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2016新课标三维人教A版数学选修2-1 复习课(二) 圆锥曲线与方程


复习课(二) 圆锥曲线与方程

圆锥曲线的定义及标准方程

圆锥曲线的定义及标准方程在高考中主要以选择题或填空题的形式进行考查,标准方 程在解答题中也会涉及,是高考解析几何的必考内容. [考点精要] 椭圆、双曲线、抛物线的定义及标准方程 椭圆 平面内与两个定点 F1,F2 定义 的 距离 之和 等于常 数 ( 大 于|F1F2|)的点的轨迹 x2 y2 + =1 或 a2 b2 y x + =1 a2 b 2 (a>b>0) 关系 式 [典例] 是( ) x2 y2 A. + =1 3 4 x2 y2 C. + =1 4 2 x2 y2 B. + =1 4 3 x2 y2 D. + =1 4 3 a2-b2=c2
2 2

双曲线 平面内与两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于 非零常数 ( 小于 |F1F2| 且大 于零)的点的轨迹 x2 y2 - =1 或 a2 b2 y2 x2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) a2+b2=c2

抛物线 平面内与一个定点 F 和一 条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹 y2=2px 或 y2=-2px 或 x2=2py 或 x2=-2py(p>0)

标准 方程

1 (1)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 ,则 C 的方程 2

x2 y2 (2)已知抛物线 y2=8x 的准线过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离 a b 心率为 2,则该双曲线的方程为________________. [解析] c (1)右焦点为 F(1,0)说明两层含义: 椭圆的焦点在 x 轴上;c=1. 又离心率为a=

x2 y2 1 ,故 a=2,b2=a2-c2=4-1=3,故椭圆的方程为 + =1,故选 D. 2 4 3 (2)由题意可知抛物线的准线方程为 x=-2,∴双曲线的半焦距 c=2.又双曲线的离心 y2 率为 2,∴a=1,b= 3,∴双曲线的方程为 x2- =1. 3

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[答案]

(1)D

y2 (2)x2- =1 3

[类题通法] 求圆锥曲线方程的一般步骤 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤. (1)定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置. (2)定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确 定在哪个坐标轴上时,可设方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0). (3)定量——由题设中的条件找到“式”中待定系数的等量关系,通过解方程得到量的 大小. [题组训练] x2 y2 1.(天津高考)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的一条渐近线过点(2, 3),且双曲线的 a b 一个焦点在抛物线 y2=4 7x 的准线上,则双曲线的方程为( A. x y - =1 21 28
2 2

)

B.

x y - =1 28 21

2

2

x2 y2 C. - =1 3 4

x2 y2 D. - =1 4 3

b 解析:选 D 由双曲线的渐近线 y= x 过点(2, 3), a b 可得 3= ×2.① a 由双曲线的焦点(- a2+b2, 0)在抛物线 y2=4 7x 的准线 x=- 7上, 可得 7.② 由①②解得 a=2,b= 3, x2 y2 所以双曲线的方程为 - =1. 4 3 2.(全国卷Ⅰ)一个圆经过椭圆 圆的标准方程为________. 解析:由题意知 a=4,b=2,上、下顶点的坐标分别为(0,2),(0,-2),右顶点的坐标 为(4,0).由圆心在 x 轴的正半轴上知圆过点(0,2),(0,-2),(4,0)三点.设圆的标准方程为 (x-m)2+y2=r2(0<m<4,r>0),
2 2 ? ?m +4=r , ? 则 解得 2 2 ??4-m? =r , ?

