 1 的正整数 t,恒有 f(t)>t,

kabc a?b?c

≥(a+b)2+(a+b+4c)2,求 k 的最小值。

解:因为(a+b)2+(a+b+4c)2=(a+b)2+[(a+2c)+(b+2c)]2≥(2 ab )2+(2 2 ac +2 2bc )2=

4ab+8ac+8bc+16c ab 。所以

( a ? b ) 2 ? ( a ? b ? 4c ) 2 abc
) ? 100 。

? (a ? b ? c)

≥ 8(5 3

1 2a 2 b 2 c 2

) ? (5 5

a 2b 2c 24

当 a=b=2c>0 时等号成立。故 k 的最小值为 100。 14.已知半径为 1 的定圆⊙P 的圆心 P 到定直线 l 的距离为 2,Q 是 l 上一动点,⊙Q 与⊙P 相外切,⊙Q 交 l 于 M、N 两点,对于任意直径 MN,平面上恒有一定点 A,使得∠MAN 为定值。求∠MAN 的度数。 解:以 l 为 x 轴,点 P 到 l 的垂线为 y 轴建立如图所示的直角坐标系,设 Q 的坐标为(x, 0),点 A(k, λ ), ⊙Q 的半径为 r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ= x ? 2 =1+r。所以 x=± r ? 2 r ? 3 , ∴tan∠
2 2 2

o?r
MAN=

k AN ? k AM 1 ? k AN ? k AM
2 rh

?

x?r?h x?r?h o?h o?h 1? ? x?r?h x?r?k
2 rh (? r 2 ? 2r ? 3 ) 2 ? r 2 ? h 2 ? 2 rh h 2 ? k 2 ? 3 ? 2r ? 2k r 2 ? 2r ? 3
2

?

o?h

?

(x ? k) ? r ? h
2 2

2

?





2m=h2+k2-3,tan∠MAN=
2

1 n

,所以 m+r ? k r ? 2 r ? 3 =nhr,∴m+(1-nh)r= ? k r ? 2 r ? 3 ,两边平方,
2

得 : m +2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2 , 因 为 对 于 任 意 实 数 r ≥ 1 , 上 式 恒 成 立 , 所 以

? m 2 ? ?3k 2 (1) ? 1 2 (2)式,得 m=0, k=0,由(3)式,得 n= 。由 2m=h2+k2-3 得 h=± 3 , ? 2 m (1 ? nh) ? 2 k ( 2) ,由(1) h ? (1 ? nh) 2 ? k 2 (3) ?
所以 tan∠MAN= ∠MAN=60°。

1 n

=h=± 3 。所以∠MAN=60°或 120°(舍)(当 Q(0, 0), r=1 时∠MAN=60°),故

? a n ? 1 , 当 n 为偶数时, ? 2 ? 15. 数列 ? a n ? 定义如下: a1 ? 1 ,且当 n ? 2 时, an ? ? 1 , 当 n 为奇数时. ? ? an ?1 ?
已知 an ? 解

30 19

,求正整数 n.

由题设易知, an ? 0, n ?1, 2, ? .又由 a1 ? 1 ,可得,当 n 为偶数时, an ? 1 ;当 n ( ? 1) 是奇数

时, an ?

1 an ?1

?1.

由 an ?

30 19

? 1 ,所以 n 为偶数,于是 a n ?
2

30 19

?1 ?

11 19

? 1 ,所以,

n 2

是奇数.

于是依次可得:

an
2

?1

?

19 11

?1,

n 2

? 1 是偶数, n?2 4
是偶数,

a n?2 ?
4

19 11

?1 ?

8 11

? 1,

是奇数,

a n?2
4

?1

?

11 8

?1,

n?6 4

a n?6 ?
8

11 8

?1 ?

3 8

? 1,

n?6 8

是奇数,

a n?6
8

?1

?

8 3

? 1,

n ? 14 8

是偶数,

a n ?14 ?
16

8 3

?1 ?

5 3

? 1,

n ? 14 16
2 3

是偶数,

a n ?14 ?
32

5 3

?1 ?

? 1,

n ? 14 32

是奇数,

a n ?14
32

?1

?

3 2

?1,

n ? 46 32

是偶数,

a n ? 46 ?
64

3 2

?1 ?

1 2

?1,

n ? 46 64

是奇数,

a n ? 46 ? 2 ? 1 ,
64 ?1

n ? 110 64

是偶数,

a n ?110 ? 2 ? 1 ? 1 ,
128

所以,

n ? 110 128

? 1 ,解得,n=238.


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