a2+b2=

x2 y2 + =1 的三个顶点,且圆心在 x 轴的正半轴上,则该 16 4

?m=2, ? 25 ?r = 4 .
2

3

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3?2 2 25 所以圆的标准方程为? ?x-2? +y = 4 . 3?2 2 25 答案:? ?x-2? +y = 4 x2 y2 3.方程 + =1 表示曲线 C,给出以下命题: 4-t t-1 ①曲线 C 不可能为圆; ②若 1<t<4,则曲线 C 为椭圆; ③若曲线 C 为双曲线,则 t<1 或 t>4; 5 ④若曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆,则 1<t< . 2 其中真命题的序号是________(写出所有正确命题的序号). 5 3 5 解析:显然当 t= 时,曲线为 x2+y2= ,方程表示一个圆;而当 1<t<4,且 t≠ 时, 2 2 2 5 方程表示椭圆;当 t<1 或 t>4 时,方程表示双曲线;而当 1<t< 时,4-t>t-1>0,方程表示 2 焦点在 x 轴上的椭圆,故③④为真命题. 答案:③④ 圆锥曲线的几何性质

圆锥曲线的几何性质是圆锥曲线的核心内容,高考非常重视对圆锥曲线几何性质的考 查,试卷中一般以选择题或者填空题的形式考查圆锥曲线的几何性质(主要是椭圆和双曲线 的离心率),在解答题中与圆锥曲线方程的其他知识一起进行综合考查. [考点精要] 椭圆、双曲线、抛物线的几何性质 椭圆 标准方程 关系式 图形 对称性 顶点 离心率 准线方程 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn 四个 0<e<1 x2 y2 + =1 a2 b2 (a>b>0) a2-b2=c2 封闭图形 双曲线 x2 y2 - =1 a2 b2 (a>0,b>0) a2+b2=c2 无限延展,有渐近线 无限延展,没有渐近线 无对称中心 一条对称轴 两个 e>1 一个 e=1 p x=- 2 抛物线 y2=2px(p>0)

对称中心为原点 两条对称轴

决定形状的因素 [典例]

e 决定扁平程度

e 决定开口大小

2p 决定开口大小

x2 y2 (1)(山东高考)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶 a b

点在 E 上, AB, CD 的中点为 E 的两个焦点, 且 2|AB|=3|BC|, 则 E 的离心率是________. x2 y2 x2 y2 (2)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1,C1 与 C2 a b a b 的离心率之积为 [解析] 3 ,则 C2 的渐近线方程为________. 2

2b2 (1)如图,由题意知|AB|= a ,|BC|=2c.

又 2|AB|=3|BC|, 2b2 ∴2× a =3×2c,即 2b2=3ac, ∴2(c2-a2)=3ac,两边同除以 a2 并整理得 2e2-3e-2=0,解得 e=2(负值舍去). a2-b2 a2+b2 (2)设椭圆 C1 和双曲线 C2 的离心率分别为 e1 和 e2,则 e1= ,e2= .因 a a 为 e1· e2= a4-b4 b?4 1 b 3 3 2 ,所以 = ,即? ?a? =4,∴a= 2 . 2 a2 2

b 2 故双曲线的渐近线方程为 y=± x=± x, a 2 即 x± 2y=0. [答案] (1)2 (2)x± 2y=0

[类题通法] 求解离心率三种方法 (1)定义法:由椭圆(双曲线)的标准方程可知,不论椭圆(双曲线)的焦点在 x 轴上还是 y c 轴上都有关系式 a2-b2=c2(a2+b2=c2)以及 e= ,已知其中的任意两个参数,可以求其他 a 的参数,这是基本且常用的方法. (2)方程法:建立参数 a 与 c 之间的齐次关系式,从而求出其离心率,这是求离心率的 十分重要的思路及方法. (3)几何法:求与过焦点的三角形有关的离心率问题,根据平面几何性质以及椭圆(双曲 线)的定义、几何性质,建立参数之间的关系,通过画出图形,观察线段之间的关系,使问 题更形象、直观. [题组训练] x2 1.如图,F1,F2 是椭圆 C1: +y2=1 与双曲线 C2 的公共焦点,A, 4 B 分别是 C1,C2 在第二、四象限的公共点.其四边形 AF1BF2 为矩形,则

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C2 的离心率是( A. 2 C. 3 2

) B. 3 D. 6 2

解析:选 D 焦点 F1(- 3,0),F2( 3,0), 在 Rt△AF1F2 中,|AF1|+|AF2|=4, |AF1|2+|AF2|2=12, 所以可解得|AF2|-|AF1|=2 2, 故 a= 2, 所以双曲线的离心率 e= 3 6 = ,选 D. 2 2

x2 y2 2.设椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的左,右焦点为 F1,F2,过 F2 作 x 轴的垂线与 C 相交 a b 于 A,B 两点,F1B 与 y 轴相交于点 D,若 AD⊥F1B,则椭圆 C 的离心率等于________.
2 b2 ?c,-b ?, c, ?, 解析: 不妨设 A 在 x 轴上方, 由于 AB 过 F2 且垂直于 x 轴, 因此可得 A? B a? ? a? ?

???? ???? ? b2 3b2 0,- ? ,所以 AD = ?-c,- ? , F1 B = 由 OD ∥ F2B , O 为 F1F2 的中点可得 D ? 2a? 2a ? ? ?
2 ???? ???? ? 3b4 2 ?2c,-b ?,又 AD⊥F1B,所以 AD · =- 2 c + =0,即 3b4=4a2c2,又 b2=a2-c2, F B 1 a? ? 2a2

所以可得 3(a2-c2)=2ac,两边同时除以 a2,得 3e2+2e- 3=0,解得 e= e∈(0,1),故椭圆 C 的离心率为 答案: 3 3 3 . 3

3 或- 3,又 3

x2 y2 3.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的焦距为 2c,右顶点为 A,抛物线 x2=2py(p>0)的 a b 焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程 为________. 解析:c2=a2+b2,① 由双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c 知, p c2 p2 c,- ?,即 2- 2=1.② 双曲线过点? 2? ? a 4b p2 由|FA|=c,得 c2=a2+ ,③ 4 由①③得 p2=4b2.④ c2 将④代入②,得 2=2. a 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn



a2+b2 b =2,即a=1, a2

故双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 x± y=0. 答案:x± y=0 直线与圆锥曲线的位置关系

高考试题中解析几何的解答题一般不会单纯考查圆锥曲线,试题中一般都有直线问题 参与,这使得解析几何试题具有广泛的命题背景,当直线与圆锥曲线问题综合时就产生了 如:直线与圆锥曲线的位置关系(相交、相切、相离),直线与曲线交汇产生的一些几何量的 范围和最值,动直线(或曲线)过定点等一系列热点问题,这些热点问题都是高考所重视的. [考点精要] 直线与圆锥曲线有关的问题 (1)直线与圆锥曲线的位置关系,可以通过讨论直线方程与曲线方程组成的方程组的实 数解的个数来确定,通常消去方程组中变量 y(或 x)得到关于变量 x(或 y)的一元二次方程, 考虑该一元二次方程的判别式 Δ,则有:Δ>0?直线与圆锥曲线相交于两点;Δ=0?直线与 圆锥曲线相切于一点;Δ<0?直线与圆锥曲线无交点. (2)直线 l 截圆锥曲线所得的弦长|AB|= ?1+k2??x1-x2?2或

?1+ 12??y1-y2?2,其中 k ? k?

是直线 l 的斜率,(x1,y1),(x2,y2)是直线与圆锥曲线的两个交点 A,B 的坐标,且(x1-x2)2 =(x1+x2)2-4x1x2,x1+x2,x1x2 可由一元二次方程的根与系数的关系整体给出. [典例] 已知椭圆的一个顶点为 A(0, -1), 焦点在 x 轴上, 若右焦点到直线 x-y+2 2

=0 的距离为 3. (1)求椭圆的方程; (2)设椭圆与直线 y=kx+m(k≠0)相交于不同的两点 M,N,当|AM|=|AN|时,求 m 的 取值范围. [解] x2 (1)依题意可设椭圆方程为 2+y2=1(a>1), a

则右焦点 F( a2-1,0), | a2-1+2 2| 由题设,知 =3, 2 x2 解得 a2=3,故所求椭圆的方程为 +y2=1. 3 y=kx+m, ? ? 2 (2)设点 P 为弦 MN 的中点,由?x 2 ? ? 3 +y =1, 得(3k2+1)x2+6mkx+3(m2-1)=0, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

由于直线与椭圆有两个交点, 所以 Δ>0,即 m2<3k2+1, ① xM+xN 3mk 所以 xP= =- 2 , 2 3k +1 从而 yP=kxP+m= m , 3k2+1

yP+1 m+3k2+1 所以 kAP= x =- , 3mk P 又|AM|=|AN|,所以 AP⊥MN, 则- m+3k2+1 1 =- ,即 2m=3k2+1, k 3mk ②

把②代入①得 2m>m2, 解得 0<m<2, 由②得 k2= 2m-1 >0, 3

1 解得 m> , 2 1 ? 故所求 m 的取值范围是? ?2,2?. [类题通法] 有关直线与圆锥曲线综合问题的求解方法 (1)将直线方程与圆锥曲线方程联立,化简后得到关于 x(或 y)的一元二次方程,则直线 与圆锥曲线的位置关系有三种情况: ①相交:Δ>0?直线与椭圆相交;Δ>0?直线与双曲线相交,但直线与双曲线相交不一 定有 Δ>0,如当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交且只有一个交点,故 Δ>0 是直线与双曲线相交的充分不必要条件;Δ>0?直线与抛物线相交,但直线与抛物线相交不 一定有 Δ>0,当直线与抛物线的对称轴平行时,直线与抛物线相交且只有一个交点,故 Δ>0 也仅是直线与抛物线相交的充分条件,而不是必要条件. ②相切:Δ=0?直线与椭圆相切;Δ=0?直线与双曲线相切;Δ=0?直线与抛物线相 切. ③相离: Δ<0?直线与椭圆相离;Δ<0?直线与双曲线相离;Δ<0?直线与抛物线相离. (2)直线与圆锥曲线的位置关系,涉及函数、方程、不等式、平面几何等诸多方面的知 识,形成了求轨迹、最值、对称、取值范围、线段的长度等多种问题.解决此类问题应注 意数形结合,以形辅数的方法;还要多结合圆锥曲线的定义,根与系数的关系以及 “点差 法”等. [题组训练] 1.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和到直线 x=- 1 的距离相 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜率为 k 的直线,则 k 的取值范围是________. 解析:设机器人所在位置为 A(x,y),依题意得点 A 在以 F(1,0)为焦点,x=-1 为准线 的抛物线上,该抛物线的标准方程为 y2=4x. 过点 P(-1,0),斜率为 k 的直线为 y=k(x+1).
?y2=4x, ? 由? 得 ky2-4y+4k=0. ? y = kx + k ?

当 k=0 时,显然不符合题意; 当 k≠0 时,依题意得 Δ=(-4)2-4k· 4k<0, 化简得 k2-1>0,解得 k>1 或 k<-1,因此 k 的取值范围为(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) x2 y2 2.平面直角坐标系 xOy 中,过椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)右焦点的直线 x+y- 3=0 a b 1 交 M 于 A,B 两点,P 为 AB 的中点,且 OP 的斜率为 . 2 (1)求 M 的方程; (2)C,D 为 M 上两点,若四边形 ACBD 的对角线 CD⊥AB,求四边形 ACBD 面积的最 大值. 解:(1)设 A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0),则
2 y2-y1 x2 y1 x2 y2 1 2 2 =-1, 2+ 2=1, 2+ 2=1, a b a b x2-x1

b2?x2+x1? y2-y1 由此可得 2 =- =1. a ?y2+y1? x2-x1 y0 1 因为 x1+x2=2x0,y1+y2=2y0, = , x0 2 所以 a2=2b2. 又由题意知,M 的右焦点为( 3,0),故 a2-b2=3. 因此 a2=6,b2=3. x2 y2 所以 M 的方程为 + =1. 6 3

?x= 3 , ? ?x+y- 3=0, (2)由? x2 y2 解得? 3 ? ? 6 + 3 =1 ?y=- 3
4 3 因此|AB|= 4 6 . 3

?x=0, 或? ?y= 3.

由题意可设直线 CD 的方程为

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y=x+n -

? 5 3<n< 3?, ? 3 ?

设 C(x3,y3),D(x4,y4). y=x+n, ? ? 2 2 由?x y 得 3x2+4nx+2n2-6=0. + = 1 ? ?6 3 -2n± 2?9-n2? 于是 x3,4= . 3 因为直线 CD 的斜率为 1, 所以|CD|= 2|x4-x3|= 4 9-n2. 3

1 8 6 由已知,四边形 ACBD 的面积 S= |CD|· |AB|= 9-n2. 2 9 8 6 当 n=0 时,S 取得最大值,最大值为 . 3 8 6 所以四边形 ACBD 面积的最大值为 . 3

x2 y2 1.已知双曲线 2- 2 = 1(a>0, b>0)的两条渐近线互相垂直,则该双曲线的离心率是 a b ( ) A.2 C. 2 B. 3 D. 3 2

b b bb 解析:选 C 由题可知 y=ax 与 y=-ax 互相垂直,可得-a· a=-1,则 a=b.由离
2 2 c2 a +b 心率的计算公式,可得 e2= 2= 2 =2,e= 2. a a

2. 设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y2=ax(a≠0)的焦点 F, 且和 y 轴交于点 A, 若△OAF(O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线的方程为( A.y =± 4x C.y2=4x
2 2

)

B.y =± 8x D.y2=8x

a ? 解析:选 B 由题可知抛物线的焦点坐标为? ?4,0?,于是过焦点且斜率为 2 的直线的方 a? a? 1 |a| |a| ? 程为 y=2? ?x-4?,令 x=0,可得点 A 的坐标为?0,-2?,所以 S△OAF=2× 4 × 2 =4,得 a =± 8,故抛物线的方程为 y2=± 8x. 3.已知一动圆 P 与圆 O:x2+y2=1 外切,而与圆 C:x2+y2-6x+8=0 内切,则动圆 的圆心 P 的轨迹是( ) 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

A.双曲线的一支 C.抛物线

B.椭圆 D.圆

解析:选 A 由题意,知圆 C 的标准方程为(x-3)2+y2=1,则圆 C 与圆 O 相离,设动 圆 P 的半径为 R. ∵圆 P 与圆 O 外切而与圆 C 内切, ∴R>1, 且|PO|=R+1, |PC|=R-1. 又 |OC|=3,∴|PO|-|PC|=2<|OC|,即点 P 在以 O,C 为焦点的双曲线的右支上. x2 y2 y2 x2 4.我们把由半椭圆 2+ 2=1(x≥0)与半椭圆 2+ 2 =1(x<0)合成的曲线称 a b b c 作“果圆”(其中 a2=b2+c2,a>b>c>0),如图所示,其中点 F0,F1,F2 是相应 椭圆的焦点.若△F0F1F2 是边长为 1 的等边三角形,则 a,b 的值分别为( A. 7 ,1 2 B. 3,1 D.5,4 1 3 ∵|OF2|= b2-c2= ,|OF0|=c= 3|OF2|= ,∴b=1,∴a2=b2+c2 2 2 )

C.5,3 解析:选 A

3 7 7 =1+ = ,得 a= . 4 4 2 5.已知抛物线的方程为 y2=4x,直线 l 的方程为 x-y+4=0,在抛物线上有一动点 P 到 y 轴的距离为 d1,到直线 l 的距离为 d2,则 d1+d2 的最小值为( A. C. 5 2 +2 2 5 2 -2 2 B. 5 2 +1 2 5 2 -1 2 )

D.

解析:选 D 因为抛物线的方程为 y2=4x,所以焦点坐标为 F(1,0),准线方程为 x=- 1.因为点 P 到 y 轴的距离为 d1,所以到准线的距离为 d1+1.又 d1+1=|PF|,所以 d1+d2 =d1+1+d2-1=|PF|+d2-1. 焦点 F 到直线 l 的距离记为 d, 则 d= |1-0+4| 5 5 2 = = , 2 2 2

5 2 5 2 5 2 而|PF|+d2≥d= ,所以 d1+d2=|PF|+d2-1≥ -1,即 d1+d2 的最小值为 -1. 2 2 2 6.双曲线与椭圆 4x2+y2=64 有公共焦点,它们的离心率互为倒数,则双曲线方程为 ( ) A.y2-3x2=36 C.3y2-x2=36
2 2

B.x2-3y2=36 D.3x2-y2=36

x2 y2 解析:选 A 由 4x +y =64 得 + =1, 16 64 c2=64-16=48, 4 3 3 ∴c=4 3,e= = . 8 2

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∴双曲线中,c′=4 3,e′= ∴a′=

2 c′ = . 3 a′

3 c′=6,b′2=48-36=12. 2

y2 x2 ∴双曲线方程为 - =1,即 y2-3x2=36. 36 12 x2 y 2 7.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0),其上一点 P(3,y)到两焦点的距离分别是 6.5 和 3.5, a b 则该椭圆的标准方程为________. 解析:由椭圆的定义,知 2a=6.5+3.5=10,a=5.
??3+c?2+y2=6.52, ? 5 又? 解得 c= , 2 2 2 2 ? ? 3 - c ? + y = 3.5 , ?

从而 b2=a2-c2=

75 , 4

x2 4y2 所以椭圆的标准方程为 + =1. 25 75 答案: x2 4y2 + =1 25 75

8.已知直线 l 与抛物线 y2=4x 交于 A,B 两点,O 为坐标原点,若 OA · OB =-4, 则直线 l 恒过的定点 M 的坐标是________. 解析:设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1x2+y1y2=-4.当直线 l 的斜率不存在时,设其方
2 程为 x=x0(x0>0),则 x0 -4x0=-4,解得 x0=2;当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程 2 ? ?y=kx+b, 4b y2 b2 b2 4b 1y2 为 y=kx+b,由? 2 得 ky2-4y+4b=0,得 y1y2= k ,则 x1x2= = 2,得 2+ k 16 k k ?y =4x, ?

??? ? ??? ?

b =-4,∴k=-2,有 b=-2k,直线 y=kx-2k=k(x-2)恒过定点(2,0).又直线 x=2 也恒 过定点(2,0),得点 M 的坐标为(2,0). 答案:(2,0) 9.已知 A(0,-4),B(3,2),抛物线 y2=x 上的点到直线 AB 的最短距离为________. |2t-t2-4| t2-2t+4 解析: 直线 AB 为 2x-y-4=0, 设抛物线 y =x 上的点 P(t, t ), d= = 5 5
2 2

?t-1?2+3 3 3 5 = ≥ = . 5 5 5 答案: 3 5 5

x2 y2 10. 如图, 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的长、 短轴端点分别为 A, B, a b F1,F2 分别是其左、右焦点.从椭圆上一点 M 向 x 轴作垂线,恰好通

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过椭圆的左焦点 F1,且 AB 与 OM 是共线向量. (1)求椭圆的离心率 e; (2)设 Q 是椭圆上异于左、右顶点的任意一点,求∠F1QF2 的取值范围. b2 解:(1)∵F1(-c,0),则 xM=-c,yM= a , b2 ∴kOM=- . ac b 由题意,知 kAB=- , a

????

???? ?

???? ? ???? b2 b ∵ OM 与 AB 是共线向量,∴- =- , ac a
∴b=c,得 e= 2 . 2

(2)设|F1Q|=r1,|F2Q|=r2,∠F1QF2=θ, ∴r1+r2=2a. 又|F1F2|=2c, 由余弦定理, 得 cos θ=
2 2 r1 +r2 ?r1+r2?2-2r1r2-4c2 a2 a2 2-4c = = -1≥ -1=0, 2r1r2 2r1r2 r1r2 ?r1+r2?2 ? 2 ?

当且仅当 r1=r2 时等号成立,∴cos θ≥0, π? ∴θ∈? ?0,2?. 11.如图,焦距为 2 的椭圆 E 的两个顶点分别为 A,B,且 AB 与 n =( 2,-1)共线. (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 y=kx+m 与椭圆 E 有两个不同的交点 P 和 Q,且原点 O 总在以 PQ 为直径 的圆的内部,求实数 m 的取值范围. 解:(1)因为 2c=2,所以 c=1,又 AB =(-a,b),且 AB ∥n, 所以 2b=a,所以 2b2=b2+1,所以 b2=1,a2=2, x2 所以椭圆 E 的标准方程为 +y2=1. 2 x2 (2)设 P(x1,y1),Q(x2,y2),把直线方程 y=kx+m 代入椭圆方程 +y2=1, 2 消去 y,得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-2=0, 所以 x1+x2=- 2m2-2 4km , x x = , 2k2+1 1 2 2k2+1

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Δ=16k2-8m2+8>0, 版权所有:中国好课堂 www.zghkt.cn

即 m2<2k2+1,(*) 因为原点 O 总在以 PQ 为直径的圆的内部, 所以 OP · OQ <0, 即 x1x2+y1y2<0, 又 y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2= 2m2-2 m2-2k2 2 2 由 2 + <0 得 m2< k2+ , 3 3 2k +1 2k2+1 2 依题意且满足(*)得 m2< , 3 故实数 m 的取值范围是 - m2-2k2 , 2k2+1

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6 6? . , 3 3?

x2 y2 3 12.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的离心率 e= ,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面 a b 2 积为 4. (1)求椭圆的方程; (2)设直线 l 与椭圆相交于不同的两点 A,B.已知点 A 的坐标为(-a,0),点 Q(0,y0)在 线段 AB 的垂直平分线上,且 OA · OB =4,求 y0 的值. c 3 解:(1)由 e=a= ,得 3a2=4c2. 2 再由 c2=a2-b2,得 a=2b. 1 由题意可知 ×2a×2b=4,即 ab=2. 2
? ?a=2b, 解方程组? 得 a=2,b=1. ?ab=2, ?

??? ? ??? ?

x2 所以椭圆的方程为 +y2=1. 4 (2)由(1)可知 A(-2,0). 设 B 点的坐标为(x1,y1),直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y=k(x+2). y=k?x+2?, ? ? 2 联立方程组?x 消去 y 并整理,得 +y2=1 ? ?4 (1+4k2)x2+16k2x+(16k2-4)=0. 16k2-4 2-8k2 由-2x1= ,得 x = . 1 1+4k2 1+4k2 从而 y1= 4k . 1+4k2

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设线段 AB 的中点为 M, 8k2 2k 则 M 的坐标为?-1+4k2,1+4k2?.

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以下分两种情况: ①当 k=0 时,点 B 的坐标为(2,0),线段 AB 的垂直平分线为 y 轴,于是 OA =(-2, -y0), OB =(2,-y0). 由 OA · 2 2. OB =4,得 y0=± ②当 k≠0 时,线段 AB 的垂直平分线方程为 8k2 ? 2k 1? x + 2 . y- =- k? 1+4k ? 1+4k2 6k 令 x=0,解得 y0=- . 1+4k2 由 OA =(-2,-y0), OB =(x1,y1-y0).

??? ?

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??? ? ??? ?

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??? ? ??? ? OA · OB =-2x1-y0(y1-y0)
6k ? -2×?2-8k2? 6k ? 4k 2+ 2 = + 1+4k2 1+4k2?1+4k 1+4k ? = 4×?16k4+15k2-1? =4, ?1+4k2?2 14 2 14 .所以 y0=± . 7 5

整理得 7k2=2,故 k=±

2 14 综上,y0=± 2 2或 y0=± . 5

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